Física Geral I - F 128
Aula 8: Energia Potencial e
Conservação de Energia
2o Semestre 2012
Q1: Trabalho e força
Analise a seguinte afirmação sobre um corpo, que partindo do
repouso, move-se de acordo com a força mostrada abaixo:
“A velocidade deste corpo é negativa em x = 3 m”
A.  Verdadeiro B.  Falso F128 – 1o Semestre de 2012 2 Relembrando…
Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e
permanece útil também na mecânica quântica, relatividade,
eletromagnetismo, etc.
A conservação da energia total de um sistema isolado é
uma lei fundamental da natureza.
1 2
Energia Cinética: K= mv
2
“O trabalho da força resultante que atua sobre uma partícula
entre as posições x1 e x2 é igual à variação da energia cinética
da partícula entre estas posições”.
F128 – 1o Semestre de 2012 3 Energia Potencial
A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser
associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de objetos,
que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, a
energia potencial também pode mudar.
Vamos começar discutindo o caso unidimensional. Depois
generalizaremos para mais dimensões.
Dois tipos de energia potencial com os quais estaremos lidando
são a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.
F128 – 1o Semestre de 2012 4 Energia Potencial em 1D
Variação de energia potencial (caso unidimensional):
x
ΔU ( x0 → x ) = U ( x ) − U ( x0 ) = −W = − ∫ F ( x)dx
x0
É usual tomar x0 como uma configuração de referência fixa. Assim, a energia
potencial da partícula na configuração x é:
x
U ( x ) = U ( x0 ) − ∫ F ( x )dx
x0
dU
F =−
dx
Notem que é preciso que a força seja uma função apenas da posição
(configuração). Não se pode definir U(x) em outros casos (a força de arraste
dependente da velocidade, por exemplo): ver mais detalhes adiante.
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são
relevantes. Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de
referência:
U ( x0 ) = 0
F128 – 1o Semestre de 2012 5 Conservação da Energia Mecânica
Do teorema do trabalho-energia cinética para uma força que só
depende da posição:
W = ΔK
Como U ( x f ) − U (xi )= −W
1 2 1 2
U ( xi ) − U ( x f ) = mv f − mvi
2
2
1 2
1 2
mvi + U ( xi ) = mv f + U ( x f )
2
2
1 2
E = mv + U ( x ) = constante
2
F128 – 1o Semestre de 2012 ( a energia mecânica
total não varia).
6 Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme)

Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por mg.
Tomando como referência para U o ponto y = 0 (U(0)=0):
y
U ( y) = 0 − ∫ (−mg )dy = mgy
U ( y ) = mgy
0
Conservação da energia:
1
E = mv 2 + mgy = constante
2
F128 – 1o Semestre de 2012 7 Energia Potencial Gravitacional (campo uniforme)
Exemplo: Qual é a mínima altura h para que o corpo deslizando complete o loop?
m
•
h
r
No limiar: N = 0
v2
mg = m ⇒ v 2 = gr
r
Por conservação de energia mecânica:

mg
•N
1
E =mghmin =mg 2r + mv 2 =
2
1
5
mg 2r + mgr = mgr
2
2
hmin = 2,5r
F128 – 1o Semestre de 2012 8 Energia Potencial Elástica
x
1 2
Configuração de referência: x0= 0 ⇒ U ( x) = 0 − ∫ (− k ) xdx = kx
2
0
1
1
E = mv 2 + kx 2 = constante
2
2
1
v = 0 e x = A ⇒ E = kA2
2
1 2
v = −vmax e x = 0 ⇒ E = mvmax
2
1
v = 0 e x = − A ⇒ E = kA2
2
1 2
v = vmax e x = 0 ⇒ E = mvmax
2
1
v = 0 e x = A ⇒ E = kA2
2
F128 – 1o Semestre de 2012 9 Energia Potencial em mais de uma dimensão
Como no caso unidimensional, só é possível definir a energia
potencial para forças conservativas.
Uma força é dita conservativa se o trabalho que ela realiza sobre
um corpo que se desloca entre dois pontos não depende da trajetória
seguida pelo corpo, mas apenas das posições inicial e final.
Equivalentemente, uma força é conservativa se o trabalho que ela
realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero.
Exemplos de forças conservativas:
1.  força gravitacional
2.  força elástica
3.  qualquer força unidimensional que só dependa da posição: F(x)
Com técnicas de cálculo mais avançadas, é possível estabelecer
um critério matemático simples para determinar se uma força é
conservativa.
F128 – 1o Semestre de 2012 10 Forças Conservativas
Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito
fechado A→ B → C indicado:
L B
d A
θ
C
WA + WB + WC = −mgd + mgLsenθ + 0 = 0
F128 – 1o Semestre de 2012 11 Forças Não-Conservativas
Forças não-conservativas: seu trabalho depende da trajetória.
Exemplos: força de atrito e força de arraste.


