Elementos de Trigonometria (1)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS - OS - MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
O que é a Trigonometria?
Trigonometria = trigono(três ângulos) + metria = triângulo + medir.
A Trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processos
que permitem calcular medidas de lados, ou ângulos, num triângulo
a partir das medidas de outros lados, ou ângulos, no mesmo
triângulo.
É a «caixa de ferramentas» adequada para resolver muitos
problemas.
Alguns exemplos (elementares):
identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar;
identificar a altura de um monumento ou de uma árvore (sem a eles
subir!);
identificar a altura de uma montanha; a inclinação de uma encosta; a
inclinação da rua onde moramos;
fazer o levantamento topográfico de terrenos;
...
Triângulos rectângulos semelhantes
1
∆[ABE ] e ∆[ACD] são triângulos rectângulos semelhantes;
2
os pares de lados correspondentes (lados homólogos) são:
([BE ], [CD]) ,
3
([AB], [AC]) ,
([AE ], [AD]) .
em triângulos semelhantes, os pares de lados homólogos são
proporcionais, isto é, o quociente entre dois lados homólogos é
invariante, desde que tomados pela mesma ordem.
Triângulos rectângulos semelhantes
Formalmente, tem-se:
|BE|
|CD|
|BE |
|AB|
=
|CD|
|AC|
=
e
|AB|
|AC|
=
|AE|
|AD| ,
isto é,
|BE |
|AE |
|BE |
|CD|
=
⇔
=
.
|CD|
|AD|
|AE |
|AD|
(1)
Ora, relativamente ao ângulo com vértice em A, temos
cateto oposto
hipotenusa
∆[ABE]
BE
CD
=
=
=
|{z}
AE
AD
por (1)
cateto oposto
hipotenusa
.
(2)
∆[ACD]
Justificámos, assim, o facto:
Proposição
Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulos
rectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e a
hipotenusa, respectivos, é invariante.
Seno de um ângulo agudo
Este quociente depende, portanto, unicamente do ângulo; é, assim, um
número que podemos associar a cada ângulo agudo. Tal número foi
nomeado por SENO do ângulo.
Se o ângulo é α, usamos a abreviatura sin(α) [ou sen(α)] para denotar o
seno do ângulo α.
Definição
Sendo α um ângulo de um triângulo rectângulo, define-se o seno de α
pelo quociente entre o cateto oposto a α e a hipotenusa, isto é,
sin(α) =
cateto oposto
.
hipotenusa
Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,
quatro e cinco unidades de comprimento.
Calcule o seno dos ângulos agudos do triângulo.
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então sin(α) 6 1.
Um outro invariante... nos triângulos rectângulos
oposto
No quociente cateto
hipotenusa , se substituirmos cateto oposto por cateto
adjacente temos uma outra invariância. Assim,
Proposição
Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulos
rectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e a
hipotenusa, respectivos, é invariante. Isto é, é invariante o quociente
cateto adjacente
.
hipotenusa
α
Demonstração. O caminho para justificar esta Proposição é idêntico ao
que desenvolvemos para o seno de um ângulo. Que nome atribuir a este número?
Consideremos o seguinte: seja ∆[ABC] um triângulo rectângulo em C e
denotemos por α e β os ângulos agudos opostos aos lados LA e LB ,
respectivamente.
Um outro invariante... nos triângulos rectângulos
induziram a designação COSENO de um ângulo. Dizemos
LB
é o co-seno do
que hipotenusa
ângulo α por ser igual ao seno do
seu complementar.
• Se o ângulo é α, usamos a abreviatura cos(α) para denotar o coseno
do ângulo α.
Consideremos a informação contida
na seguinte tabela:
Definição
Sendo α um ângulo agudo de um
triângulo rectângulo, define-se o
sin(·)
co-seno de α pelo quociente
cateto adjacente
hipotenusa
entre o cateto adjacente a α e a
hipotenusa,
isto é,
Estes resultados e o facto de os ângulos α e β serem complementares, isto
cateto adjacente
.
cos(α) =
é:
hipotenusa
o
α + β = 90 ,
α
β
LA
hipotenusa
LB
hipotenusa
LB
hipotenusa
LA
hipotenusa
Um outro invariante... o co-seno
Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três,
quatro e cinco unidades de comprimento.
Calcule o co-seno dos ângulos agudos do triângulo.
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então cos(α) 6 1.
Demonstração. ... Para não esquecermos:
Proposição
Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então:
cos(90o − α) = sin(α);
sin(90o − α) = cos(α).
A fórmula fundamental da trigonometria
Temos:
sin(α) =
|BC|
;
|AC|
cos(α) =
|AB|
.
|AC|
Logo:
2
sin (α) =
|BC|
|AC|
2
=
(|BC|)2
;
(|AC|)2
2
cos (α) =
|AB|
|AC|
2
=
(|AB|)2
(|AC|)2
.
Portanto,
sin2 (α) + cos2 (α) =
(|BC|)2
(|AB|)2
(|AC|)
(|AC|)2
+
2
=
(|BC|)2 + (|AB|)2
(|AC|)2
=
(|AC|)2
(|AC|)2
= 1.
A tangente de um ângulo (tangente trigonométrica)
Em triângulos rectângulos semelhantes, foi mostrado que
são invariantes, os quocientes
(cat. op.)α (cat. adj.)α
,
.
hip.
hip.
(cateto oposto)α
De modo semelhante, se mostra que o quociente (cateto
adjacente)α
invariante. Este invariante designa-se por tangente do ângulo α;
denota-se por tan(α).
Definição
Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:
tan(α) =
(cateto oposto)α
.
(cateto adjacente)α
é
Valores possíveis para tan(·) de um ângulo agudo
Relativamente a um ângulo agudo α de um
triângulo rectângulo, se o cateto oposto é
maior do que o adjacente, temos
(cat. op.)α
tan(α) = (cat.
adj.) > 1.
α)
Se o cateto oposto é igual ao adjacente,
(cat. op.)α
temos tan(α) = (cat.
adj.) = 1.
α)
Se o cateto oposto é menor do que o
(cat. op.)α
adjacente, temos tan(α) = (cat.
adj.) < 1.
α)
Portanto:
Proposição
Se α é um ângulo cuja amplitude pertence ao
intervalo ]0o , 90o [, então
tan(α) ∈ ]0, +∞[.
A co-tangente de um ângulo agudo
(cateto oposto)α
Uma vez que (cateto
adjacente)α
é invariante, o seu inverso também o é. Isto é, é invariante o
adjacente)α
quociente (cateto
(cateto oposto)α .
Este invariante é a tangente
do complementar de α. Por
tal facto, designa-se por cotangente do ângulo α; denotase por cot(α).
Definição
Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se:
cot(α) =
(cateto adjacente)α
.
(cateto oposto)α
Valores possíveis para cot(·) de um ângulo agudo
Relativamente a um ângulo agudo α de um
triângulo rectângulo, se o cateto oposto é
maior do que o adjacente, temos
(cat. adj.)α
cot(α) = (cat.
op.) < 1.
α)
Se o cateto oposto é igual ao adjacente,
(cat. adj.)α
temos cot(α) = (cat.
op.) = 1.
α)
Se o cateto oposto é menor do que o
(cat. adj.)α
adjacente, temos cot(α) = (cat.
op.) > 1.
α)
Portanto:
Proposição
Se α é um ângulo cuja amplitude pertence ao
intervalo ]0o , 90o [, então
cot(α) ∈ ]0, +∞[.
Tangente versus co-tangente
Proposição
Sendo α um ângulo agudo:
tan(α) =
sin(α)
;
cos(α)
cot(α) =
cos(α)
;
sin(α)
tan(α) =
1
.
cot(α)
sin(α)
;
cos(α)
(...) Demonstração. Temos:
cat.op.
cat.op. hip.
tan(α) =
=
=
cat.adj.
cat.adj. hip.
cat.op.
hip.
cat.adj.
hip.
=
Proposição
Sendo α um ângulo agudo:
tan(90o − α) = cot(α);
Demonstração. Temos: tan(90o − α) =
cot(90o − α) = tan(α).
sin(90o −α)
cos(90o −α)
=
|{z}
porque?
cos(α)
sin(α)
= cot(α).
Razões trigonométricas do ângulo de 30o
sin(30o ) =?
1
O triângulo ∆[ABC] é rectângulo em B
[ = 30o .
e BAC
2
O triângulo ∆[ADB] é a reflexão do
∆[ABC] relativamente ao eixo AB.
