Aula - 2
Movimento em uma dimensão
Física Geral I -­‐ F-­‐128 Ilustração dos
“Principia” de
Newton
mostrando a ideia
de integral
Movimento 1-D
Conceitos: posição, movimento, trajetória
Velocidade média
Velocidade instantânea
Aceleração média
Aceleração instantânea
Exemplos
• 
• 
• 
• 
• 
Entender o movimento é uma das metas das leis da Física. A Mecânica estuda o movimento e as suas causas. A sua descrição é feita pela CinemáDca. As suas causas são descritas pela Dinâmica. Iniciamos com o movimento em 1-­‐D. F128 – 2o Semestre de 2012 2 Questão 1:
Quais são, no SI, as unidades referentes a distância, velocidade
e aceleração?
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
F128 – 2o Semestre de 2012 m/s; m; s; km; km/h; m/s2 m/s; m/s; m/s2 m; m/s; m/s2 nenhuma das alternaDvas 3 Posição – 1D
Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos.
Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo
orientado, relativamente a um ponto de referência, geralmente
tomado como a origem (x = 0). Exemplo:
0
t7
t1
t2
t3
t4
t5
t6
x1 ≡ x 7
x2
x3
x4
x5
x6
x
O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posição
com o decorrer do tempo.
Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua
descrição depende do observador. Já a escolha da origem é arbitrária.
A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados
pelo objeto que se movimenta.
F128 – 2o Semestre de 2012 4 Deslocamento e Velocidade média
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo
de tempo (t2-t1) é a diferença entre a posição final (x2 ) no
instante t2 e a posição inicial (x1) no instante t1.
A velocidade média é definida como:
x2 − x1 Δx
vm =
=
(unidade: m/s)
t2 − t1 Δt
Se Δx > 0 ⇒ vm > 0 (movimento para a direita, ou no
sentido de x crescente);
•
Se Δx < 0 ⇒ vm <0 (movimento para a esquerda, ou no
ou no sentido de x decrescente).
•
F128 – 2o Semestre de 2012 5 Exemplo:
Exemplo: (uma possível representação do movimento)
x3 − x 2
> 0 ( vm entre t2 e t3 )
t3 − t2
x −x
vm = 7 1 = 0 ( vm entre t1 e t7 )
t7 − t1
x −x
vm = 6 4 < 0 ( vm entre t4 e t6 )
t6 − t 4
vm =
Exemplo numérico: corrida de 100 metros.
de 0 a 5,0 s : vm = 40 m/5,0s = 8,0 m/s
de 5,0 a 10,5 s: vm = 60 m/5,5s = 10,9 m/s
Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) :
vm = 100 m/10,5s = 9,5 m/s
F128 – 2o Semestre de 2012 6 Velocidade média
Velocidade média entre: t0
x(t )
e t0 + Δt
Δx (t )
vm =
= tg θ
Δt
Δx(t )
A velocidade média nos dá informações sobre o movimento em um intervalo de tempo. Mas podemos querer saber a velocidade em um dado instante. θ
D x (t )
v1 =
Dt
Δt
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t0 + Δt
t
7 Velocidade média
Velocidade média entre: t0
x(t )
e t0 + Δt
Δx (t )
vm =
= tg θ
Δt
Δx(t )
θ
v2 < v1
Δt
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t0 + Δt
t
8 Velocidade média
Velocidade média entre: t0
x(t )
e t0 + Δt
Δx (t )
vm =
= tg θ
Δt
θ
Δx(t )
Δt
t0 t0 + Δt
F128 – 2o Semestre de 2012 t
9 Velocidade média
Velocidade média entre: t0
x(t )
e t0 + Δt
Δx (t )
vm =
= tg θ
Δt
θ
t0t0 + Δt
F128 – 2o Semestre de 2012 t
10 Velocidade instantânea
Δx(t ) dx (t )
≡
= tgθ
Δt →0 Δt
dt
v(t ) = lim
x(t )
(a velocidade instantânea
é a derivada da posição
em relação ao tempo)
θ
Velocidade instantânea em t0
reta tangente à curva
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t
11 Velocidade instantânea
Geometricamente:
Δx dx
v(t ) = lim
=
Δt → 0 Δt
dt
Derivada
tangente
Exemplo:
No gráfico abaixo (corrida de
100 m), a velocidade em t = 2s é
90m
v(t = 2s) =
≅ 8,0m s
11,2s
F128 – 2o Semestre de 2012 12 Visualização gráfica da derivada
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/derapp.html
F128 – 2o Semestre de 2012 13 Algumas derivadas importantes
f (t )
a f (t ) + b g (t )
df (t ) / dt
adf (t ) / dt + bdg (t ) / dt
a = constante
0
tn
nt n −1
sin ωt
ω cos ωt
cos ωt
− ω sin ωt
e
λt
ln λt
F128 – 2o Semestre de 2012 λe
λt
t -­‐ 1
14 Velocidade escalar média e velocidade média
A velocidade escalar média é uma forma de descrever a “rapidez” com que
um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente
da direção e do sentido:
v em =
distância total percorrida
Δt
Em muitas situações, v em = v. mEntretanto, essas duas velocidades
podem ser bastante diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreve uma
circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido um tempo T.
