FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Noções de Proporcionalidade
Matemática
Ensino Fundamental II
A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação
básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da
pluralidade cultural e do respeito às diferenças.
COORDENAÇÃO DO PROGRAMA
Equipe de Educação Fundação Vale
APOIO EDITORIAL
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
PARCEIRO
Comunidade Educativa CEDAC
EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO
JVAB Edições Ltda
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
Inventum Design
selo FSC
Este símbolo indica que o papel utilizado
neste material foi produzido com madeiras
de florestas certificadas.
Noções de Proporcionalidade
Noções de proporcionalidade
Professor(a),
Neste bimestre, trabalharemos com uma das ideias fundamentais da matemática: a proporcionalidade.
Vamos nos aproximar de uma perspectiva que entende a proporcionalidade como uma noção que deve ser trabalhada ao longo de todos os anos do Ensino Fundamental, e não como um conteúdo em si,
trabalhado em uma única etapa ou ano escolar.
Discutiremos aspectos definidores da noção de proporcionalidade, bem como os diversos procedimentos que podem ser utilizados para a resolução de problemas nos quais essa noção é válida. Teremos
também a oportunidade de trocar experiências sobre as diferentes abordagens, dificuldades e avanços
com o trabalho nesse contexto.
Por fim, vamos selecionar e planejar uma atividade para ser realizada junto aos alunos.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:
Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.
n
Apropriar-se da noção de proporcionalidade como uma ideia fundamental da
matemática, que está presente no desenvolvimento de diversos conteúdos ao longo de
toda a educação básica.
n
Desenvolver estratégias para o ensino da noção de proporcionalidade que privilegiem
o desenvolvimento, por parte do aluno, de competências como a argumentação
e a validação.
n
Desenvolver estratégias para o ensino da noção de proporcionalidade que privilegiem
a autonomia do aluno na escolha do procedimento adequado para a resolução de uma
situação-problema.
n
1
Formação de Professores
Analisar problemas matemáticos e identificar a validade ou não da noção de
proporcionalidade para cada situação.
n
Analisar e interpretar produções dos alunos, com o objetivo de avaliar os processos de
ensino e aprendizagem e, a partir disso, planejar novas ações.
n
Compreender a prática docente como uma possibilidade de criação e reflexão de novos
conhecimentos, sendo estes modificados continuamente.
n
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes
conteúdos:
Ideias fundamentais da matemática.
n
Noções gerais sobre proporcionalidade.
n
O conceito de proporcionalidade.
n
Procedimentos de resolução de problemas que envolvem a noção de proporcionalidade.
n
2
Noções de Proporcionalidade
Encontro Presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa
Duração: 15min
Considerando que o tema central de estudo deste bimestre é proporcionalidade, reflita sobre a seguinte
questão: O que você pensa quando esse tema está em jogo?
Compartilhe suas reflexões com os colegas, preparando-se para aprofundá-las ao longo deste caderno.
Atividade de contextualização
Duração: 40min
1. Em pequenos grupos, resolvam os problemas a seguir e reflitam sobre eles tendo como foco a seguinte questão:
Quais são as ideias comuns entre esses problemas?
a) Sabendo que o preço de um pacote de figurinhas é R$ 2,00 e que a cada 5 pacotes comprados
se leva um de brinde, qual seria o preço de 33 pacotes?
b) Qual é o perímetro de um retângulo com 36 cm² de área?
3
Formação de Professores
c) Para encher certo reservatório são necessárias três torneiras abertas. Quanto tempo seria necessário para o enchimento do reservatório se fossem utilizadas quatro dessas torneiras?
d) Observe a sequência abaixo:
Desenhe a quarta figura dessa sequência e explique como você pensou.
n
Considerando o lado do primeiro quadrado como uma unidade de medida de comprimento,
calcule o perímetro de um quadrado cujo lado seja 20 unidades.
n
e) Calcule o perímetro de uma circunferência de raio 15 cm.
