CURSO APOIO
MATEMÁTICA
07. Três números estão em Progressão Aritmética (PA) crescente de razão 35. Se subtrairmos 25 do termo
central, essa PA transforma-se em uma Progressão Geométrica (PG) também crescente.
Desse modo, determine:
a) a soma dos termos da PA e a soma dos termos da PG.
b) o quociente obtido na divisão da diferença entre os quadrados dos segundos termos da PA e da PG,
nessa ordem, pelo quadrado da soma dos mesmos termos.
RESOLUÇÃO
a) (x-35, x, x+35) formam uma P.A. e ( x-35, x -25,
x+35) formam uma P.G.
2
Daí, (x-25) =( x-35).(x+35) , logo x= 37.
b) 37 é segundo termo da P.A e 12 é o segundo
termo da P.G, assim o quociente pedido é:
Os três termos em P.A são ( 2, 37,72) e sua soma é
111.
Os três termos em P.G são ( 2, 12,72) e sua soma é
86.
q=
1
37 2  12 2 37  1237  12 25
=
=
37  122 37  1237  12 49
RESOLUÇÃO UFTM – JAN/13
FÍSICA/MATEMÁTICA/QUÍMICA
08. Na figura, representados em um sistema de coordenadas cartesianas, temos o gráfico da função
2
g(x) = x – 6x + 8, definida no conjunto dos números reais, e uma reta r, que passa pelo vértice da parábola
e intersecta o eixo das ordenadas no mesmo ponto que a parábola, definindo com os eixos de coordenadas
um triângulo AOP, cujos vértices situam-se nos pontos A (0, y); O (0, 0); P (x, 0).
Desse modo, determine:
a) a equação da reta r.
b) a área do triângulo AOP.
RESOLUÇÃO
a) a parábola possui vertice V(3,–1) ponto de
interseção com o eixo das ordenadas C(0,8).
A reta r passa pelos pontos (3,–1) e (0,8) e possui
coeficiente angular m = –3.
Ao substituir o ponto (0,8) e m = –3 na equação
y – y0=m(x-x0) temos que r é definida por
y – 8 = –3 (x – 0), logo a reta r tem equação
3x + y – 8 = 0.
b)
a
área
do
triângulo
AOP
é
dada
por
med (OA) xmed (OP)
2
med (OA) = 8
A=
O ponto P é interseção da reta r com o eixo das
abscissas, logo P tem coordenadas (
8
3
A área do AOP é:
8
8.
3 = 32 u.a
A=
2
3
med (OP) 
2
8
,0).
3
CURSO APOIO
2
2
2
2
2 2
09. As circunferências C1, de equação (x² + 2)² + (y – 2) = 4, e C2, de equação (x² – 3) + (x – ) = 9,
estão localizadas em um sistema de coordenadas cartesianas.
a) Encontre, caso existam, os pontos de intersecção dessas circunferências.
b) Determine o valor de x real, tal que existam duas retas por P (x, 2) tangentes às duas circunferências,
esboçando o gráfico na malha quadriculada contida no espaço reservado para Resolução e Resposta.
RESOLUÇÃO*
a)
b)
* As resoluções dessa questão foram omitidas a pedido do prof. Kleber, ele enviou uma contestação
por escrito à coordenação do vestibular da UFTM.
3
RESOLUÇÃO UFTM – JAN/13
FÍSICA/MATEMÁTICA/QUÍMICA
10. Em uma megaliquidação para troca da coleção de inverno, um lojista deu um desconto de 60% sobre o
preço de tabela (PT) de certo casaco e, ainda assim, obteve um lucro (L) de 10% sobre o preço de custo
(PC) do mesmo. Sendo PT = PC + L,
a) determine o percentual do lucro obtido na venda desse casaco pelo preço de tabela.
b) Para zerar o estoque, a última peça foi vendida com um prejuízo de 1% sobre o preço de custo.
Determine o percentual do desconto dado sobre o preço de tabela na venda dessa peça.
RESOLUÇÃO
a) Sabendo que PT = PC + L e que:
b) *
0,4PT = PC + 0,10PC
0,4PT= 1,1PC
PT=
1,1PC
0,4
PT=2,75PC
O percentual de lucro é obtido pela expressão:
PT  PC
x100
PC
2,75PC  PC
L=
x100
PC
L=
L= 175%
* A resolução do item B dessa questão, foi omitida a pedido do prof. Kleber.
4
CURSO APOIO
11. Para certa experiência, são usados dois recipientes. Sabe-se que o volume do recipiente A, com a forma
de um cilindro circular reto, é igual a 250 π cm³. Aumentando-se o raio da base em um centímetro e
mantendo-se a mesma altura, obtém-se o recipiente B, cujo volume é 44% maior que o de A. Nessas
condições, determine:
a) a medida do raio r e da altura h do cilindro A.
b) a altura aproximada atingida no cilindro B, quando o conteúdo do cilindro A, completamente cheio, for
totalmente despejado no cilindro B, inicialmente vazio.
RESOLUÇÃO
a) VA=250  cm
3
VB=1,44.250  cm
b) VB = 36  H
36  H = 250 
VA=  r h=250  cm
2
3
VB=  (r + 1) h= 1,44.250  cm
H=
3
2
3
VA
 .r 2 .h
250.


