Probabilidade
O que é probabilidade ?
• Experimento aleatório: é um experimento no
qual podemos descrever o conjunto de todos
os resultados possíveis, mas não podemos
dizer, a priori, qual desses resultados vai
acontecer.
• Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os
possíveis resultados do aleatório.
• Evento (A, B, C, etc): é um subconjunto do
espaço amostral.
O que é probabilidade ?
• Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e
seja A um evento qualquer desse espaço. A
probabilidade de A, denotada por P(A), é dada
por:
P( A) 
# ( A)
# ()
• onde #Ω é o número de resultados possíveis
do experimento e #A é o número de
resultados favoráveis à ocorrência do evento
A. É claro que 0  P( A)  1
Conceito de Frequência de
Probabilidade
• Suponha que o experimento foi repetido n
vezes, sempre sob as mesmas condições, e
que o evento A ocorreu m vezes entre essas n
realizações do experimento.
Então, a fração m/n é uma boa aproximação
para a probabilidade de A, se o numero de n
de repetições for bastante grande:
m
P ( A) 
n
Propriedades básicas da probabilidade
a) P(Ω)=1 : Probabilidade de ocorrência de um
evento certo.
b) P(Ø) = 0 : Probabilidade de ocorrência de um
evento impossível.
c) Se o evento A e B são mutuamente
excludente: P (A ou B) = P(A)+P(B)
d) Se A e B podem ocorrer simultaneamente : P
(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
e) P(Ac )=1-P(A)
Variáveis Aleatórias
Conceitos
• Uma variável aleatória (v.a) é uma função que
associa cada elemento de um espaço amostral
a uma número real.
– Variáveis aleatórias discreta: Os valores que ela
pode assumir pertencem a um conjunto
enumerável E de números reais
– Variáveis aleatórias contínua: Para que a
probabilidade de ela pertencer a um conjunto de
números reais seja estritamente positiva, esse
conjunto deve conter dentro de si um intervalo
Exemplos
1) Experimento : jogar 1 dado
Variável Aleatória: X = “ o dobro do número
obtido menos 1”
X : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 7, 9, 11}
2) Experimento : jogar 4 moedas (C: Cara e K:
Coroa)
Variável Aleatória: Y = “ números de caras
obtidas”
Y : {CCCC, CKCC, ..., KKKK}
{0, 1, 2, 3, 4}
Função Densidade Probabilidade
Ex. 1 Dado
x
1
3
5
7
9
11
Ex. 2 Moeda
P(x)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
y
0
1
2
3
4
P(y)
1/6
4/6
6/16
4/16
1/16
Caso Discreto
• A função de probabilidade p corresponde à
variável aleatória discreta X associada a cada
número real x a probabilidade de que a
variável X assuma aquele valor x.
x→p(x) = P[X=x]
• A função de distribuição acumulada F
corresponde à variável aleatória discreta X é
definida por F(x)=P[X≤x], para todo x real.
Medidas de Centralizada e de
Dispersão
• Média ou Esperança de uma variável aleatória
discreta
– Se X é uma variável aleatória discreta que assume
os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1),
p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então sua
média ou esperança é:
E(A)= x1 p(x1) + x2p(x2) + x3p(x3)+ ... + xN p(xN)
Medidas de Centralizada e de
Dispersão
• Variância de uma variável aleatória discreta
– Se X é uma variável aleatória discreta que assume
os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1),
p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então a
variancia é calculada por:
Var (X)= (x1 – E(X))2.p(x1) + (x2 – E(X))2.p(x2) + ... +
+ (xN – E(X))2.p(xN)
• Desvio padrão de uma variável aleatória
discreta
–
DP( X )  Var( X )
Medidas de Centralizada e de
Dispersão
• Coeficiente de variação de uma variável
aleatória discreta e igual ao quociente entre o
desvio-padrão e a média CV(X)=DP(X)/EX
Exemplos
• Em um determinado condomínio residencial:
30% das famílias não tem filhos, 40% tem um
filho, 20% têm dois filhos e 10 têm mais de
três filhos
X
0
1
2
3
P(x)=P(X=x)
0,3
0,4
0,2
0,1
F(x)=P(X≤x)
0,3
0,7
0,9
1,0
Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Constante
Uniforme
Bernoulli
Binomial
Geometrica
Poisson
Variável Aleatória Constante
• fdp
1.0
c
• FDC
1.0
c
Distribuição Discreta Uniforme
• A v.a. discreta X que assume n valores discretos com
probabilidade pX(i) = 1/n, 1  i  n
• fdp
• FDC:
1 / n, se xi  X
p X ( xi )  
0, caso contrário
t
t
F (t )   p X (i) 
n
i 1
Variável de Bernoulli
– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem
um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha}
– A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:
–Função de massa de probabilidade:
p  P( X  1)
q  1  p  P( X  0)
Distribuição de Bernoulli
• FDC
0