4
Noções de Proporcionalidade
f ) Considere todas as receitas de limonada abaixo:
Receita
Suco puro (litros)
Água (litros)
A
3
10
B
2
7
C
3
8
D
9
21
E
3
7
Ordene-as da mais concentrada para a menos concentrada.
g) Hoje Pedro completa 5 anos. Seu pai tem 32 anos. Quando Pedro completar o dobro de anos,
qual será a idade de seu pai?
2.De acordo com as ideias levantadas, como vocês agrupariam esses problemas? Registrem as conclusões a que o grupo chegou. Em seguida, compartilhem com os colegas.
5
Formação de Professores
3.Com o propósito de sistematizarmos as discussões sobre proporcionalidade, elaborem, coletivamente, o
esquema que segue .
PROPORCIONALIDADE
CONHECIMENTOS
MATEMÁTICOS
6
CONHECIMENTOS
DIDÁTICOS
Noções de Proporcionalidade
A prática em questão
Duração: 2h25min
Momento 1 – Noções gerais de proporcionalidade
Duração: 45min
1. Leiam, de maneira compartilhada, o texto a seguir. Durante a leitura, façam marcações identificando
aspectos que chamaram sua atenção (ideias interessantes, novidades, dúvidas, curiosidades etc.).
Proporcionalidade: uma ideia fundamental
Ao longo de toda a Educação Básica, o ensino de matemática deve contemplar algumas
ideias fundamentais, como equivalência e ordem, proporcionalidade, interdependência e
continuidade. Como apontam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no que tange às recomendações quanto à organização de conteúdos, “ao planejar suas atividades, o professor
procurará articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando a possibilitar a compreensão mais ampla que o aluno possa atingir a respeito dos princípios e métodos básicos do corpo
de conhecimentos matemáticos (proporcionalidade, equivalência, indução, dedução etc.)”.
Essas ideias, denominadas fundamentais, estão presentes nos conteúdos da organização curricular de todos os anos escolares e não devem ser consideradas como conteúdos em si próprios. Os conteúdos são veículos para a aprendizagem dessas ideias e devem ser selecionados
de acordo com a sua potencialidade, visando a instrumentalizar os alunos para a vida e desenvolver suas formas de pensar.
No trabalho com a noção de proporcionalidade, um método é bastante difundido e chega a
confundir-se com o conceito da própria noção: trata-se da conhecida regra de três. No sentido de evitar tal confusão, é interessante que, inicialmente, os alunos passem por um processo
de descoberta, fazendo relações entre as situações enfrentadas e determinados procedimentos de resolução, percebendo propriedades e características da ideia de proporcionalidade
para, a partir de então, construírem e compreenderem o método da regra de três. O trabalho
com esse método, que é um algoritmo, deve ser retardado em relação à exploração de procedimentos diversos.
Nesse contexto, a discussão sobre conceito e método se faz bastante importante e, por isso,
cabe definirmos a noção de proporcionalidade:
Uma situação pode envolver a noção de proporcionalidade de maneira direta ou inversa.
Na situação que envolve proporcionalidade direta, o quociente entre as quantidades que se
correspondem é constante, como uma relação entre o número de pacotes iguais e seus respectivos pesos quando agrupados. Por exemplo:
7
Formação de Professores
Pacotes
Peso (kg)
1
2,0
2
4,0
3
6,0
5
10,0
7
14,0
Neste caso, o quociente entre peso e número de pacotes correspondentes é constante e igual
a 2 ou, de modo análogo, o quociente entre número de pacotes e peso correspondentes é
constante e igual a ½.
Tecnicamente, sendo y o peso dos pacotes e x o número de pacotes, temos:
y
peso =
= 2, ou seja, y = 2x
x
pacotes
Graficamente:
7
y
6
5
4
3
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
6
7
Dizemos que as duas grandezas crescem (ou decrescem) de maneira diretamente proporcional, isto é, que ambas crescem (ou decrescem) segundo a mesma taxa de variação (dobro, triplo etc. ou metade, um terço etc.).
