ESTATÍSTICA APLICADA
Capítulo 7
Teste de Hipóteses
Prof. Paulo Renato de Morais
Conceitos de Teste de Hipóteses
Teste de Hipóteses
População



 


Eu acredito que
a idade média
da população é
50 (hipótese).
Testes de Hipóteses
População


 


Eu acredito que
a idade média
da população é
50 (hipótese).

Amostra
aleatória
Média
X = 20
Rejeito a
hipótese!
Ficou longe.
O que é uma Hipótese?
1. Uma afirmação
sobre um parâmetro
populacional

Parâmetro é média,
proporção, variância
populacional

Deve ser feita
antes da análise
Eu acredito que a idade
média desta classe é
25 anos!
© 1984-1994 T/Maker Co.
Hipótese Nula
1. O que se quer testar
2. Tem uma séria conseqüência se a decisão
errada é tomada
3. Sempre tem um sinal de igualdade: ,  ou 
4. Designada por H0
5. Especificada como H0:   Algum valor
numérico


Escrita com sinal = mesmo se  ou 
Exemplo, H0:   50
Hipótese Alternativa
1. Contrário da hipótese nula
2. Sempre tem sinal de desigualdade: , 
ou 
3. Designada por H1
4. Especificada como H1:  < Algum valor
numérico

Exemplo, H1:  < 50
Passos para se Estabelecer
Hipóteses
Passos
1.
Formule a questão
estatisticamente
Exemplo:
A média
populacional é
diferente de 50?
1.   50
Passos para se Estabelecer
Hipóteses
Passos
1.
Formule a questão
estatisticamente
2.
Formule o contrário
estatisticamente

Exemplo:
A média
populacional é
diferente de 50?
1.   50
Devem ser mutuamente exclusivas
2.  = 50
e exaustivas
Passos para se Estabelecer
Hipóteses
Passos
1.
Formule a questão
estatisticamente
2.
Formule o contrário
estatisticamente
Exemplo:
A média
populacional é
diferente de 50?
1.   50
 Devem ser mutuamente exclusivas
2.  = 50
e exaustivas
3. H1:   50
3.
Selecione a hipótese
alternativa

Tem o sinal , < ou >
Passos para se Estabelecer
Hipóteses
Passos
1.
Formule a questão
estatisticamente
2.
Formule o contrário
estatisticamente
Exemplo:
A média
populacional é
diferente de 50?
1.   50
 Devem ser mutuamente exclusivas
2.  = 50
e exaustivas
3. H1:   50
3.
Selecione a hipótese
4. H0:  = 50
alternativa

4.
Tem o sinal , < ou >
Selecione a hipótese nula
Idéia Básica
Distribuição Amostral
 == 50
50
H0
Sample
Sample Mean
Mean
Idéia Básica
Distribuição Amostral
É improvável
obter uma
média
amostral com
este valor ...
... se de fato esta é a
média populacional
20
 == 50
50
H0
Sample
Sample Mean
Mean
Idéia Básica
Distribuição Amostral
É improvável
obter uma
média
amostral com
este valor ...
... portanto,
rejeita-se a
hipótese que
 = 50.
... se de fato esta é a
média populacional
20
 == 50
50
H0
Sample
Sample Mean
Mean
Nível de Significância
1. Define valores pouco prováveis da
estatística amostral se a hipótese nula
for verdadeira

Chamada região de rejeição da distribuição
amostral
2. É uma probabilidade
3. Denotada (alfa)
4. Selecionada no início

Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10
Região de Rejeição
(Teste Unilateral)
Distribuição Amostral
Valor
de Ho
Estatística Amostral
Região de Rejeição
(Teste Unilateral)
Distribuição Amostral
Região de
Rejeição
Região de
Não-rejeição
Valor
Crítico
Valor
de Ho
Estatística Amostral
Região de Rejeição
(Teste Unilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region

1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
Ho
Ho
Value
Value
Sample
Sample Statistic
Statistic
Região de Rejeição
(Teste Unilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region

1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
Ho
Ho
Value
Value
Sample
Sample Statistic
Statistic
Valor observado da estatística
amostral
Região de Rejeição
(Teste Unilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region

1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
Ho
Ho
Value
Value
Sample
Sample Statistic
Statistic
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Valor
de Ho
Estatística Amostral
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Região de
Rejeição
Região de
Rejeição
Região de
Não-rejeição
Valor
Estatística Amostral
Valor
de Ho Valor
Crítico
Crítico
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region
1/2
1/2 
Rejection
Rejection
Region
Region
1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
1/2
1/2 
Ho
Ho
Sample
Sample Statistic
Statistic
Value
Critical
Value Critical
Value
Value
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region
1/2
1/2 
Rejection
Rejection
Region
Region
1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
1/2
1/2 
Ho
Ho
Sample
Sample Statistic
Statistic
Value
Critical
Value Critical
Value
Value
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region
1/2
1/2 
Rejection
Rejection
Region
Region
1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
1/2
1/2 
Ho
Ho
Sample
Sample Statistic
Statistic
Value
Critical
Value Critical
Value
Value
Regiões de Rejeição
(Teste Bilateral)
Distribuição Amostral
Nível de Confiança
Rejection
Rejection
Region
Region
1/2
1/2 
Rejection
Rejection
Region
Region
1-
Nonrejection
Nonrejection
Region
Region
Critical
Critical
Value
Value
1/2
1/2 
Ho
Ho
Sample
Sample Statistic
Statistic
Value
Critical
Value Critical
Value
Value
Riscos na Tomada de Decisões
Erros na Tomada de Decisões
1. Erro Tipo I



Rejeitar uma hipótese nula verdadeira
Tem sérias conseqüências
Probabilidade de erro Tipo I é (alfa)
 Chamado nível de significância
2. Erro Tipo II


Não rejeitar uma hipótese nula falsa
Probabilidade de erro Tipo II é (beta)
Resultados de Decisões
H0: Inocente
Juri
Teste de H0
Verdade
Veredito Inocente
Inocente Correta
Culpado
Erro
Culp.
Verdade
Decision H0 Verd.
Erro
Não
Rejeita
H0
Correta
Rejeita
H0
1-
H0
Falsa
Erro
Tipo II
()
Erro ipo Potênc
I ()
(1 - )
Resultados de Decisões
H0: Inocente
Juri
Teste de H0
Verdade
Veredito Inocente
Inocente Correta
Culpado
Erro
Verdade
Culp.
Decisão H0 Verd.
H0
Falsa
Erro
Não
Rejeita
H0
Tipo II
Erro
()
Rejeita
Correta
H0
1-
Tipo I Potênc
Erro () (1 - )
 e  Têm uma
Relação Inversa


 e  Têm uma
Relação Inversa


 e  Têm uma
Relação Inversa
Não é possível reduzir
ambos os erros!


Passos do Teste de Hipóteses
Passos para Testar H0

Formule H0

Estabeleça valores críticos

Formule H1

Colete dados

Escolha 

Calcule estatística de teste

Escolha n

Tome decisão estatística

Escolha teste

Expresse a decisão
Teste Z Bilateral para a Média
(Amostra Grande)
Teste Z Bilateral para a Média
(Amostra Grande)
1. Hipóteses:


Tamanho da amostra no mínimo 30 (n  30)
Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostral
2. Hipótese alternativa tem o sinal 
Teste Z Bilateral para a Média
(Amostra Grande)
1. Hipóteses:


Tamanho da amostra no mínimo (n  30)
Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostral
2. Hipótese alternativa tem o sinal 
3. Estatística de teste Z
X   xx X  
Z


 xx
n
Exemplo de Teste Z Bilateral
Uma caixa de cereal
contém 368 gramas de
cereal em média? Numa
amostra aleatória de 36
caixas obteve-seX =
372,5. A companhia
especificou que  é 15
gramas. Teste ao nível
de 0,05.
368 g
Solução do Teste Z Bilateral
H0:  = 368
Estatística de Teste:
H1:   368
X   372.5  368
Z

 1.80
  0,05

15
n  36
n
36
Valores Críticos:
Decisão:
Reject H00
Reject H00
Não rejeitar com  = 0,05
.025
.025
Conclusão:
Não há evidência que
a média não é 368
-1.96 0 1.96 Z
Questão
Você quer saber se uma empresa
está fabricando cabos elétricos de
acordo com a especificação do
cliente: resistência média à quebra
de 70 lb com  = 3,5 lb. Você
seleciona uma amostra de 36 cabos
e calcula uma média amostral de
69,7 lb. Ao nível de 0,05, há
evidência que a máquina não esteja
obedecendo a especificação?
Solução do Teste Z Bilateral
H0:  = 70
H1:   70
 = 0,05
n = 36
Valores Críticos:
Reject H00
Reject H00
.025
.025
-1.96 0 1.96 Z
Estatística de Teste:
X   69.7  70
Z

  .51

3.5
n
36
Decisão:
Não rejeitar com  = 0,05
Conclusão:
Não há evidência que
a média não seja 70
Teste Z Unilateral para a Média
(Amostra Grande)
Teste Z Unilateral para a Média
(Amostra Grande)
1. Hipóteses:


Tamanho da amostra no mínimo 30 (n  30)
Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostral
2. Hipótese alternativa tem o sinal < ou >
Teste Z Unilateral para a Média
(Amostra Grande)
1. Hipóteses:


Tamanho da amostra no mínimo (n  30)
Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostral
2. Hipótese alternativa tem o sinal ou >
3. Estatística de teste Z
X   xx X  
Z


 xx
n
Teste Z Unilateral para a Média
H0:= 0 H1: < 0
H0:= 0 H1: > 0
Reject
Reject H
H00
Reject
Reject H
H00




00
Deve ser
significativamente
abaixo de 
Z
Z
00
Valores pequenos
satisfazem H0 . Não
rejeitar!
Z
Z
Teste Z Unilateral:
Achando Z Crítico
Quanto é Z dado  = 0,025?
=1
 = 0,025

0
Z
Teste Z Unilateral:
Achando Z Crítico
Quanto é Z dado  = 0,025?
0,500 
- 0,025
0,475
=1
 = 0,025

0
Z
Teste Z Unilateral:
Achando Z Crítico
Quanto é Z dado  = 0,025?
0,500
- 0,025
0,475
=1

Z
.05
.06
.07
1.6 .4505 .4515 .4525
 = 0,025

0
Tabela da Normal Padrão:
Z
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
1.9 .4744 .4750 .4756
Teste Z Unilateral:
Achando Z Crítico
Quanto é Z dado  = 0,025?
0,500
- 0,025
0,475
=1

Tabela da Normal Padrão:
Z
.05
.06
.07
1.6 .4505 .4515 .4525
 = 0,025

0 1.96 Z
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
 1.9 .4744 .4750 .4756
Exemplo de Teste Z Unilateral
Uma caixa de cereal
contém mais de 368
gramas de cereal em
média? Numa amostra
aleatória de 36 caixas
obteve-seX = 372,5. A
companhia especificou
que  é 15 gramas. Teste
ao nível de 0,05.
368 g
Solução do Teste Z Unilateral
H0:  = 368
H1:  > 368
 = 0,05
n = 36
Valor Crítico:
Estatística de Teste:
Z
Reject
.05
0 1.645 Z
X 
372.5  368

 1.80

15
n
36
Decisão:
Rejeitar com  = 0,05
Conclusão:
Há evidência que a
média é maior que 368
Nível de Significância Observado:
Valor p
Valor p
1. Probabilidade de obter uma estatística de
teste no mínimo tão extrema (ou do que
o valor amostral obtido dado que H0 é
verdadeira
2. Chamado nível de significância observado

Menor valor de  que faz H0 ser rejeitada
3. Usado para tomar decisões de rejeição


Se valor p  , não rejeitar H0
Se valor p < , rejeitar H0
Exemplo do Valor p para o
Teste Z Bilateral
Uma caixa de cereal
contém 368 gramas de
cereal em média? Numa
amostra aleatória de 36
caixas obteve-seX =
372,5. A companhia
especificou que  é 25
gramas. Ache o valor p.
368 g
Solução do Valor p para o
Teste Z Bilateral
Z
X 
372.5  368

 1.80

15
n
36
-1.80 0 1.80

Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)
-1.80 0 1.80

Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)
1/2 p-value
1/2 p-value
-1.80 0 1.80

Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)
1/2 p-value
1/2 p-value
.4641
-1.80 0 1.80

Da tabela Z:
olhar 1,80

Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)
1/2 p-value
1/2 p-value
.4641
-1.80 0 1.80