Logo, o triângulo ∆[ADC] é equilátero.
3
4
Assim: |BC| = 12 |DC| e
|AC| = |DC| = |AD|.
Ora: sin(30o ) =
1
|DC|
2
cos(30o ) =?
tan(30o )
=?
|AC|
Pela FFT, cos2 (30o ) +
tan(30o )
=
sin(30o )
?
cos(30o )
=(3)
1
|DC|
2
|DC|
2
o
sin (30 ) =
cot(30o )
=?
op.
hip.
= 12 .
=
|BC|
|AC|
=(3)
1. Portanto,...
cot(30o ) =
cos(30o )
?
sin(30o )
Proposição
sin(30o ) = 12 ;
cos(30o ) =
√
3
2 ;
tan(30o ) =
√
3
3 ;
cot(30o ) =
√
3.
Razões trigonométricas do ângulo de 60o
Comecemos por recordar que 60o + 30o = 90o , isto é, 60o e 30o são
complementares.
Pelo que já vimos atrás, podemos escrever:
sin(60o ) = cos(90o − 60o ) = cos(30o ) =
√
3
2 .
cos(60o ) = sin(90o − 60o ) = sin(30o ) = 12 .
√
tan(60o ) = cot(90o − 60o ) = cot(30o ) = 3.
cot(60o ) = tan(90o − 60o ) = tan(30o ) =
√
3
3 .
Proposição
sin(60o ) =
√
3
2 ;
cos(60o ) = 12 ;
tan(60o ) =
√
3;
cot(60o ) =
√
3
3 .
Razões trigonométricas do ângulo de 45o
sin(45o ) =?
1
O triângulo ∆[ABC] é isósceles e
rectângulo em B.
2
Logo, os ângulos adjacentes ao lado
[AC] são geometricamente iguais. Uma
vez que são ângulos complementares,
decorre que a sua amplitude é de 45o .
3
Por serem complementares, o seno de
um coincide com o co-seno do outro.
Assim, sin(45o ) = cos(45o ).
Imediatamente, temos:
tan(45o ) = cot(45o ) = 1.
Usando (3) na FFT, temos: 2 sin2 (45o ) = 1 ⇔ ...
Consequentemente: cos(45o ) = ...;
4
Proposição
sin(45o ) = cos(45o ) =
√
2
2 ;
tan(45o ) = cot(45o ) = 1.
Elementos de Trigonometria (2)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS - OS - MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
Funções trigonométricas
Sentido POSITIVO de leitura
Semi-recta ȮP é o lado origem.
Semi-recta ȮQ é o lado final.
Funções trigonométricas
Sentido NEGATIVO de leitura
Semi-recta ȮP é o lado origem.
Semi-recta ȮQ é o lado final.
Funções trigonométricas
Ângulo GENERALIZADO
Amplitude α ou... α mais uma volta?
A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma família de
amplitudes da forma α + k × 360o , k ∈ Z.
Funções trigonométricas — Arco GENERALIZADO
A cada par ordenado de pontos sobre uma circunferência
corresponde uma família de amplitudes de arco da forma
α + k × 360o , k ∈ Z.
Ao arco(PQ) corresponde a família da forma α + m × 360o , m ∈ Z.
Ao arco(QP) corresponde a família da forma β + n × 360o , n ∈ Z.
Funções trigonométricas — Quadrantes
Diz-se um ângulo pertence ao 1o , 2o , 3o ou 4o quadrantes se o lado
origem é Ox + e tem lado final no 1o , 2o , 3o ou 4o quadrantes,
respectivamente.
Funções trigonométricas — Função seno
de P
A definição sin(α) := ordenada
dis(P,O)
preserva a definição construída
com base num triângulo
rectângulo.
Qualquer ponto na semi-recta
ȮP pode ser tomado; de facto,
dados P, Q no lado final do
ângulo, os triângulos rectângulos
∆[OBP] e ∆[OEQ] são
semelhantes.
No esquema precedente, o ângulo
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP.
Assim, o ponto a considerar pode
ser escolhido à distância de uma
unidade da origem: dis(P, O) = 1
Definição (Nova definição de seno de um ângulo)
Sendo P(x, y ) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem
y
Ox + , define-se seno de α pela relação sin(α) =
.
dis(P, O)
Funções trigonométricas —— sin(180o − α) = sin(α)
A semi-recta ȮP é o lado final do ângulo α.