8
Noções de Proporcionalidade
Na situação que envolve proporcionalidade inversa, o produto entre as quantidades que se
correspondem é constante, como uma relação entre a velocidade média de um automóvel e
o tempo de duração de uma viagem com determinada distância, por exemplo:
Velocidade
média (km/h)
Tempo de
viagem* (h)
125
4
100
5
50
10
25
20
*considerando uma viagem de 500 km
de distância e sem paradas.
Neste exemplo, o produto entre velocidade média e o tempo de viagem correspondente é
constante e igual a 500.
Tecnicamente, sendo v o valor da velocidade média e t o tempo de viagem, temos:
v × t = 500 ou seja, v = 500
t
Graficamente:
v
80
70
60
50
40
30
20
10
t
-10
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9
Formação de Professores
Dizemos que as duas grandezas são inversamente proporcionais, isto é, que uma cresce com
a mesma taxa de variação com que a outra decresce (uma dobra e a outra cai pela metade;
uma triplica e a outra se reduz a um terço etc.).
A conhecida regra de três é um método que funciona em situações que envolvem a noção de
proporcionalidade direta, como no primeiro exemplo (pacotes e pesos). Isso se deve à própria
definição da noção (quociente constante). Além desse método, existem outros procedimentos aos quais os alunos podem recorrer para resolver situações semelhantes. Sempre que a
proporcionalidade direta é válida, temos, por exemplo, que1:
a) Ao multiplicar ou dividir o valor de uma das grandezas por um número, o valor correspondente da outra também é multiplicado ou dividido, respectivamente, pelo mesmo número;
b) A soma de valores de uma grandeza corresponde à soma dos valores correspondentes
da outra grandeza.
A ideia é que os alunos compreendam, de fato, a noção de proporcionalidade, para que assim
possam desenvolver sua autonomia no que diz respeito à escolha de procedimentos que sejam
adequados para determinadas situações. Nem sempre um determinado método (como a regra
de três) é o mais eficaz, econômico ou prático (depende da situação). Vejamos alguns exemplos:
1) Duas canetas custam R$ 3,00. Quanto dinheiro é necessário para comprar 12 canetas?
Canetas
Dinheiro (R$)
2
3
12
x
A constante de proporcionalidade nesta situação é 1,5 (3 dividido por 2), porém, nesse caso, talvez
seja conveniente considerar que 12 é o sêxtuplo de 2 e, assim, sabendo que a mesma relação se dá
com a outra grandeza, concluir que o dinheiro necessário (x) será o sêxtuplo de 3, isto é, R$ 18,00.
2) Em um comércio, 1,5 m de fio custa R$ 3,00. Quantos metros são possíveis comprar com R$ 40,50?
Fio (m)
Dinheiro (R$)
1,5
3
x
40,50
1 Duas propriedades inerentes à noção de proporcionalidade. Fonte: PONCE, Héctor. Enseñar y aprender matemática:. propuestas
para el segundo ciclo. Buenos Aires: Centro de Publicaciones Educativas y Material Didáctico, 2006.
10
Noções de Proporcionalidade
Nesta situação, a constante de proporcionalidade é 2 (3 dividido por 1,5) e, de fato, é conveniente utilizá-la, isto é, sendo tal constante igual a 2, sabe-se que a quantidade de fio (x)
a ser comprada é igual à metade de 40,5. Assim, conclui-se que com R$ 40,50 é possível
comprar 20,25 m de fio.
Por ser uma ideia fundamental da matemática, a proporcionalidade está presente em diversos
conteúdos ao longo do Ensino Fundamental, os quais servem de veículo para sua aprendizagem. Como apontam os PCN, a proporcionalidade “aparece na resolução de problemas multiplicativos, nos estudos de porcentagem, de semelhança de figuras, na matemática financeira, na
análise de tabelas, gráficos e funções”. Porém, para a compreensão dessa noção, é preciso também explorar situações em que as relações não sejam proporcionais (os contraexemplos).