2
VB  .r  1 .h 1,44.250.
r2
1

 1,44r2 = (r+1)2  r +1 = 1,2r
2
r  1 1,44
ou r+1= - 1,2r ,
logo r = 5cm.
2
3
VA=  r h=250  cm
2
3
 (5) h=250  cm
h = 10cm
resp: r = 5cm e h = 10cm
5
250
 6,94cm
36
RESOLUÇÃO UFTM – JAN/13
FÍSICA/MATEMÁTICA/QUÍMICA
12. Até parece uma colmeia fotografada de pertinho, mas trata-se na verdade de uma amostra de óxido de
alumínio manipulada em escala nanométrica (bilionésimo de metro). Para vê-la, somente usando um
microscópio eletrônico de varredura de alta resolução ou de força atômica.
Admita que um dos “favos” da colmeia seja um hexágono regular, de lado igual a 1 nanômetro, que é igual à
bilionésima parte do metro. Determine:
a) o perímetro, em metros, desse hexágono, expresso em notação científica.
b) a área, em metros quadrados, desse hexágono.
RESOLUÇÃO
a) perímetro do hexágono:
2 3
b) A= 6.
4
2p=6 
2p=6.1nm
-9
2p= 6 .1 10 m
-9
2p=6 . 10 m
1.10 
A= 6.
9 2
3
4
10 18 3
A= 6.
4
A= 1,5
6
3 . 10 18 m2
CURSO APOIO
13. A tabela mostra os números de inscritos, por sexo, em cada um dos três cursos de especialização
oferecidos por uma faculdade.
a) Suponha que duas pessoas, inscritas em qualquer um dos três cursos, sejam sorteadas, ao acaso e com
reposição, para ganhar uma bolsa de estudos e um estágio. Nessas condições, determine a probabilidade
de que ambas sejam do mesmo sexo.
b) Suponha que uma das pessoas inscritas seja escolhida aleatoriamente. Sabendo que é do sexo
feminino, determine a probabilidade de que ela esteja inscrita no curso Z.
RESOLUÇÃO
a) espaço amostral : escolher duas pessoas
b) F CONJUNTO DAS PESSOAS DO SEXO
FEMININO
Z CONJUNTO DAS PESSOAS DO CURSO Z
bolsa estágio
100 x 100
= 10000
10
PZ  F  100 1
P( Z\F) =
=

50 5
P F 
100
Evento: escolher duas pessoas de mesmo sexo
bolsa(H ) estágio (H )
50
x 50
Ou
= 2500
bolsa(M ) estágio (M )
50
x 50
= 2500
Probabilidade:
P=
5000
 50%
10000
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RESOLUÇÃO UFTM – JAN/13
FÍSICA/MATEMÁTICA/QUÍMICA
14. Na figura, os pontos SABC delimitam a área de uma grande plantação de cana. Sabe-se que B e C são
pontos que possibilitam o acesso das colheitadeiras e dos caminhões transportadores, que A é o posto de
abastecimento e que S é o posto de fiscalização e controle, sendo a distância, em quilômetros, entre os
pontos A e B igual a 4 3 . Sabe-se também que a medida do ângulo AB C é igual a 135º.
Nessas condições, determine:
a) a medida da hipotenusa e a área, em quilômetros quadrados, do triângulo ABS.
b) a distância, em quilômetros, entre os pontos B e C.
RESOLUÇÃO
a) para determinar a hipotenusa
o ângulo ABS.
BS basta determinar
1 - O ângulo B’BC mede 45°, logo o
isósceles,
BS :
AB
BS
3 4 3

2
BS
BS = 8 cm
cos 30 
sen30 
BB '
BS
1 BB '

2
8
1
.8.4 3sen30
2
BB ' = 4
BC = BB ' . 2
BC = 4 2
1
1
A = .8.4 3.
2
2
A = 8 3 u.a
8
 BB’C é
BB '  B' C e BC = BB ' . 2
O seguimento
ÁREA DE ABS :
A=
BB ' , sendo B’ projeção ortogonal de B
sobre seguimento de reta SC .
segmento
1 - O ãngulo SBC mede 105°.
2- O ângulo ABS mede 30°.
HIPOTENUSA
b) para calcular o lado BC basta traçar o
BB ' é obtido da seguinte maneira: