Lista de Exercícios Sugeridos
IA856
Prof. Ricardo Campello
Questão 1
Porque é mais simples projetar uma base de Laguerre, Kautz ou GOBFs, ao invés de uma
outra base de funções ortonormais qualquer (e.g. Charlier, Chebyshev, etc), no caso
específico da representação de sistemas dinâmicos?
Questão 2
Considere o seguinte sistema dinâmico linear de tempo discreto:
y(k) = 1,5y(k-1) – 0,5y(k-2) + u(k-1)
(a) Analise a dinâmica desse sistema e explique porque não é possível aproximá-lo
diretamente através de um modelo FBO.
(b) O que se deve fazer para que uma aproximação FBO seja possível? Justifique em
detalhes.
Questão 3
Considere o seguinte sistema dinâmico linear de tempo discreto:
y(k) = 0,91y(k-1) – 0,009y(k-2) + u(k-1)
(a) Analise a dinâmica desse sistema e indique qual base ortonormal é mais adequada
para uma aproximação FBO do mesmo. Justifique.
(b) Qual(is) o(s) pólo(s) você escolheria para essa base apenas olhando para a dinâmica
do sistema? Justifique.
Questão 4
Calcule manualmente as três primeiras amostras (k=1,2,3) das duas primeiras funções de
Laguerre parametrizadas em um pólo p = 0,1. Considere as funções com valores iniciais
nulos, i.e., φ1(0) = 0 e φ2(0) = 0.
Questão 5
Considere a seguinte resposta ao impulso de um sistema dinâmico discreto linear:
h(0) = 0 ; h(1) = 0,8 ; h(2) = 0,07 ; h(3) = 0,005 ; h(4) = 0 ; h(5) = 0 ; .............
(a) Calcule analiticamente os coeficientes αi (i=1,2) da expansão de Laguerre da
resposta ao impulso acima truncada em duas funções de Laguerre parametrizadas da
mesma forma do exercício anterior.
(b) Utilize os coeficientes acima para calcular a resposta ao impulso aproximada: (i)
utilizando apenas a primeira função de Laguerre; (ii) utilizando as duas primeiras
funções de Laguerre.
(c) Com base na norma || x || = ( ∑k x(k)2 )1/2, com k ∈ [0,∞[, calcule a norma dos erros
resultantes das aproximações da resposta ao impulso calculadas no item anterior.
Comente as diferenças e justifique.
Questão 6
Considere os seguintes modelos não lineares:
(a)
(b)
(c)
(d)
ŷ(k) = 0,8u(k) + 0,5u(k-1)2 - 0,3u(k-2)u(k-3) + 0,1u(k-4)
ŷ(k) = 5 + 0,2y(k-1)3 + sen( u(k-1) ) + 0,5( y(k-1) - ŷ(k-1) )
ŷ(k) = 0,9y(k-1) y(k-2) + 5u(k-1) / u(k-2) + log2( u(k-3) )
ŷ(k) = 10 - 0,5ŷ(k-1)u(k-1) + 0,8ŷ(k-2) / u(k-2)
Indique qual o tipo de estrutura não linear de cada um dos modelos acima e apresente a
respectiva representação de E/S, i.e., o vetor de regressores λ(k) = [λ1(k) ... λm(k) ]T e o
operador não linear H( λ(k) ).
Questão 7
Utilize a propriedade de ortonormalidade das funções de base ortonormal para provar que a
norma do erro de truncamento resultante da aproximação FBO da resposta ao impulso de
um sistema dinâmico linear de tempo discreto é tal que:
2
∞
∞
e = ∑ e( k ) = ∑
2
k =0
(
)
∞
2
h(k ) − hˆ(k ) = ∑ α i2
k =0
i = N +1
onde h é a resposta ao impulso do sistema, passível de representação exata através de uma
expansão FBO com coeficientes αi (i = 1, ..., ∞), e ĥ é a aproximação dessa resposta ao
impulso dada pela expansão FBO truncada nas N primeiras funções.
Questão 8
Obtenha resultado análogo ao exercício anterior para o kernel de Volterra de dimensão m
qualquer. Dica, nesse caso a norma do erro é dada por || e || = ( ∑k1 ... ∑km e(k1,...,km)2 )1/2,
com ki ∈ [0,∞[ (i = 1, ..., m).
Questão 9
Apresente a representação de entrada-saída, i.e., o vetor de regressores λ(k) e o operador
não linear H( λ(k) ) dos modelos:
(a) Volterra com parametrização NFIR.
(b) Volterra-FBO.
Questão 10 (Computacional)
Reproduzir em Matlab o exemplo 1 da aula 3.
Questão 11 (Computacional)
Reproduzir em Matlab o exemplo 2 da aula 3 (dados disponíveis na página web do curso ou
com o professor).
