Unidade 4
Análise dimensional e
semelhança mecânica
Vamos inicialmente
discutir quais as
vantagens de
recorrermos a
análise dimensional
e semelhança.
Introdução
vantagens
experiência
esfera
viscosímetro
força de arraste
Análise Dimensional
e semelhança mecânica
17/4/2005 - v4
Teorema
"pi"
Estuda-se em laboratório a força de
resistência (força de arraste) que um
dado fluido (ρ1 e µ1) exerce no
deslocamento de uma esfera (de
diâmetro D) em seu meio.
A experiência realizada para o referido
estudo é representada pela figura do
próximo slide
Variando-se a velocidade v1 , para uma dada esfera de diâmetro D1 e
para um dado fluido (ρ e µ1), pode se obter a tabela apresentada a
seguir:
Através da tabela anterior, obtém-se a
curva representada a seguir
Podemos constatar facilmente que a curva
representada no slide anterior é uma
curva particular, mesmo porque
apresenta, tanto na ordenada como na
abscissa, grandezas dimensionais.
Objetivo - Generalizar as informações
obtidas em laboratório.
Para que possamos exemplificar o objetivo
mencionado anteriormente, vamos supor
que nos seja dirigida a seguinte questão:
“Qual a força exercida
em uma esfera de
diâmetro D2 ; quando esta
se desloca no mesmo
fluido com a velocidade
v2?”
Condição: A resposta da
questão deve ser obtida
sem se recorrer a ensaios.
É justamente para
satisfazer esta condição
que recorremos à análise
dimensional.
E para sua introdução
deve-se inicialmente
definir a função que
caracteriza o fenômeno
Temos as seguintes variáveis que
caracterizam o fenômeno:
F - força de arraste
D - diâmetro da esfera
v - velocidade da esfera ou
velocidade do fluido
ρ - massa específica do fluido
µ - viscosidade do fluido
A análise dimensional determina
os números adimensionais
(números puros) que definem o
fenômeno estudado. Para o
exemplo anterior, temos:
Pelo fato das duas situações: a
ensaiada em laboratório e a é
questionada, serem semelhantes,
podemos afirmar que ambas são
caracterizadas pelas mesmas
variáveis, o que equivale a dizer
que π1 e π2 definem as duas
situações.
Podemos a partir dos dados obtidos
no ensaio, obter a tabela
representada a seguir:
A partir da tabela anterior, podemos obter
a curva universal do fenômeno, que é
aquela que tanto na ordenada como na
abscissa, temos números adimensionais
(números universais); o que equivale a
dizer que, valem tanto para o fenômeno
ensaiado em laboratório como para o
fenômeno que é questionado.
Pela condição de semelhança, podemos
escrever que:
Para o fenômeno questionado, temos os
seguintes dados: ρ2 = ρ1; µ2 = µ1 ; D2 e v2, e
isto nos permite calcular:
Pela condição de semelhança é igual a p2)ensaiado.
Sabendo que π2)q = π2)e na abscissa da curva universal,
podemos ler, na ordenada π1)ensaiado, que pela condição de
semelhança e igual a π1)questionado.
e isto permite calcular a força F2 sem
recorrer a ensaios, já que:
Teorema dos p
É o teorema que nos
permite determinar os
números adimensionais a
partir da função
característica.
Partindo-se da função
característica, f (F, V, ρ, µ,
D) = 0, a aplicação do
teorema dos π respeita a
seguinte seqüência:
1º PASSO:
Determinar o número de grandezas
que influenciam o fenômeno - n
n=5
2º PASSO:
Escrevemos a equação
dimensional de cada uma das
grandezas.
[F] = F
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T
[D] = L
3º PASSO:
Determinamos o número de
grandezas fundamentais
envolvidas no fenômeno - K.
K=3
4º PASSO: Determinamos o
número de números
adimensionais que
caracterizam o fenômeno m
m=n-K∴m=2
5º PASSO:
Estabelecemos a base dos
números adimensionais.
Definição de base - É um
conjunto de K variáveis
independentes comuns aos
adimensionais a serem
determinados, com exceção dos
seus expoentes.
Variáveis independentes- São
aquelas que apresentam as suas
equações dimensionais diferentes
entre si de pelo menos uma
grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como
variáveis independentes.
ρ e µ como variáveis dependentes.
Bases possíveis para o
exemplo:
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ
V D.
Para obtermos os
adimensionais já
estabelecidos para os
estudos de Mecânica dos
Fluidos, geralmente
adotamos a base ρ V D, ou a
que mais se assemelha a
esta.
Para o exemplo, adotamos a
base ρ V D.
6º PASSO :
Escrevemos os
números adimensionais,
multiplicando a base
adotada por cada uma
das variáveis que
restaram na função
característica após a
sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Para obtermos os expoentes da base,
substituímos cada uma das variáveis por sua
respectiva equação dimensional, inclusive o
número adimensional.
Para p1 tem-se:
Para p2 tem-se:
Condição de semelhança Completa
Para que possamos obter as informações
do protótipo (fenômeno não ensaiado),
através das informações obtidas no ensaio
do modelo, ambos devem ser
caracterizados pela mesma função
características, o que equivale a dizer, que
tanto o protótipo, como o modelo, serão
definidos pela mesma função equivalente
W [W (π1 , π2 , π3 ....)=0].
A condição de semelhança completa
estabelece que:
π1m = π1p
π2m = π2p
π3m = π3p . . .
Escala de Semelhança
A escala de semelhança de uma propriedade α qualquer é
sempre definida como sendo a relação entre αm e αp.
Exemplo: