F-128 Física Geral I
Aula Exploratória – 04 Unicamp -­‐ IFGW F128 – 2o Semestre de 2012 1 Posição e Deslocamento
O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas
y
coordenadas cartesianas por:
.

r (t) = x(t)iˆ + y(t) ĵ

r
y
θ
ĵ
iˆ
x
x
No caso espacial, 3D, temos:

r (t) = x(t)iˆ + y(t) ĵ + z(t) k̂
F128 – 2o Semestre de 2012 2 Velocidade
Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é:



 r (t +Δt )−r (t ) Δr Δx ˆ Δy ˆ
vm =
=
=
i+
j
Δt
Δt Δt
Δt
y
trajetória
O vetor velocidade instantânea é:




r (t +Δt )−r (t ) dr
v = lim
=
Δt →0
Δt
dt
(1)

r (t )

Δr

r (t + Δt )
Em termos de componentes cartesianas:

 d r (t ) dx ˆ dy ˆ
v=
= i+ j
dt
dt dt

v
ou: = v x iˆ + v y ˆj
x
Decorrências da definição (1):

a) v é sempre tangente à trajetória;
b) v coincide com o módulo da velocidade escalar definida
anteriormente.
F128 – 2o Semestre de 2012 3 Aceleração
Novamente como no caso 1D, a aceleração média é:



Δvz

v(t + Δt)− v(t) Δv Δvx ˆ Δv y
am =
=
=
i+
ĵ+
k̂
Δt
Δt
Δt
Δt
Δt
A aceleração instantânea é:




2
 dv d r (t )

v (t +Δt )−v (t ) dv
(2)
a = lim
=
ou: a = =
Δt →0
Δt
dt
dt
dt 2
Em termos de componentes cartesianas:

 d v (t ) dv x ˆ dv y ˆ
ou:
a=
=
i+
j
dt
dt
dt

a = a x iˆ + a y ˆj
Decorrências da definição (2):
a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade

(quer seja do módulo, da direção ou do sentido de v );
b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da
trajetória.
F128 – 2o Semestre de 2012 4 Movimento de um projétil
Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!

r
x = x0 + v0 x t

v x = v0 x = constante
componente x de v

1 2
componente y de r
y = y 0 + v0 y t − gt
2

componente y de v
v y = v0 y − gt

r0 = x0iˆ + y0 ˆj
componente x de
y
Em t = 0:
  ˆ
v0 = v0 x i + v0 y ˆj
 
Nota: ro e vo são as condições iniciais
Trajetória
g
x
do movimento.
F128 – 2o Semestre de 2012 5 Movimento circular
dφ
Se ω (t ) =
≠ const.
dt
⎛ v2 ⎞

a (t ) = α
R vˆ + ⎜ − ⎟rˆ

R⎠

⎝
a (t )


dφ
ds
ρ=
ds
dφ
=v= R
= Rω (v: velocidade tangencial)
dt
dt
dφ
Se ω =
= cte: φ = φo + ωt (Movimento
circular uniforme)
dt
R
Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares R e ϕ.
O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo ϕ é: s = Rϕ.
A posição angular ϕ é uma função do tempo, ϕ(t) . O arco descrito
y
em dt é dado por ds = R dϕ. Então:
φ + dφ x
O
φ
dv(t )
dω (t )
=R
≡ Rα (t )
dt
dt
(Movimento circular acelerado)
T
F128 – 2o Semestre de 2012 aN (t )
6 Movimento Relativo
Posição relativa:



rPA (t ) = rPB (t ) + rBA (t )
A
B

rPA
P
•

rPB

rBA
  
rPA = rPB + rBA , que é função do tempo:
Velocidade relativa :



drPA drPB drBA
=
+
dt
dt
dt

 
vPA = vPB +vBA

v BA

v PA

v PB






d
v
d
v
d
v
PA
PB
BA
Aceleração relativa:
a PA = a PB + a BA
=
+
dt
dt
dt
Em referenciais inerciais (os que se movem um em relação ao




