PROPORCIONALIDADE
6ª série
Mafalda/ Quino,1992
Mafalda/ Quino,1992
Repare no último quadrinho.Você seria capaz de
representar o pensamento da Mafalda em linguagem
matemática?

Mafalda está comparando a quantidade de
nomes Silva que consta na lista telefônica com o
total de nomes da lista.
nº de nom esSilva
nº total de nom esda lista

E está comparando o número de chineses com
o total da população mundial.
nº de chineses
nº total da populaçãom undial

E finalmente ela compara estas duas razões
entre si, concluindo que as duas razões são
equivalentes. É isto que entendemos quando
dizemos que estão na mesma proporção.
nº de nom esSilva

nº total de nom esda lista
=
nº de chineses
nº total da populaçãom undial

A população da China é de 1,307 bilhões
de pessoas e a população mundial de 6,6
bilhões de pessoas.
1,307 bilhões  0,2  2  1
6,6 bilhões
10 5
O
que você pode dizer da população da
China em relação à população mundial?
Razão e proporção
Para entender as proporções, começaremos com
razões.
Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que
nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor
que a outra. São intimamente ligadas aos
números Racionais, do conjunto
São exemplos de razão:
Proporção
Uma proporção é uma igualdade que
compara razões.
Ela significa que as quantidades descritas
podem não ser iguais, mas estão
igualmente divididas.
Como se tivéssemos um jarra com 2 litros
(2000ml) de água com 20 gramas de açúcar.
Clip-art
Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de
água e 2,5 gramas de açúcar.
A quantidade é diferente, mas a proporção
se mantém, equacionamos:
Estas razões indicam que sempre há 100
vezes mais água que açúcar em razão do
volume por massa (ml/g).
Clip-art
A proporção da mistura é de 100 mililitros
de água por grama de açúcar.
Proporcionalidade Inversa
Como o nome indica, é a proporcionalidade entre
um número e o inverso de outro.
A principal propriedade deste tipo de proporção é
que se mantida, ao contrário do que acontece no
exemplo anterior, de quanto mais água mais
açúcar, quanto MAIS
de um elemento da
proporção MENOS de outro.
Vejamos um exemplo:
Distância Velocidade Tempo
Um motorista
gasto
profissional que viajava percorrida média
60 Km/h 9h20min
constantemente de BH 560 Km
para Uberlândia, fez a 560 Km
70 Km/h
8h
seguinte tabela,após
560 Km
80 Km/h
7h
calcular a velocidade
média.
560 Km
120 Km/h 4h40min
(V=Distância/tempo)


Obs: distância aproximada
560 Km
140 Km/h
4h
Observe a tabela.

Quando a velocidade aumenta, o que
acontece com tempo gasto na viagem?

Quando a velocidade dobra o que
acontece com o tempo gasto na viagem?
Compondo Proporções
Trabalhamos com proporções fixas, que
simplesmente ditavam que uma fração
deveria permanecer constante. Mas o que
acontece se uma grandeza é proporcional a
várias grandezas ao mesmo tempo?
Podemos
trabalhar
cada
proporcionalidade
individualmente, mas há um método para resolvêlas com uma única equação.
Começaremos com o clássico problema:
Sr. José precisava consertar
uma cerca quebrada
em sua fazenda.
Pesquisa google(23/06/2008)
501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com
Como a boiada voltaria das pastagens novas em
uma semana, precisava decidir quantos
trabalhadores contratar para terminar a cerca a
tempo.
Na construção original da cerca, ele empregou 24
homens que ergueram os 100 metros de cerca
em duas semanas.
Sabendo que o buraco se extende por apenas
25 metros, quantos homens serão
nescessários?




O número de homens é inversamente
proporcional ao tempo
O tamanho da cerca é diretamente proporcional
ao tempo
O tamanho da cerca é diretamente proporcional
ao número de homens
Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:
Homens
Tempo
Tamanho
24
2 semanas
100m
X
1 semana
25m
Cada uma das proporções diz algo a
respeito do valor total:
O que acontece com a quantidade de
homens depende das razões de tempo e
tamanho, que deverão multiplicar o número
final de homens de acordo com o tipo de
proporcionalidade.
Acontece então que o número final de
homens deve dobrar, pois o de tempo
diminuiu a metade. Deve também diminuir
4 vezes pois o mesmo aconteceu com o
tamanho.
Regra de Três
A regra de três é simplesmente um método
para resolver as proporções sem precisar de
armá-las.
A regra de três ganha seu nome do seu uso,
pois é usada para determinar um quarto valor de
um proporção quando são conhecidos três deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a
fácil visualização do problema.
Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel
de1Km de extensão.
Pesquisa google;julho 2008
Como o túnel em questão é estreito, somente um
máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na
escavação ao mesmo tempo.

Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel
resolveu dividi-los em 2 grupos de 15
trabalhadores, cada grupo escavando de um lado
da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavação gastaria 3 meses.
Em quanto tempo terminará a escavação com o
novo arranjo?
Primeiro colocamos o problema em uma
tabela:
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das
grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por
que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são
diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos,
são inversamente proporcionais.
Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma
unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.
No caso de proporção inversa, multiplicamos
os valores da tabela em linha reta e igualando,
obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma
de produto, previamente mostrada.
O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores
terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada
grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo
de tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
Observamos que a relação obtida é uma forma da
proporção:
Regra de Três composta
Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3
meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30
trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo.
No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos
trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são
necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a
distância diminua.
Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos
um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as
mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.
Depois,
quando as duas grandezas vizinhas forem
diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se
cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição
invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses
QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992