Neste caso:
vm = 0
2π r
e v em =
T
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída
de qualquer indicação de direção e sentido. (O velocímetro de um
carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já
que ele não pode determinar a direção e o sentido do movimento).
F128 – 2o Semestre de 2012 r
o
15 Questão 2
Uma viagem de Campinas a São Paulo é feita, em média em 1,5
horas. A distância entre estas duas cidades é de 150 km. Quais são a
velocidade média e escalar média numa viagem de ida e volta à São
Paulo, com uma parada total de 2 horas durante o percurso?
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
60 e 0 km/h
0 e 60 km/h
100 e 60 km/h
60 e 100 km/h
Nenhuma das acima
F128 – 2o Semestre de 2012 16 Velocidade instantânea
Um caso particular: velocidade constante
x − x0
dx
v (t ) =
= vm =
dt
t − t0
x − x0 = v (t − t0 )
ou:
Graficamente:
x(t )
v(t )
x
x0
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t
t0
t
17 O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de
velocidade constante, isto é:
x − x0 = v (t − t0 )
Note que v(t-t0) é a área sob a curva
da velocidade v = constante em função do
tempo.
Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo,
usaremos que para intervalos de tempo muito
curtos podemos escrever:
v (t )
v
v
t0
t
Δx = v ( t ) Δ t ,
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
F128 – 2o Semestre de 2012 18 O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Dividimos o intervalo (t-t0) em
um número grande N de pequenos
intervalos Δt
Δxi ≈ v(ti ) Δt
v(t )
v (ti )
⇓
x(t ) − x(t0 ) =
∑ Δx
i
Δt
t0
=
ti
t
i
∑ v(ti )Δt
v(t )
i
Δx = área
t e !t!0:
No limite N !!
x (t ) − x0 = ∫ v (t ′) dt ′
t0
t
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 19 O cálculo de x(t) a partir de v(t)
dx (t )
v (t ) =
dt
t
e
x (t ) − x0 = ∫ v (t ′) dt ′
t0
A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao
tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta
tangente à curva da posição em função do tempo no instante
considerado.
O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou integração) da
velocidade; geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva
da velocidade em função do tempo.
F128 – 2o Semestre de 2012 20 Algumas integrais importantes
f (t )
a f (t ) + b g (t )
F (t )
a F (t ) + b G (t )
a = constante
at
t , n ≠ −1
t n +1 / n + 1
n
sin ωt
− cos ωt / ω
cos ωt
sin ωt / ω
e λt
e λt / λ
t −1
ln | t |
F128 – 2o Semestre de 2012 21 Questão 3:
Qual desses cinco gráficos de coordenada versus tempo representa o
movimento de uma partícula cujo módulo da velocidade está
aumentando?
• 
• 
• 
• 
• 
I II III IV V F128 – 2o Semestre de 2012 22 Aceleração média
v2 − v1 Δv
Aceleração média: am = t − t = Δt (unidade: m/s2)
2
1
Note que am também pode ser >0, <0 ou =0.
v(m/s)
Exemplo: Um corredor acelera
10
uniformemente até atingir 10 m/s em
8
t = 4,0 s. Mantém a velocidade nos
6
próximos 4,0s e reduz a velocidade
4
2
para 8,0 m/s nos 5,0s seguintes.
Acelerações médias:
0
2 4
de 0s até 4s: am = 10 m/s / 4s = 2,5 m/s2
de 4s até 8s: am = 0 m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 13s: am = -2 m/s / 5s = -0,4 m/s2
F128 – 2o Semestre de 2012 6
8
10 12 14
t(s)
23 Aceleração média
Aceleração média entre: t0 e t0 + Δt
v(t )
Δv ( t )
am =
= tgθ
Δt
θ
Δv(t )
Δt
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t0 + Δt
t
24 Aceleração instantânea
Aceleração instantânea em t0:
v(t )
Δv (t ) dv (t )
a (t ) = lim
≡
= tgθ
dt
Δt→0 Δt
θ
(a aceleração instantânea é a
derivada da velocidade em
relação ao tempo)
reta tangente à curva da velocidade
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t
25 Gráficos
Aceleração instantânea
Δv dv
a = lim
=
Δt →0 Δt
dt
Primeira
Derivada
Note que
dv d ⎡ dx ⎤ d 2 x
a=
= ⎢ ⎥= 2
dt dt ⎣ dt ⎦ dt
v(t)
Segunda
derivada
v(t)
Exemplo:
Na corrida de 100 m, a aceleração em
t = 2s é:
5,9 m s
a (t = 2s) =
= 2,2 m s 2
2,7s
F128 – 2o Semestre de 2012 a(t)
26 Aceleração constante
Se a aceleração a é constante:
a = am =
v(t ) − v(t0 )
t − t0
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, a velocidade fica:
v = v0 + at
Note que neste movimento a
velocidade média é dada por
x − x0 v0 + v (t )
vm =
=
t
2
Como
x = x0 + vmt , temos:
F128 – 2o Semestre de 2012 v
v(t)
vm
v0
t/2
t
at 2
x = x0 + v0t +
2
27 Resumo: aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração
constante são:
v = v0 + at
1 2
x = x0 + v0t + at
2
v 2 = v02 + 2a(x − x0 )
1
x = x0 + (v0 + v )t
2
F128 – 2o Semestre de 2012 28 Exemplo 1:
O movimento de uma partícula é descrito pela equação:
x = t 2 − 4t + 3
( x em m e t em s)
a) fazer o gráfico de x(t);
b) calcular v(t) e a(t) e fazer os
gráficos correspondentes.
dx
v(t ) = = 2t − 4
dt
dv
a (t ) = = 2
dt
F128 – 2o Semestre de 2012 (m/s)
(m/s )
2
29 O GP de Mônaco
1 volta = 3,340 km
F128 – 2o Semestre de 2012 30 Vettel no GP de Mônaco
300
Velocidade (km/h)
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
Tempo (s)
50
60
70
Tempo Velocidade Tempo Velocidade
0
218
25
90
1
242
26
143
2
260
27
101
3
272
28
62
4
273
29
49
5
157
30
55
6
114
31
95
7
136
32
89
8
179
33
89
9
213
34
133
10
238
35
93
11
256
36
88
12
266
37
110
13
272
38
176
14
209
39
212
15
174
40
237
16
155
41
253
17
161
42
263
18
137
43
272
19
138
44
281
20
175
45
279
21
207
46
166
22
175
47
91
23
100
48
74
24
75
49
69
Tempo Velocidade
50
104
51
158
52
200
53
227
54
183
55
181
56
210
57
104
58
223
59
168
60
117
61
99
62
114
63
162
64
197
65
123
66
68
67
61
68
82
69
112
70
84
71
110
72
161
73
207
74
233
Link: http://www.youtube.com/watch?v=boQqf49sd8g&feature=related
F128 – 2o Semestre de 2012 31 Distância Percorrida e Velocidade Escalar Média
t
dx (t )
v (t ) =
e x (t ) − x0 = ∫ v (t ′) dt ′
dt
t0
Área sob a curva
= deslocamento
300
Velocidade (km/h)
250
1 volta = 3.35km!!!!!
200
150
100
vem =
50
0
00
10
10
20
20
30
30
40
50
60
distância total 3.35 km 3600 s
=
×
=163km h
Δt
74s
1h
70
70
Tempo (s)
F128 – 2o Semestre de 2012 32 Aceleração
Δv dv
a = lim
=
Δt →0 Δt
dt
Deriva
40
300
Aceleração (m/s2)
30
Velocidade (km/h)
250
200
150
100
50
0
20
10
X: 44.1
Y: -0.1142
X: 52.9
Y: 2.439
X: 49
Y: 0.7324
0
-10
-20
-30
0
10
20
30
40
Tempo (s)
50
60
70
-40
42
44
46
48
50
52
54
56
Tempo (s)
F128 – 2o Semestre de 2012 33 Aceleração da gravidade
Galileu, o primeiro físico moderno,
estudou a queda dos corpos. Refutou as
hipóteses de Aristóteles.
Através de experimentos, mostrou
que os corpos caem com a mesma
velocidade (aceleração), independentemente de sua massa.
x ~ t2 , v ~ t : consequências de uma
aceleração constante!
F128 – 2o Semestre de 2012 34 Aceleração da gravidade
a resistência do
ar!!
Mas... devemos notar que há, em
geral, outras forças atuando no corpo
em queda considerado, o que pode
frustrar uma experiência se não formos
suficientemente cuidadosos.
F128 – 2o Semestre de 2012 35 Resumo: aceleração constante (-g)
As equações de movimento para o caso da aceleração da
gravidade -g são (ao longo do eixo y):
v = v0 − gt
1 2
y = y 0 + v0 t − gt
2
v 2 = v02 − 2 g ( y − y 0 )
1
y = y 0 + (v0 + v ) t
2
y
g
Todo objeto em queda livre fica sujeito a uma aceleração dirigida
para baixo, qualquer que seja seu movimento inicial (objetos atirados
para cima ou para baixo ou aqueles soltos a partir do repouso).
F128 – 2o Semestre de 2012 36 Exemplo 2
Um corpo cai livremente a partir do
repouso; calcule a sua posição e sua
velocidade em t = 1,0, 2,0 e 3,0 s.
1 2
y = − gt e
2
v = − gt
y
g
Em t = 1,0 s:
y = - 4,9 m e v = -9,8m/s
Continuando, obtenha os resultados
da tabela ao lado.
F128 – 2o Semestre de 2012 37 O cálculo de v(t) a partir de a(t)
Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente
o caso de aceleração constante. Então:
v − v0 = a (t − t0 )
Note que a(t-t0) é a área sob a curva da
aceleração a(t) = constante em função do
tempo.
Este também é um resultado geral. Para
demonstrá-lo, usaremos que para intervalos
de tempo muito curtos podemos escrever
Δv = a(t ) Δt
a(t)
a
t0
t
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t.
F128 – 2o Semestre de 2012 38 O cálculo de v(t) a partir de a(t)
Dividimos o intervalo (t-t0 ) em
um número grande N de pequenos
intervalos Δt .
Δvi ≈ a(ti ) Δt
a (t )
Δt
a (ti )
⇓
v(t ) −v(t0 ) =
∑ a(ti )Δt
∑ Δvi =
t0
ti
t
i
a (t )
i
No limite N à ∞ e Δtà0:
Δv = área
t
v − v0 = ∫ a(t ′) dt ′
t0
F128 – 2o Semestre de 2012 t0
t
39 O cálculo de v(t) a partir de a(t)
dv (t )
a (t ) =
dt
t
e
v (t ) − v0 = ∫ a (t ′) dt ′
t0
A aceleração é obtida derivando-se a velocidade;
geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente à
curva da velocidade em função do tempo no instante
considerado.
A velocidade é obtida pela anti-derivação (ou
integração) da aceleração; geometricamente, a variação de
velocidade é igual à área sob a curva da aceleração em
função do tempo.
F128 – 2o Semestre de 2012 40 Questão 4
Baseado na curva da velocidade em função do tempor e sabendo que em x=0 para
t=0, escolha os gráficos de posição e aceleração que melhor representam o
movimento desta partícula.
1. 
2. 
3. 
4. 
I II III NDA x(t)
x(t)
t
0
30
30
4
6
8
-10
4
6
2
4
6
8
-10
a(t)
a(t)
0
t
10
8
-10
t
v(t)
20
t
2
a(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 30
10
t
10
t
0
v(t)
20
20
0
t
0
v(t)
2
x(t)
t
0
t
41 Movimento relativo 1D
Dadas as posições xA e xB de dois corpos A e B em relação a uma
origem 0 (referencial), a posição relativa de A em relação a B é dada
por:
xAB = xA – xB
Então, a velocidade relativa vAB de A em relação a B é:
dx AB dx A dx B
v AB =
=
−
= v A − vB
dt
dt
dt
E a aceleração relativa aAB de A em relação a B é:
dv AB
a AB =
= a A − aB
dt
v A = v AB + vB
Alternativamente, podemos escrever: a = a + a
A
AB
B
Regra mnemônica: v AT = v AB + vBT
F128 – 2o Semestre de 2012 42 Referencial Relativo: Exemplo
Link: http://www.youtube.com/watch?v=ullR3nN8x8w&hd=1
Ao fazer o reabastecimento aéreo, os dois aviões têm
velocidade relativa próxima de zero.
http://www.youtube.com/watch?v=AJMVTqRWHC4
F128 – 2o Semestre de 2012 43