Por exemplo: quando a questão “Tenho um quadrado com 3 cm de lado e outro com o dobro
da medida. A área da segunda figura também será o dobro da área da primeira?” é proposta
aos alunos, muitos respondem afirmativamente, uma vez que assumem, erroneamente, a
existência da proporcionalidade na situação. Isso se deve, muitas vezes, à não compreensão
da noção. É comum identificarem proporcionalidade nas situações em que duas grandezas
simplesmente crescem (ou decrescem), ignorando o fato de que devem crescer (ou decrescer) segundo uma constante de proporcionalidade, como já visto.
Analisar e compreender contraexemplos compõem o processo de aprendizagem e possibilitam avanços por parte dos alunos, permitindo que eles conheçam também os limites da própria noção para a resolução de problemas.
Ana Elisa Zambon
Samuel Gomes Duarte
Simone Azevedo
Equipe Comunidade Educativa CEDAC, 2013.
2. Retomem o esquema preenchido na Atividade de Contextualização e, a partir do que foi discutido
no texto, reflitam sobre a questão a seguir: O estudo realizado confirma, amplia e/ou modifica o esquema construído?
3. Coletivamente, façam as atualizações necessárias no esquema.
Momento 2 - Planejamento passo a passo
Duração: 1h40min
1. Considerando os estudos realizados até o momento, vamos planejar uma atividade que contemple
noções de proporcionalidade. Para isso, organizem-se em pequenos grupos, de preferência formado por professores que atuam no mesmo ano escolar, e desenvolvam os seguintes passos:
11
Formação de Professores
a) Escolha do conteúdo
O primeiro passo para a realização deste planejamento é a escolha do conteúdo que será abordado.
O conteúdo selecionado deve ser aquele que está sendo trabalhado atualmente em sala de aula ou
que esteja programado para o momento em que esta atividade será aplicada.
Conteúdo específico selecionado:
Ano escolar:
b) Escolha do problema
Tendo em vista o conteúdo específico elencado, selecionem no livro didático um problema que envolva
noções de proporcionalidade e que vocês consideram que será um verdadeiro problema para os alunos.
Problema selecionado:
Fonte:
c) Seleção das etapas do planejamento
A escolha do conteúdo e do problema é apenas uma das etapas do ato de planejar. Por isso, definam
quais são as outras etapas que irão compor o planejamento desta atividade e registrem.
Se necessário, retomem os passos apresentados nos cadernos anteriores e/ou incluam outros novos.
12
Noções de Proporcionalidade
d) Elaboração do planejamento
Com base nos itens anteriores, elaborem o planejamento da atividade considerando os encaminhamentos e orientações necessários para cada etapa elencada. Para isso, utilizem o quadro de planejamento a seguir:
Planejamento da atividade de resolução de problemas: noções de proporcionalidade
Etapas
Planejamento: encaminhamentos e orientações gerais
Avaliação do encontro
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial. Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais o seu
processo de formação junto ao programa de Educação da Fundação Vale.
13
Formação de Professores
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que você, professor, desenvolva com seus alunos uma atividade que aborde noções
de proporcionalidade, planejada no Encontro Presencial. Para isso, siga os passos a seguir:
n
Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas, individualmente e/ou com
seus colegas.
Retomem os conteúdos que serão trabalhados na atividade e também os encaminhamentos que
planejaram.
n
Se planejaram usar algum material como suporte para apresentação da atividade, como cartaz ou
folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
n
Registrando a prática
Para produzir o registro da Aplicação Prática, utilizem o modelo a seguir:
Registro da atividade
Município:
Escola:
Professor que realizou a aula planejada:
Ano:
Quantidade de alunos presentes no dia da atividade:
Tempo utilizado para a realização da atividade:
Conteúdo específico abordado:
1) Qual foi o problema proposto? (escreva o problema na íntegra)
2) Como a ideia de proporcionalidade está presente no problema proposto?