p+q=1
q
0.0
1.0
x
Binomial
•
•
•
•
•
A v.a. X representa o número de sucessos em uma
sequência de experimentos de Bernoulli.
Todos experimentos são independentes.
Cada resultado é um “sucesso” ou “falha”.
A probabilidade de sucesso de um experimento é
dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p.
Uso do modelo: número de processadores “down”
num cluster; número de pacotes que chegam ao
destino sem erro.
Distribuição Binomial
A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1, é
 n x
n x
p( x)    p (1 p)
 x
A média e variância da binomial são:
  np
 2  np(1 p)
V.A. Binomial: fdp
pk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,86102E-05
0,000386238
0,003089905
0,016222
0,0583992
0,145998001
0,250282288
0,281567574
0,187711716
0,056313515
DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s; cumulativo)
V.A. Binomial: FDC
1.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
CDF
0.8
0.6
0.4
2,86102E-05
0,000386238
0,003089905
0,016222
0,0583992
0,145998001
0,250282288
0,281567574
0,187711716
0,056313515
2,86102E-05
0,000414848
0,003504753
0,019726753
0,078125954
0,224123955
0,474406242
0,755973816
0,943685532
0,999999046
0.2
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
10
Exemplo
• Um sistema de segurança consiste em 4
alarmes (idênticos) de pressão alta, com
probabilidade de sucesso p = 0,8 (cada um).
Qual a probabilidade de se ter exatamente 3
alarmes soando quando a pressão atingir o
valor limite ?
S1 S2 S3 F4
S1 S2 F3 S4
S1 F2 S3 S4
F1 S2 S3 S4
0,8
0,8
0,8
0,2
x
x
x
x
0,8
0,8
0,2
0,8
x
x
x
x
P(3) = 4 x (0,8)3 x (1 - 0,8) 1
= 0,4096
0,8
0,2
0,8
0,8
x
x
x
x
0,2 =
0,8 =
0,8 =
0,8 =
0,1024
0,1024
0,1024
0,1024
Distribuição de Poisson
• Número de eventos independentes que ocorrem
em um intervalo de tempo
• Número de chegadas em um servidor em 1 hora
• Número de erros de impressão em uma página de
um livro
 = # médio de eventos que ocorrem no período
• Aproximação para VA Binomial com n grande e p
pequeno
• Se X = Binomial(n,p), X  Poisson( = np)
Poisson: propriedades
• Considere que um servidor espera receber 100 transações em
um minuto:
–  = 100 (constante)
• Espera-se que:
– O início de cada transação seja independente dos outros;
– Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade
de uma nova transação chegar seja t
– A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo
seja zero!
• O processo de Poisson tem as propriedades acima
• A VA X~Poisson representa o número de transações que chegam
durante um período t.
VA Poisson: Aplicacao
• A V.A. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o
número de transações que chegam a um servidor em uma hora,
ou o número de queries que chegam a uma máquina de busca
em 1 minuto ou número de pacotes que chegam num roteador
em 1 segundo.
• Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de
usuários
– servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, e-mail
• Sessões são iniciadas por usuários
– Chegada de duas sessões tendem a ser independentes:
Poisson é uma boa aproximação
• Contra-exemplo:
– Chegada de requisições em um servidor Web
– Premissa de independência não é válida: existe dependência
entre requisições para o arquivo HTML e as imagens
embutidas nele
Distribuição de Poisson
• Função de densidade de probabilidade (fdp):
pk  PN (t )  k   e t
(t ) k
k!
• FDC:
( t )
F x   e
k 0
k!
x
 t
k
Poisson
• Uma v.a. de Poisson X tem sua fdp:
P( X  x) 
x
x!
e

