UNIFESP
Departamento de Informática em Saúde
Universidade Federal de São Paulo – UNIFESP
São Paulo, 01 novembro de 2007
MÉTODOS QUALITATIVOS
ESTATISTICA NÃO - PARAMÉTRICA
Orientador: Prof. Dr. Daniel Sigulem
Ana Paula Nunes Peixoto
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
Sumário
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Introdução
Métodos Não Paramétricos
O método Kolmogorov - Smirnov
Exemplo
Resolução
Conclusão
Bibliografia
[email protected] Luís G.G. Silveira, Vladimir C. Pinto, Thiago M. Costa
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
Métodos Não Paramétricos

Testes não paramétricos são testes de hipóteses que não
requerem pressupostos sobre a distribuição subjacente aos
dados.

Vantagens dos testes não paramétricos:

Se a dimensão da amostra e muito pequena, pode não
haver alternativa senão o recurso a testes não
paramétricos, a não ser que a distribuição exata da
população seja conhecida.

Os testes não paramétricos requerem usualmente poucos
pressupostos acerca dos dados e podem ser mais
relevantes para uma determinada situação.
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
O Método Kolmogorov -Smirnov
O teste de Kolmogorov-Smirnov avalia se duas
amostras tem distribuições
semelhantes, ou melhor dizendo, se foram extraídas
de uma mesma população. Se
apresentarem grandes diferenças provavelmente
estas não se devem ao acaso. É um teste que
detecta diferenças em relação à tendência central,
dispersão e simetria.
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
Exemplo do teste de K-S
 Suponha que um pesquisador esteja interessado na confirmação
experimental da observação sociológica, de que os negros americanos
aparentam demonstrar uma hierarquia de preferências em relacão a
tonalidade de pele. Para comprovar o quanto sistemáticas são essas
preferências, o pesquisador tira uma fotografia de cada 1 entre 10
indivíduos negros. O fotógrafo revela essas fotografias e obtem 5
cópias de cada uma de modo que cada copia difira ligeiramente das
outras em tonalidade, podendo, pois ser classificadas em 5 tipos, desde
a mais clara ;
Filho, UD. Introdução à Bioestatística. 9ªed. São Paulo: Elsevier; 1999.
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Exemplo do teste de K-S
 até a mais escura. Em cada caso a posição mais escura é
atribuido o posto 1 e assim sucessivamente ate o posto 5 a mais
clara. Pede-se então a cada individuo que escolha uma dentre as 5
cópias de sua propria foto. Se os individuos forem indiferentes em
relacão a tonalidade da cor da pele, a escolha deverá recair
igualmente sobre os cinco postos( com excessão é claro, de
diferenças aleatórias).
Se, por outro lado, a cor tiver importancia, tal como
supomos,
entao
os
diversos
individuos
deverao
consistentemente manifestar preferencia por um dos postos
extremos.
1. Hipotese de Nulidade: Ho Não há diferencas no numero
esperado de escolhas para cada um dos 5 postos, e
quaisquer diferencas observadas serao simplesmente
variacoes aleatorias da populacao retangular em que f1 = f2
=...... Fs. H1: as frequencias f1, f2, .....fs não são iguais.
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
Exemplo do teste de K-S
Prova estatística: Escolhe – se a prova K-S de uma amostra
porque o pesquisador deseja comparar uma distribuicão
observada de escores em escala ordinal, com uma distribuicão
teórica.
Nível de Significância: Seja α = 0,01. N = número de indivíduos
que se submeteram ao estudo 10.
Distribuição amostral: A Tabela de valores Críticos de D(1)
apresenta vários valores críticos de D da distribuição amostral,
juntamente com suas probabilidades associadas de ocorrência
sob Ho.
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Exemplo do teste de K-S
Região de rejeição: A região de rejeição consiste de todos os valores
de D, calculados pela fórmula, tão grandes que a probabilidade
associada a sua ocorrência sob Ho seja ≤ α = 0,01.
Tabela: Preferências hipotéticas de 10 indivíduos negros em relacão
a tonalidade de pele
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Tabela 1 – Método K-S
Posto da Foto Escolhida
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(1 = Posto da mais escura)
1
2
3
4
5
f= número de indivíduos
que escolheram o posto
0
1
0
5
4
Fo(x)= Distribuição Teórica acumulada
das Escolhas, Segundo Ho
1\5
2\5
3\5
4\5
5\5
S10 (X) = Distribuição acumulada
observada das escolhas
0\10
1\10
1\10
6\10
10\10
l Fo (X) - S10 (X) l
2\10
3\10
5\10
2\10
0
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Exemplo do teste de K-S
Tamanho da Amostra
Nivel de Significancia para D= Maximo l Fo (X) - SN (X) l
(N)
0,20
0,15
0,10
0,05
0,01
1
0,900
0,925
0,950
0,975
0,995
2
0,684
0,726
0,776
0,842
0,929
3
0,565
0,597
0,642
0,708
0,828
4
0,494
0,525
0,564
0,624
0,733
5
0,446
0,474
0,510
0,565
0,669
6
0,410
0,436
0,470
0,521
0,618
7
0,381
0,405
0,438
0,486
0,577
8
0,358
0,381
0,411
0,457
0,543
9
0,339
0,360
0,388
0,432
0,514
10
0,322
0,342
0,368
0,410
0,490
11
0,307
0,326
0,352
0,391
0,468
12
0,295
0,313
0,338
0,375
0,450
13
0,284
0,302
0,325
0,361
0,433
14
0,274
0,292
0,314
0,349
0,418
15
0,266
0,283
0,304
0,338
0,404
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METODO KOLMOGOROV-SMIRNOV
K-S – O Processo




Especificar a função acumulada teórica, isto é, a
distribuição acumulada Ho.
Dispor os escores observados em uma distribuição
cumulativa, fazendo corresponder cada intervalo de
SN(x) com o intervalo comparável de Fo(X).
Para cada posto da distribuição cumulativa, subtrair
SN(x) de Fo (x).
Por meio da fórmula ( D = máximo ( Fo(X) – SN(X))
Mediante referência a Tabela, determinar a probabilidade
bilateral associada a ocorrência, sob Ho, de valores tão
grandes quanto o valor observado D. Se o valor p
correspondente é igual, ou inferior, a α, rejeitar Ho.
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K-S – O Processo
 Observe-se que fo(X) e a distribuição acumulada teórica, sob Ho,
onde Ho e a hipótese de que cada uma das 5 cópias tenha
precisamente 1/5 das preferências. S10(X) e a distribuição
acumulada das frequências observadas das escolhas dos 10
individuos. A linha inferior da tabela de preferências hipotéticas da o
valor absoluto do desvio de cada valor amostral em relacao ao
correspondente valor teórico. Assim, o primeiro desvio absoluto é
2/10, que se obtém subtraindo 0 de 1/5.
 A simples inspeção da linha inferior da tabela de preferencias
hipotéticas, revela que o valor de D para esses dados é 5/10 =
0,500. E a Tabela de valores críticos indica que, para N=10, D ≥
0,500 tem probabilidade associada, sob Ho, p >0,01. Como o p
associado ao valor observado de D é menor do que α = 0,01, nossa
decisão neste estudo será rejeitar Ho em favor de H1.
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Conclusão do Teste
Conclui-se que os indivíduos demonstram significativa
preferência em relacão as tonalidades de cor.
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