14
Noções de Proporcionalidade
3) Registre algumas falas dos alunos que evidenciem que eles identificaram, durante a busca por uma estratégia
de resolução, noções de proporcionalidade no problema proposto, ainda que não mencionem termos específicos
dessa noção.
4) Descreva, na íntegra, os diversos procedimentos utilizados pelos alunos para resolver o problema. Se possível, digitalize
os registros dos alunos.
5) Quais são as principais diferenças entre os procedimentos utilizados pelos alunos? Como essa análise pode contribuir
para a continuidade do trabalho com noções de proporcionalidade?
6) A partir do que foi registrado nas questões anteriores (falas e procedimentos dos alunos), você considera que o
problema proposto foi um verdadeiro problema para os alunos? Justifique.
15
Formação de Professores
Grupo de Estudos
Duração: 4h
Este Grupo de Estudos tem como objetivo avançar nas discussões realizadas no Encontro Presencial.
Como um suporte para esse momento de estudo, você pode, sempre que necessário, retomar o texto
“Proporcionalidade: uma ideia fundamental”, localizado na página 6 deste caderno, na seção A prática
em questão.
1. Coletivamente, façam a leitura do texto “Problemas de proporção”. Durante a leitura identifiquem,
com marcações no texto, pontos específicos, dúvidas, questionamentos e novas ideias para serem
compartilhados e discutidos com seus colegas
Problemas de proporção
No estudo da proporcionalidade, é essencial analisar grandezas, compreender o contexto do
problema e usar várias estratégias de cálculo.
Desde os primeiros anos do Ensino Fundamental, os alunos conseguem resolver problemas
do tipo “se duas maçãs custam 3 reais, qual será o valor de quatro?” sem saber que se trata de
uma proporção. Lançam mão de estratégias variadas, como os desenhos e a adição sucessiva,
e não costumam encontrar obstáculos. Já por volta do 6º ano, o conteúdo passa a ser trabalhado de forma mais ampla e recebe o nome de proporcionalidade: a relação – direta ou inversa – de valores de duas grandezas, sendo que a grandeza é algo que pode ser medido, como tempo e unidades.
Nessa fase, começam a surgir mais dificuldades, muitas vezes devido à maneira de o professor
abordar esse conteúdo. Isso ocorre quando a regra de três é apontada como o único caminho
de resolução ou se mostra uma definição para que as crianças aprendam. Garanta a aprendizagem considerando o que elas já sabem e proponha situações complexas. Esses conhecimentos serão usados mais adiante, durante o ensino do Teorema de Tales, das funções, do cálculo de problemas que envolvem a escala etc.
O primeiro passo é saber quando existe a proporção
“É essencial o aluno compreender a relação estabelecida entre as grandezas de um problema
para decidir se usa ou não as estratégias da proporcionalidade”, diz José Pastore Mello, professor do Colégio Santa Cruz, em São Paulo. Tomar uma decisão dessas implica analisar vários
enunciados, como este: “João tem 5 anos, e seu pai, 30. Quando João tiver o dobro de sua idade, seu pai também terá duas vezes o que tem hoje?”. As discussões devem mostrar que João
terá 10 anos daqui a cinco anos. Nesse tempo, o pai terá 35 anos, e não 60. Portanto, não é
uma relação proporcional. “Ao mesmo tempo que o aluno aprende que existe proporção, deve notar que nem sempre ela está presente”, diz Ruy Pietropaolo, da Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban) e selecionador do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10.
16
Noções de Proporcionalidade
Problemas, equívocos e seus porquês
Nos exemplos abaixo estão os principais pontos em que os alunos se confundem. Compreendê-los é o caminho para ajudar a turma a avançar.
Análise de problemas
Um atleta corre 100 m em 10 segundos. Numa prova de 800 m, ele levará 80 segundos?
Resposta do aluno
Sim, porque se a distância que ele correr for 8 vezes maior, o tempo também será 8
vezes maior.
Comentário: o aluno levou em conta a proporcionalidade, mas a situação é irreal porque o corredor não consegue manter essa velocidade constante em provas que exigem
habilidades tão distintas.