Onde  > 0 é uma constante

E(X)= Var(X) = 
x  0,1, 2,...
Exercícios
1.
Considere que o número de mails que chegam a um servidor de
mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com
parâmetro 0.3t. Calcule a seguintes probabilidades:
– Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de 10
seg.
– No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg.
– O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7
mails.
2.
A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é
10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa
sequência de 1000 queries?
Solução
P( X  x) 
1)
P( Xt  k ) 
2)
P(X10 = 3) = 0.224
3)
P(X20  20) = 0.973
4)
x
x!
e 
x  0,1, 2,...
k
(0.3t ) 0.3t
e
k!
( t )
F x   e
k 0
k!
 x   t
7
k
k
(1.5) ( 1.5)
P(3  X 5  7)  
e
 0.1909
k!
k 3
Solução
• 2)
1000 4 i
(10 ) (1  104 )1000 i
P(# erros  3)   
4 i

1000
1000 4 i
(10 ) (1  104 )1000 i  3.825*106
P(# erros  3)  1   
0 i

3
 n x
p( x)    p (1 p)n x
 x
Distribuições de Variáveis Aleatórias
Contínuas
•
•
•
•
•
•
Normal
Exponencial
Weibull
Lognormal
Pareto
....
Distribuições de Variáveis Aleatórias
Contínuas
• Variáveis aleatórias contínuas
– Assumem um intervalo infinito de diferentes valores
– W=% percentual de crescimento do PIB em 2005
– V=tempo para retornar a resposta de um “query”
– Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem
probabilidade 0
– Intervalos de valores tem probabilidade  0
Distribuição Normal (Gaussiana)
• Distribuição mais comum na análise de dados
• fdp é:
( x   )2
1
f ( x) 
e
 2
• -x +
• Média é  , desvio padrão 
2 2
Distribuição Normal
•
•
•
•
“Em forma de Sino”
Unimodal
Simétrica
Média, mediana e
moda são iguais
• Assintótica em relação
ao Eixo X
• Amplitude Interquartil
é 1,33 
50%
f(X)
Q1
Q3
Média,
Mediana
Moda
X
Notação para Distribuições Gaussianas
• Geralmente denotada N(,)
• Normal unitária é N(0,1)
• Se x tem N(,),
x

tem N(0,1)
• O -quantil de uma normal unitária z ~ N(0,1) é denotado por
z tal que
 P( x   )  z    P( x )    z    






Normal
• Função de densidade para =0, =1
0.45
0.4
0.35
f(x)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
-6E-14
x
1
2
3
4
5
Normal
• Função de densidade para =1
0.45
=2
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
=5
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Normal
• Funções de densidade para =1
0.45
0.4
=1
=2
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Distribuição Exponencial
• Quantidade de tempo até que determinado evento
ocorra
f X x    e
- λx
FX  x   1  e
 λx
for x  0
for x  0
 = taxa de chegadas
1/  = tempo médio entre chegadas
Exemplo: v.a. exponencial
• fdp:
• FDC:
f ( x )  e
 x
,x 0
F ( x )  1  e  x
f(x)
fdp
x
• V.A. muito frequentemente usada em computação
• Modelos:
– Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca
– Tempo de execução de processos
– Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador
– Tempo entre chegadas de sessões em um servidor
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
T: valores da variável aleatória contínua = intervalo
entre chegadas, com e = 2,71828
P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t 
 : taxa média de chegadas
1/ : intervalo médio entre chegadas
44
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
Exemplos:
– Carros chegando num pedágio;
– Clientes chegando num caixa eletrônico
– Tempo entre duas submissões de queries a uma
maquina de busca
– Tempo de execução de processos
– Tempo entre chegadas de pacotes em um
roteador
– Tempo entre chegadas de sessões em um
servidor
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
• Usada para estudos de Sistemas de Filas
• Função densidade de probabilidade
f  x 
• Parâmetros
  1
46
1

e

x

  1
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
f(x)
Lambda = 3,0 (Média = 0,333)
Lambda = 2,0 (Média = 0,5)
Lambda = 1,0 (Média = 1,0)
Lambda = 0,50 (Média = 2,0)
47
Valores of X
Exemplo
Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é
a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de
Operários ser maior que 5’ ?
= 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas
P(intervalo entre chegadas > t) =
1 – P(intervalo entre chegadas  t) =
1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821
48
Distribuição log normal
  ln( x ) 
 1

f ( x;  ,  )   2 x e
0

2
( 2 2 )
x0
x0
Muito utilizada para modelar
duração de sessão de usuários em
serviços web
Média e Variância
A média e variância de uma va X que tem uma distribuição lognormal são:
E( X )  e
  2 / 2
V (X )  e
2  2
e 1
2