Da tabela Z:
olhar 1,80


0,5000
- 0,4641
0,0359
Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
Valor p = P(Z  -1.80 ou Z  1.80) = 0,0718
1/2 p-value
.0359
1/2 p-value
.0359
.4641
-1.80 0 1.80

Da tabela Z:
olhar 1,80


0,5000
- 0,4641
0,0359
Z
Valor Z da estatística
amostral (observado)
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
1/2 valor p = 0,0359
Reject
1/2 valor p = 0,0359
Reject
1/2  = 0,025
1/2  = 0,025
-1.80 0 1.80
Z
Solução do Valor p para o Teste Z
Bilateral
1/2 valor p = 0,0359
Reject
1/2 valor p = 0,0359
Reject
1/2  = 0,025
1/2  = 0,025
-1.80 0 1.80
Z
(valor p = 0,0718)  ( = 0,05). Não rejeitar.
Calculando a Probabilidade de
Erro Tipo II
Potência do Teste
1. Probabilidade de rejeitar falsa H0

Decisão correta
2. Designada por 1 - 
3. Usada para determinar adequação do teste
4. Afetada por:



Valor verdadeiro do parâmetro populacional
Nível de significância 
Desvio padrão e tamanho da amostra n
Achando a Potência:
Passo 1
Hipótese:
H0: 0  368
H1: 0 < 368
n =
15/25

Rejeitar
 = 0,05
Não
Desenhar
Rejeitar
0 = 368
X
Achando a Potência:
Passo 2
Hipótese:
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360

Especificar
n =
15/25

Rejeitar
 = 0,05
Não
Desenhar
Rejeitar
0 = 368
X
Achando a Potência:
Passo 3
Hipótese :
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360
n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368

Desenhar

Especificar
1 = 360
X
X
Achando a Potência:
Passo 3
Hipótese :
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360
n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368

Desenhar

Especificar
1 = 360
X
X
Achando a Potência:
Passo 3
Hipótese :
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360
n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368

Desenhar

Especificar
1 = 360
X
X
Achando a Potência:
Passo 3
Hipótese:
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360

Especificar
n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368

Desenhar
1-
1 = 360

X
X
Achando a Potência:
Passo 4
Hipótese :
H0: 0  368
H1: 0 < 368
n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360

Especificar

Desenhar
X
XL  0  Z

n
 368  (1,645)
 363,065
1 = 360 363,065 X

15
25
Achando a Potência:
Passo 5
Hipótese:
H0: 0  368
H1: 0 < 368
Situação
‘Verdadeira’:
1 = 360

Especificar

n =
15/25

Rejeitar
Não
Desenhar
Rejeitar
 = 0,05
0 = 368

Desenhar
Tabela Z
X
XL  0  Z
 = .154
1- =.846

n
 368  (1,645)
 363,065
1 = 360 363,065 X

15
25
Curvas de Potência
Potência H0:  0
Possíveis valores
verdadeiros de 1
 = 368
ilustrada
Curvas de Potência
Potência H0:  0
Possíveis valores
verdadeiros de 1
Potência H0:  0
Possíveis valores
verdadeiros de 1
 = 368
ilustrada
Curvas de Potência
Potência H0:  0
Potência H0:  0
Possíveis valores
verdadeiros de 1
Potência
H0:  =0
Possíveis valores
verdadeiros de 1
Possíveis valores
verdadeiros de 1
 = 368
ilustrada
Teste t Bilateral para a Média
(Amostra Pequena)
Teste t para a Média
(Amostra Pequena)
1. Hipóteses:



Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)
População tem distribuição normal
Desvio padrão populacional é desconhecido
Teste t para a Média
(Amostra Pequena)
1. Hipóteses:



Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)
População tem distribuição normal
Desvio padrão populacional é desconhecido
3. Estatística de teste T
X 
t
S
n
Teste t Bilateral:
Achando os Valores Críticos de t
Dado: n = 3;  = 0,10
gl = n - 1 = 2 


Tabela de valores críticos de t
 /2 = 0,05
v
t.10
.10
t.05
.05
t.025
.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
0
 /2 = 0,05
t
3 1.638 2.353 3.182
Teste t Bilateral:
Achando os Valores Críticos de t
Dado: n = 3;  = 0,10
gl = n - 1 = 2 