Busca de regularidades diretas
Tenho um quadrado com 3 cm de lado e outro com o dobro da medida. A área da segunda
figura também será o dobro da área da primeira?
Resposta do aluno
Sim. Se o lado é o dobro, a área também é.
Comentário: o estudante considerou que o lado e a área são diretamente proporcionais, o que não é verdade. Nesse caso, a área ficou quatro vezes maior.
Busca de regularidades inversas
Um automóvel percorre determinada distância em 3 horas com a velocidade média de 60
km/h. Se a velocidade média for de 120 km/h, quanto tempo levará para ele atravessar a mesma distância?
Resposta do aluno
Dobro da velocidade:
60 km/h x 2 = 120 km/h
Dobro do tempo:
3 horas x 2 = 6 horas
Ele levará 6 horas.
Comentário: o aluno achou que as grandezas (velocidade e distância) eram diretamente proporcionais, mas na verdade a relação entre elas é inversa: se a velocidade dobrar, o tempo será a metade.
17
Formação de Professores
Análise de constantes
Um colecionador produziu um folheto para divulgar a venda de seus discos antigos. Observe
a tabela abaixo e responda se existe uma razão de proporcionalidade entre a quantidade de
discos e o preço cobrado. Se sim, qual é ela?
Quantidade de discos
1
2
3
4
Preço - R$
5
9
13
17
+4
+4
+4
Resposta do aluno
Sim, existe, porque, se aumentamos o número de discos, aumentamos o preço. Nesse caso, a razão é 4.
Comentário: é verdade que, se aumenta o número de discos, o preço também aumenta. Porém, não na mesma proporção. Se fosse assim, dois discos custariam R$
10 e não R$ 9. O que o aluno considerou como razão 4 é o valor unitário de cada disco depois da segunda unidade vendida.
Problemas ajudam a identificar a relação entre grandezas
Resolver, errar e retomar problemas faz com que os estudantes notem se os dados proporcionais
têm uma relação direta (as duas grandezas aumentam) ou inversa (uma aumenta e a outra diminui). Mas essas definições não bastam. Calcular a constante (ou razão) é o que permite entender
como esses valores são alterados. “É essencial que as variações sejam proporcionalmente iguais
e não aleatórias”, explica Pastore. Para compreender esse conceito, os estudantes podem analisar
e justificar afirmações como esta: “Se 1 pacote de figurinhas tem 5 unidades, logo, 13 pacotes terão 65. A relação entre o número de pacotes e de figurinhas é diretamente proporcional”. Dividindo uma grandeza pela outra, como 5 ÷ 1, nota-se que o resultado é igual a 5.
Organizar os dados dos problemas é uma maneira de enxergar o que se tem disponível e
pensar na melhor estratégia para resolvê-los. Isso pode ser feito em tabelas, na regra de
três, em pequenos textos ou em contas armadas. Esses registros também colaboram para
a compreensão da proporcionalidade inversa, como no problema a seguir: “Em uma fábrica, 5 máquinas pintam 10 m de tecido em 30 minutos. Se a pintura for feita em 15 minutos, quantas máquinas serão necessárias?”. Para solucioná-lo, os alunos podem fazer testes com os valores do número de máquinas ou com o tempo. A chave para compreender
essa relação é notar que, se dobrar o número de máquinas, o tempo diminuirá pela metade e a constante será o produto da multiplicação dos números de máquinas pelo tempo (5 x 30 = 150).
Izabella Oliveira, da Universidade Laval, no Canadá, considera que a análise do raciocínio feito
pelos alunos deve fazer parte do trabalho do professor. Dessa forma, outras situações podem
18
Noções de Proporcionalidade
ser planejadas, incluindo propostas com variáveis diversas, como no uso de números decimais e fracionários nos problemas, para oferecer desafios progressivos.
Extraído de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/
problemas-proporcao-numeros-matematica-584437.shtml. Acesso em: 25 jul. 2013.