Watr ( A→B) = ∫ f atr ⋅ ds = − f atr LA→B =
C
=
− µc m g d
reta
− µc m gπ d / 2
semi − circunferê ncia
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o
trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo.
F128 – 1o Semestre de 2012 12 Energia Potencial em mais de uma dimensão
Generalizando, sempre se pode associar uma energia potencial
a uma força conservativa:

r 





U (r ) − U (r0 ) = − W (r0 → r ) = − ∫ F ⋅ dr

r0
 
r
Note que não é preciso dizer qual trajetória tomar entre 0 e r ,
pois nesse caso o trabalho independe da trajetória.
Se só há forças conservativas, então a energia mecânica total
(potencial + cinética) é conservada:
E = K + U = constante
F128 – 1o Semestre de 2012 13 Energia mecânica na presença de forças nãoconservativas
Entretanto, se há forças não-conservativas:
W = Wnão −cons + Wcons = ΔK ⎫
⎬ ⇒ Wnão−cons = ΔK + ΔU = ΔEmec
Wcons = −ΔU
⎭
No caso de forças como de atrito e de arraste, o trabalho é sempre
negativo (a força é sempre no sentido oposto ao deslocamento):
Watrito = − f atrito L < 0 ⇒ ΔEmec < 0
Como o trabalho forças dissipativas é sempre negativo, a energia
mecânica do sistema sempre diminui na presença delas.
F128 – 1o Semestre de 2012 14 Forças dissipativas e energia interna
O trabalho das forças dissipativas (e a consequente diminuição da energia
mecânica) é acompanhado de um aumento da temperatura dos corpos em contato
(aumento da agitação térmica das moléculas):
® variação da energia interna = - trabalho das forças dissipativas
Watrito = −ΔEint ⎫
⎬ ⇒ ΔEint + ΔEmec = Δ ( Eint + Emec ) = 0
Watrito = ΔEmec ⎭
Etotal = Eint + Emec = constante
A energia total de um sistema isolado, mecânica mais interna, é conservada.
Em geral, há outras formas adicionais de energia (elétrica, magnética,...) que,
uma vez adicionadas acima, fornecem uma quantidade que se conserva.
F128 – 1o Semestre de 2012 15 Forças dissipativas e energia interna
Exemplo: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é sua
velocidade em x = 0?
a)  Sem atrito
1 2
⎫
mv − 0 ⎪
⎪
2
⎬ ⇒ ΔK = −ΔU
1
ΔU = 0 − kd 2 ⎪
⎪⎭
2
ΔK =

F
d 1 2 1 2
k
mv = kd ⇒ v =
d
2
2
m
b)  Com atrito
ΔE = ΔK + ΔU = Watr = − µc mgd

F
d F128 – 1o Semestre de 2012 1 2 1 2
mv = kd − µc mgd
2
2

fa
kd 2
v =
− 2µc gd
m
16 Relação entre Força e Energia Potencial
x
U ( x) − U ( x0 ) = − W ( x0 → x) = − ∫ F ( x) dx
x0
dU
F ( x) = −
dx
⎛ dU ⎞
=0
⎜
⎟
⎝ dx ⎠ x = xo
F128 – 1o Semestre de 2012 F(x0) = 0
U(x0): Mínima ou Máxima
17 Exemplo: Ligação Química
Exemplo de ligação representada por um potencial Lenard - Jones
F>0 repulsão
F
F<0 atração
U
Mínimo de energia
ε ⎡⎛ a ⎞
13
⎛a⎞
F (r )=12 ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
a ⎢⎣⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
F128 – 1o Semestre de 2012 7
⎤
⎥
⎥⎦
18 Diagramas de Energia
Energia potencial de um bloco de massa m preso a uma mola de constante
elástica k :
U(x)
1 2
U ( x) = k x
2
Conservação de energia:
1 2 1 2
E = mv + kx = constante
2
2
∴
K = E − U (x)
E
K
U
-xm
0
xm
x
Desta relação e do diagrama, vemos que o movimento do bloco é limitado a
pontos x compreendidos no intervalo − xm ≤ x ≤ xm . De fato, para pontos x fora deste
intervalo, teríamos U ( x ) > E , e portanto K < 0 , o que é obviamente impossível.
xm e − xm são os pontos de retorno, onde a velocidade é nula:
2 E kx 2
v ( x) = ±
−
m m
F128 – 1o Semestre de 2012 19 Diagramas de Energia
Ponto de retorno ou reversão: a velocidade se anula e troca de sinal Ponto de equilíbrio instável:
F(x) = 0 e U(x) é máximo
K
U
F =−
dU
dx
F128 – 1o Semestre de 2012 Pontos de equilíbrio indiferente:
F(x) = 0 e U(x) não é máximo nem
mínimo
Pontos de equilíbrio estável:
F(x) = 0 e U(x) é mínimo
20 Q2: Energia Potencial e Força
A energia potencial gravitacional da Terra pode ser descrita e
exemplificada pelo equação abaixo. Para qual distância r a força do
potencial gravitacional é nula?
U(r)
A. r = RTerra B. r = 0 C.  r = infinito F128 – 1o Semestre de 2012 0 −
R GMm
R
r 21 Energia Potencial Gravitacional
Força gravitacional:
 GMm
F =− 2 rˆ
r
r

F

ds
∝
  r

U ( r ) − U ( r0 ) = − ∫ F ⋅ dr = ∫ F ( r ) dr , pois dr = − dr rˆ
r
r0
r
=
r0
GMm
∫r r 2 dr
0
Tomando a configuração de referência U ( r0 → ∞) =0 :
r

GMm
GMm
U (r ) = ∫ 2 dr = −
r
r
∞
F128 – 1o Semestre de 2012 22 Energia potencial gravitacional: campo uniforme
⎡ 1
1⎤
U ( R + y ) − U ( R) = −GMm ⎢
− ⎥=
⎣R+ y R⎦
y
⎛ GM ⎞
= GMm
≅ ⎜ 2 ⎟ my = mgy
R (R + y) ⎝ R ⎠
U(r)
g ≅ 9,8 m/ s 2
0 R R+y r y Pode-se estimar g a uma altura de 400 km:
g´( h = 400 km ) =
GMm
−
R
R≅ 6,37×10 3 km
F128 – 1o Semestre de 2012 GM
( R + h)
2
GM
= 2
R
2
⎛ R ⎞
⎜
⎟ =
⎝ R+h⎠
2
⎛ 6, 4 ⎞
= 9,83 × ⎜
≅ 8, 7 m/s 2
⎟
⎝ 6,8 ⎠
23 Velocidade de Escape
v = vesc
v=0
∝
Velocidade limiar para escapar da atração gravitacional de um astro:
® velocidade de lançamento tal que chegue ao infinito com
velocidade nula. Por conservação de energia mecânica:
E = K ( R ) +U ( R)= K (∞) +U (∞) = 0
1 2
1 2
GMm
mvesc + U ( R ) = U (∞) = 0 ⇒ mvesc
=
2
2
R
2GM
GM
vesc =
= 2 2 R = 2 gR
R
R
vesTerra
= 11, 2 km/s
c
E=
F128 – 1o Semestre de 2012 24 Buracos Negros
Velocidade de escape igual à velocidade da luz:
vesc = c = 3,0 × 10 8 m/s
Raio de um buraco negro de massa M
vesc =
2GM
2GM
=c⇒R= 2
R
c
Raio de Schwarzschild
Para a Terra,
Terra
RSchw
= 8,8 mm
Se a Terra se transformasse num buraco negro, seu raio
diminuiria para 8,87 mm !
F128 – 1o Semestre de 2012 25 Buracos Negros
Velocidade de escape igual à velocidade da luz:
vesc = c = 3,0 × 10 8 m/s
Raio de um buraco negro de massa M
vesc =
2GM
2GM
=c⇒R= 2
R
c
Raio de Schwarzschild
Embora esse resultado da mecânica newtoniana seja igual ao
que é obtido na Teoria da Relatividade Geral, isso é apenas uma
coincidência!
F128 – 1o Semestre de 2012 26