Funções Típicas de uma Variável Complexa
Funções Trigonométricas
e iz + e − iz
Definiremos cos(z) =
2
sin2(z) + cos2(z) = 1
d
( sin( z )) = cos(z )
dz
e iz − e − iz
, sin(z) =
2i
d
(cos(z)) = −sin( z)
dz
Podemos obter representações para sin(z) e cos(z) em termos
das funções de x e y.
sin(z) = sin(x + iy) = sin(x).cosh(y) + i cos(x).sinh(y)
cos(z) = cos(x).cosh(y) – i sin(x).sinh(y)
Funções Hiperbólicas
1 z
Definiremos cosh(z) =
(e + e − z )
2
1 z
−z
(e − e )
sinh(z) =
2
Função Logarítmica
iθ
z = re
r ≠ 0 logz = lnr + iθ logz = lnr + i(θ + 2nπ)
Ramo de uma função
Qualquer função unívoca definida em uma região na
qual seja analítica e coincida com algum valor de função
considerada.
Pontos e Retas de Ramificação
Seja a função w =
z = re
w =
1
2
z .
i
iθ
w =
 θ 1 + 2π 
i

re  2 
 θ + 4π 
i 1

re  2 
w =
Se 0 ≤θ < 2π
1
2
re
θ
2
A
i
= −
re
i
=
θ1
re
2
o
θ1
2
, estamos sobre um ramo da função
plurívoca z , enquanto se 2π ≤θ < 4π , estamos
sobre outro ramo da função.
B
Superfície de Riemann
Imagine que o plano z consiste em duas placas
superpostas uma na outra.
Cortemos as placas ao longo de OB e imaginemos
que a margem inferior da placa da base esteja ligada
à borda superior da placa do topo. As duas bordas
cortadas estão ligadas intrinsecamente, de tal modo
a nos permitir continuar o circuito indo da placa do
topo à placa da base.
O conjunto das duas placas é dito uma superfície de
Riemann correspondente a função z .
Cada placa corresponde a um ramo da função e
sobre cada uma a função é unívoca.