Tabela de valores críticos de t
 /2 = 0,05
v
t.10
.10
t.05
.05
t.025
.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
-2.920 0 2.920 t
 /2 = 0,05
3 1.638 2.353 3.182

Exemplo de Teste t Bilateral
Uma caixa de cereal
contém 368 gramas de
cereal em média? Numa
amostra aleatória de 25
caixas obteve-se uma
média de 372,5 e um
desvio padrão de 12
gramas. Suponha uma
distribuição normal. Teste
ao nível de 0,05.
368 g
Solução do Teste t Bilateral
H0:  = 368
Estatística de Teste:
H1:   368
X   372.5  368
t

 1.875
 = 0,05
S
12
gl = 25 - 1 = 24
n
25
Valores Críticos:
Decisão:
Reject H00
Reject H00
Não rejeitar com  = 0,05
.025
.025
Conclusão:
-2.064 0 2.064
t
Não há evidência que
média populacional não
é 368
Teste t Unilateral para a Média
(Amostra Pequena)
Exemplo de Teste t Unilateral
A capacidade média de
baterias é no mínimo 140
ampéres-horas? Numa
amostra aleatória de 20
baterias obteve-se uma
média de 138,47 e um
desvio padrão de 2,66.
Suponha uma distribuição
normal. Teste ao nível de
0,05.
Solução do Teste t Unilateral
H0:  = 140
Estatística de Teste:
H1:  < 140
X   138.47  140
t

 2.57
 = 0,05
S
2.66
gl = 20 - 1 = 19
n
20
Valor Crítico:
Decisão:
Reject
Rejeitar com  = 0,05
.05
-1.729 0
t
Conclusão:
Há evidência que a
média é menor que 140
Teste Z para a Proporção
Teste Z para a Proporção
1. Hipóteses:



Dois resultados categóricos
População segue distribuição binomial
Aproximação pela Normal pode ser usada
 np
ˆ  3 npˆ (1  pˆ ) não contém 0 ou n
Teste Z para a Proporção
1. Hipóteses:



Dois resultados categóricos
População segue distribuição binomial
Aproximação pela Normal pode ser usada
 np
ˆ  3 npˆ (1  pˆ ) não contém 0 ou n
2. Estatística de teste Z para a proporção
p  p00
Z
p00  (1  p00)
n
Proporção
populacional suposta
Exemplo de Teste Z para
Proporção
O sistema atual de
empacotamento produz 10%
de caixas de cereal
defeituosas. Usando um
novo sistema, uma amostra
aleatória de 200 caixas
teve 11 defeitos. O novo
sistema produz menos
defeitos? Teste ao nível de
0,05.
Solução do Teste Z para a
Proporção
H0: p = 0,10
Estatística de Teste:
11
H1: p < 0,10
 .10
p  p00
200
Z


 2.12
 = 0,05
p00  (1  p00)
.10  (1 .10)
n = 200
n
200
Valor Crítico:
Decisão:
Reject
Rejeitar com  = 0,05
.05
Conclusão:
Há evidência que novo
-1.645 0
Z
sistema < 10% defeituosas
Teste para a Variância
Teste para a Variância
1. Hipóteses:


Amostragem aleatória
População tem distribuição normal
Teste para a Variância
1. Hipóteses:


Amostragem aleatória
População tem distribuição normal
2. Estatística de teste 2
2
 
(n  1) s

2
2
Exemplo de Teste Bilateral para a
Variância
A variância da capacidade
das baterias produzidas é
4,20 ampéres-horas2?
Numa amostra aleatória de
20 baterias obteve-se uma
média de 138,47 e uma
variância de 7,08.
Suponha uma distribuição
normal. Teste ao nível de
0,10.
Solução do Teste 2 Bilateral
H0: 2 = 4,20
H1: 2  4,20
 = 0,10
gl = 20 - 1 = 19
Valores Críticos:
2
0,05;19
= 30,144
20,95;19 = 10,117
Estatística de Teste:
2
 
(n 1) s
2
2
(20 1) 7,08

 32,03
4,20
Decisão:
Rejeitar com  = 0,10
Conclusão:
Há evidência que a
variância é diferente de
4,20