Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação
Teoria do Sinal – 2009/2010
Série de Problemas nº 2
Responda às questões apresentando os cálculos que efectuar e JUSTIFICANDO as respostas dadas. Boa
sorte!
PROBLEMA 1 (1.0+1.0+1.0)
Considere que o resultado de uma dada experiência é um inteiro K, tal que 0 ≤ K ≤ 2, e que os valores são
equiprováveis. A experiência é efectuada três vezes, dando origem aos valores K1, K2 e K3. Seja A o
acontecimento correspondente a K1 ≠ (K2 + K3), seja B o acontecimento correspondente a K1 = K2, seja C
o acontecimento correspondente a K2 > K3 e seja D o acontecimento correspondente (K1 + K2 + K3) ≥ 6.
a) Faça um diagrama de Venn, assinalando explicitamente os acontecimentos A, B, C e D.
b) Determine os conjuntos correspondentes aos acontecimentos AB, AC, AD, BC, BD, CD, AcB e ABC.
c) Calcule as probabilidades de ocorrência dos acontecimentos A, B, C, D, AB, AC, AD, BC, BD, CD,
AcB e ABC.
PROBLEMA 2 (2.0+1.0+1.0)
Considere que dois condensadores são aleatoriamente retirados de um saco que inicialmente contém 8
condensadores de 1 nF (P), 4 condensadores de 10 nF (M) e 6 condensadores de 100 nF (G).
a) Determine a probabilidade dos dois condensadores retirados do saco terem capacidades iguais.
b) Determine a probabilidade dos dois condensadores retirados do saco terem capacidades diferentes.
c) Considerando que os dois condensadores retirados do saco têm a mesma capacidade, determine a
probabilidade de estes serem de 10 nF.
PROBLEMA 3 (1.0+1.5+1.5+1.0)
Considere uma linha de produção de resistências de 10 kΩ, onde são produzidas embalagens com 5
resistências cada. Suponha que o desvio em kΩ do valor de cada uma destas resistências em relação ao seu
valor nominal é uma variável aleatória X que tem a seguinte função densidade de probabilidade:
x
1 −
p ( x) = e 2 .
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Uma resistência é considerada defeituosa se a sua resistência se desviar mais do que 1 kΩ do valor
nominal.
a) Determine a probabilidade de uma resistência ser considerada defeituosa.
b) Considerando uma variável aleatória I correspondente ao número de resistências defeituosas numa
embalagem, determine e represente a função de probabilidade PI(i) e a função de distribuição FI(i).
c) Assumindo que a embalagem deixa de ser aceitável para venda se houver 2 ou mais resistências
defeituosas, calcule a probabilidade da embalagem ser rejeitada pelo departamento de qualidade.
d) Admita que alterou o processo de produção de modo a reduzir o desvio padrão da variável aleatória X
para metade. Indique qual seria a redução percentual na probabilidade de rejeição de cada embalagem.
PROBLEMA 4 (1.0+2.0)
Considere que a função densidade de probabilidade do sinal x(t) posto à entrada do sistema não-linear
ilustrado na Figura 1, num determinado instante t, é gaussiana de média nula e de variância 4.
y
x(t)
y(t)
1
-2
2
1
-1
x
Figura 1
a) Determine a probabilidade de em cada instante temporal t o sinal y(t) valer 0 e de valer 1.
b) Determine a função densidade de probabilidade do sinal de saída.
PROBLEMA 5 (1.0+1.5+1.0+1.5)
Considere o processo aleatório gaussiano n(t), com média nula e função de autocorrelação
Rn(τ)=(η/2)δ(τ). Assuma que o filtro é linear e invariante no tempo com função de transferência
H(f)=(1/B)Π(f/B). Seja x(t) o ruído filtrado e y(t) a soma do ruído filtrado x(t) com o sinal independente
w(t) que consiste numa sequência ternária de dados aleatórios com níveis equiprováveis de amplitude –A,
0 e A, como se ilustra na Figura 2.
x(t)
n(t)
Filtro H(f)
y(t)=x(t)+w(t)
+
w(t)
Figura 2
a)
b)
c)
d)
Determine a potência média do sinal x(t).
Determine a função densidade de probabilidade do sinal x(t).
Determine a função densidade de probabilidade do sinal w(t).
Determine a função densidade de probabilidade do sinal y(t).