a PA = a PB
outro em translação retilínea e uniforme): a BA = 0
(a aceleração é a mesma quando medida em dois referenciais inerciais).
F128 – 2o Semestre de 2012 7 Exercício 01
A figura abaixo mostra o movimento de
um cachorro em um terreno plano, do ponto
A (no instante t=0) para o ponto B (em t=5,00
min), C (em t=10,0 min) e finalmente, D (em
t=15,0 min). Considere as velocidades médias
do cachorro do ponto A para cada um dos
outros três pontos. Entre essas velocidade
média determine:
a)  o módulo e ângulo da que possui o menor
módulo;
b)  o módulo e ângulo da que possui o maior
módulo;
y (m)
50
D
25
x (m)
0
25
A
50
C
-25
-50
B
Respostas:
a)  0,83 cm/s e 0o;
b)  0,11 m/s e -63o
F128 – 2o Semestre de 2012 8 Exercício 01
a)
b)
y (m)
50
y (m)
50
D
25
0
D

rD
25
  
Δr = rA − rC

rC 25

rA A
x (m)
50
0
C
-25
-25
B
-50
F128 – 2o Semestre de 2012 -50
x (m)

rA A
25
C
50
  
Δr = rA − rD
B
9 Exercício 02
Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial,
as coordenadas da partícula são dadas por:
x = 2,0t2 +6,0t (m)
y = 1,0t + 3,0 (m)
Estude o movimento da partícula, isto é:
a)  determine sua trajetória;
b)  determine as componentes da velocidade em função do tempo;
c)  determine as componentes da aceleração em função do tempo.
Solução:
a) trajetória parabólica:
dx(t )
= 4,0t + 6
b)
dt
dy(t )
vY =
= 1,0
dt
vX =
F128 – 2o Semestre de 2012 y
x = 2y − 6y
2
dvX (t )
= 4,0
dt
c)
dv (t )
aY = Y = 0
dt
aX =
y=3
y=0
x
10 Exercício 03
Um caçador, localizado a uma distância de uma árvore, dispara contra
um macaco que se encontra em um galho a uma altura h. No exato instante
do disparo, o macaco se solta do galho. Sendo v0 a velocidade inicial da
bala, mostre analiticamente que a bala atinge o macaco, e calcule o instante
em que isto ocorre.
http://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw

v0t

v0
•
M
1 2
gt
2
  1
Após um tempo t, r = v0 t + g t 2 é o vetor de posição do projétil.
2 de posição do macaco.
Mas este é exatamente o vetor
Restrição: R (alcance da bala) ≥ d.

r
d
F128 – 2o Semestre de 2012 11 Exercício 04
Dois carros percorrem estradas retilíneas perpendiculares entre si. O
carro (1) (ver figura) tem velocidade uniforme de 72 km/h. O carro (2)
arranca no instante t = 0 com aceleração constante de 2,0 m/s2. Qual é o
movimento (velocidade e trajetória do carro (2) em relação ao carro (1) ?
a = 2m/s2
(2)
y
v0 = 72 km/h
t=0
movimento aparente de (2)
x
(1)
72 km/h
(1)
trajetória de (2) no referencial de (1): movimento semelhante
ao de um projétil, uma semi-parábola de equação:
a 2 x2
y=
x =
2
400
2v0
F128 – 2o Semestre de 2012
12
Exercício 05
Um esquiador desce de uma colina e desliza-se por uma rampa com
uma velocidade vo e um ângulo de inclinação θ. A colina tem um ângulo de
inclinação α como é indicado na figura.
a)  Determine o tempo de vôo do esquiador, ou seja o tempo no qual
a pessoa está no ar.
b)  Determine a posição na qual ela bate com a colina.
F128 – 2o Semestre de 2012 13 Exercício 06-Opcional
A posição de uma partícula em função do tempo é dada por:

r = 4sin (ωt ) iˆ + 4cos(ωt ) iˆ
onde r está em metros e t em segundos.
a) descubra a trajetória desta partícula;
b) calcule o vetor velocidade da partícula;
c) calcule o vetor aceleração;
d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.
 
e) mostre que os vetores v e a são perpendiculares.
F128 – 2o Semestre de 2012 14 Exercício 07-Opcional
Um menino gira uma pedra, em um círculo horizontal de raio 1,1 m a
uma altura de 1,6 m acima do solo. A corda que segura a pedra rompe-se e
a pedra, após voar horizontalmente, atinge o chão depois de viajar uma
distância horizontal de 8,7 m. Qual é a magnitude da aceleração centrípeta
da pedra em movimento circular?
F128 – 2o Semestre de 2012 15