Questão 12
Em uma rede RBF com funções de ativação Gaussianas, a saída do i-ésimo neurônio é dada
por:
(
wi = exp − (x − c i ) T Θ i (x − c i )
)
onde Θi é uma matriz definida positiva ( Θi > 0 ) qualquer.
Pede-se:
(a) As equações do gradiente da saída da rede com relação aos centros ci e aos
espalhamentos Θi da i-ésima função de ativação.
(b) Discuta qual a principal dificuldade a ser contornada na otimização dos parâmetros
da matriz Θi.
(c) A despeito da dificuldade mencionada no item anterior, discuta qual vantagem em
termos de flexibilidade essa estrutura mais genérica apresenta com relação ao caso
particular em que se torna análoga aos modelos fuzzy TS com conseqüentes
constantes.
Questão 13 (Computacional)
Seja o sistema dinâmico y(k) = 0,8y(k-1) + 0,5u(k-1)2. Gere um conjunto de dados de E/S
representativo desse sistema (dentro de um intervalo limitado do sinal de entrada) e obtenha
em matlab um modelo fuzzy TS com estrutura NARX ŷ(k) = H( [y(k-1) u(k-1)]T )
utilizando o algoritmo ANFIS e uma parcela dos dados disponíveis. Determine por
tentativa-e-erro uma quantidade adequada de conjuntos fuzzy para cada entrada,
observando o compromisso entre a complexidade (dimensão) do modelo e sua precisão
com base no erro de previsão um-passo-a-frente para a parcela dos dados ainda não
utilizada (dados de validação).
Questão 14
Seja a seguinte base de dados com 12 objetos (registros) descritos por 2 atributos
(coordenadas):
1
2
2
1
1
1
2
2
8
9
9
8
9
9
8
8
1
15
2
15
1
14
2
14
Execute passo-a-passo o algoritmo k-means com três protótipos inicializados em posições
distintas, cada uma das quais coincidente com a posição de um dos objetos da base. Pare a
execução quando os protótipos convergirem, isto é, quando forem iguais em duas iterações
consecutivas. Faça um esboço dos dados e dos protótipos e discuta os resultados.
Questão 15
Idem à questão anterior porém para o algoritmo FCM e os dados ilustrados na figura
abaixo. Utilizar c=2 clusters, fator de ponderação m=2 e protótipos iniciais assinalados em
vermelho na figura. Nesse caso, discuta também a matriz de partição fuzzy resultante.
10
v1
5
2
4
v2
6
8
10
Questão 16 (Computacional)
Considere o seguinte código em Matlab para geração de uma função sinc com ruído (no
domínio x ∈ [-11,+11] ):
x = (-11:0.1:11);
for i=1:length(x)
if x(i)==0
y(i) = 1;
else
y(i) = sin(x(i))/x(i);
end
y(i) = y(i) + (0.2*rand-0.1)
end
(a) Execute o algoritmo Gustafsson-Kessel no espaço x × y (entrada × saída) com fator
de ponderação m=2, c=6 protótipos e matrizes adaptativas Ai iniciais dadas pela
matriz identidade. Devido à possibilidade de convergência local do algoritmo,
execute-o se necessário mais de uma vez (a partir de inicilizações aleatórias
distintas dos protótipos), até que os clusters finais representem de forma adequada
as seis diferentes regiões aproximadamente lineares da função.
(b) Projete os fuzzy clusters resultantes no domínio x e gere uma figura. Esboce sobre
essa figura uma aproximação convexa para cada um dos clusters projetados.
(c) Apresente as seis regras de um modelo TS para a função sinc utilizando como
conjuntos fuzzy na premissa (os rótulos de) as aproximações convexas do item
anterior. Obtenha graficamente uma estimativa aproximada para os coeficientes dos
modelos locais afins no conseqüente de cada regra.
Questão 17 (Computacional)
Reproduzir o exemplo da aula 6 referente ao processo de polimerização CSTR.
Questão 18
Considere que um sistema dinâmico não linear com entrada u(k) e saída y(k) admita
representação do tipo entrada-saída, ou seja, pode ser aproximado por um modelo dado por:
yˆ ( k ) = H ( λ ( k ))
Pede-se:
(a) Discuta em detalhes as principais particularidades de cada uma das estruturas não
lineares NARX, NOE, NFIR e NOBF, comparando suas vantagens e desvantagens.
(b) Discuta as características e eventuais vantagens / desvantagens de ao menos 3 diferentes
possíveis realizações para o operador H no caso NOBF.
Questão 19 (Computacional)
Modelagem do levitador magnético ECP do laboratório de Controle e Servomecanismo da
FEEC (descrição do experimento, rotinas auxiliares e arquivo de dados disponíveis na
página web do curso ou com o professor).