2. Socializem e discutam com os colegas os pontos identificados por vocês durante a leitura do texto.
3. Considerando todos os estudos realizados ao longo deste caderno, leiam as afirmações abaixo e, para cada uma, argumentem, contra ou a favor, justificando seus posicionamentos.
Afirmações
Argumentações
Regra de três é apenas um dos procedimentos que
podem ser utilizados para resolver problemas de
proporcionalidade.
Proporcionalidade é uma noção fundamental da
matemática que perpassa uma grande diversidade de
conteúdos desde os anos iniciais do Ensino Fundamental.
Quando estamos ensinando grandezas proporcionais
aos alunos, devemos evitar mencionar grandezas não
proporcionais para não confundi-los.
A proporcionalidade direta é válida na medida em que
ambas as grandezas envolvidas crescem ou ambas
decrescem.
A proporcionalidade só pode ser abordada após o
trabalho com equações do primeiro grau, visto que são
imprescindíveis para resolver regras de três.
19
Formação de Professores
4. Analisem a coleção de livro didático adotado por sua escola. Para isso, orientem-se pelos roteiros de
análise apresentados a seguir. Registrem, coletivamente, as respostas de cada uma das questões que
compõem os roteiros.
Roteiro 1
a) Há algum capítulo específico para o trabalho com proporcionalidade, ou seja, que traz esse termo no título do capítulo?
b) Em que ano escolar está localizado esse capítulo?
c) A forma como esse capítulo aborda a noção de proporcionalidade permite a compreensão de
que essa noção está presente em diversos conteúdos estudados ao longo dos anos escolares ou
é apresentado como um conteúdo fechado em si mesmo? Justifiquem suas respostas.
d) A forma como esse capítulo aborda a noção de proporcionalidade favorece o desenvolvimento,
por parte dos alunos, de procedimentos de resolução a partir das propriedades da proporcionalidade? Justifiquem.
20
Noções de Proporcionalidade
Roteiro 2
a) Há outros capítulos que abordam de forma implícita ou explícita as noções de proporcionalidade, mas não fazem referência ao termo “proporcionalidade” no título?
b) Quais são os conteúdos propostos nesses capítulos?
c) Em que ano escolar estão localizados esses capítulos?
d) Apresentem pelo menos um problema proposto em cada um desses capítulos, explicitando a
noção de proporcionalidade presente em cada um deles.
21
Formação de Professores
Com base nas análises e nos registros dos roteiros (1 e 2) desenvolvidos, discutam sobre a questão a
seguir e registrem uma resposta que represente o consenso do grupo.
Vocês consideram que poderão planejar atividades futuras utilizando o livro didático em uma
perspectiva que contemple a proporcionalidade como uma noção fundamental da matemática?
Para isso, serão necessárias adaptações nas atividades? De que tipos? Justifiquem.
n
22
Noções de Proporcionalidade
Sugestões de leituras complementares
BIBIANO, Bianca. Problemas de Proporção. Revista Nova Escola. Disponível em: http://revistaescola.
abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/problemas-proporcao-numeros-matematica-584437.
shtml. Acesso em: 11 de ago. 2013.
n
BRASIL. Ministério da Educação. Orientações didáticas para terceiro e quarto ciclos. In: Parâmetros
Curriculares Nacionais (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 96-106.
n
FALZETTA, Ricardo. É hora de ensinar proporção. Revista Nova Escola. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/hora-ensinar-proporcao-fala-mestre-terezinha-nunes-428131.shtml. Acesso em: 11 de ago. 2013.
n
PONCE, Héctor. Ensenãr y aprender matemática: propuestas para el segundo ciclo. Buenos Aires: Centro
de Publicaciones Educativas y Material Didáctico, 2006.
n
Portal do Professor – Ministério da Educação (MEC), Brasil. Disponível em: http://portaldoprofessor.
mec.gov.br.
n
GODINO, Juan D.; BATANERO, Carmen. Proporcionalidad y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros. Universidade de Granada, 2002.
n
23
Formação de Professores
Anotações
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