A semi-recta ȮP ′ é a reflexão de ȮP relativamente ao eixo Oy.
Portanto, a cada ponto P(x, y) em ȮP corresponde um ponto P ′ na
semi-recta ȮP ′ de tal modo que P e P ′ têm uma mesma ordenada e
dis(P, O) = dis(P ′ , O). Consequentemente:
sin(180 − α) =
ordenada de P ′
y
y
=
=
= sin(α).
dis(P ′ , O)
dis(P ′ , O)
dis(P, O)
O seno de um ângulo e o círculo trigonométrico
Para cada ponto B
sobre a fronteira do
círculo, o seno do
ângulo com lado origem
Ox + e lado final ȮB é a
ordenada do ponto B.
Sinal da função seno:
1o e 2o quadrantes:
positivo;
3o e 4o quadrantes:
negativo.
Proposição (Variação)
∀α,
−1 6 sin(α) 6 1.
Proposição (Paridade)
∀α,
sin(−α) = − sin(α).
Variação monótona e periodicidade do seno
A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:
ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual seno;
nos 1o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o seno;
nos 2o e 3o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o seno.
Estas três asserções merecem registo formal. Assim:
Proposição (Periodicidade do seno)
Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:
sin(α + k × 360o ) = sin(α).
Proposição (Variação monótona do seno: 1o e 4o quadrantes)
Sejam α, β ∈ [−90o , 90o ]. Se α<β
então sin(α)< sin(β).
Proposição (Variação monótona do seno: 2o e 3o quadrantes)
Sejam α, β ∈ [90o , 270o ]. Se α<β
então sin(α)> sin(β).
Funções trigonométricas ::: Função co-seno
de P
A definição cos(α) := abcissa
dis(P,O)
preserva a definição construída
com base num triângulo
rectângulo.
Qualquer ponto na semi-recta
ȮP pode ser tomado; de facto,
dados P, Q no lado final do
ângulo, os triângulos rectângulos
∆[OBP] e ∆[OEQ] são
semelhantes.
No esquema precedente, o ângulo
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP.
Assim, o ponto a considerar pode
ser escolhido à distância de uma
unidade da origem: dis(P, O) = 1
Definição (Nova definição de co-seno de um ângulo)
Sendo P(x, y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem
x
Ox + , define-se co-seno de α pela relação cos(α) =
.
dis(P, O)
Funções trigonométricas ::: cos(180o − α) = − cos(α)
A semi-recta ȮP é o lado final do ângulo α.
A semi-recta ȮP ′ é a reflexão de ȮP relativamente ao eixo Oy.
Portanto, a cada ponto P(x, y) em ȮP corresponde um ponto P ′ na
semi-recta ȮP ′ de tal modo que P e P ′ têm abcissas simétricas e
dis(P, O) = dis(P ′ , O). Consequentemente:
cos(180 − α) =
abci. de P ′
−x
x
=
=−
= − cos(α).
′
′
dis(P , O)
dis(P , O)
dis(P, O)
O co-seno de um ângulo e o círculo trigonométrico
Para cada ponto B
sobre a fronteira do
círculo, o co-seno do
ângulo com lado origem
Ox + e lado final ȮB é a
abcissa do ponto B.
Sinal do co-seno:
1o Q e 4o Q: positivo;
2o Q e 3o Q: negativo.
Proposição (Variação)
∀α,
−1 6 cos(α) 6 1.
Proposição (Paridade)
∀α,
cos(−α) = cos(α).
Variação monótona e periodicidade do co-seno
A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata:
ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360o têm igual co-seno;
nos 1o e 2o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o
co-seno;
nos 3o e 4o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o
co-seno.
Estas três asserções merecem registo formal. Assim:
Proposição (Periodicidade do co-seno)
Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se:
cos(α + k × 360o) = cos(α).
Proposição ( co-seno: 1o e 2o quadrantes = DECRESCENTE )
Sejam α, β ∈ [0o , 180o ]. Se
α<β
então cos(α)> cos(β).
Proposição ( co-seno: 3o e 4o quadrantes = CRESCENTE)
Sejam α, β ∈ [180o , 360o ].
Se α<β
então cos(α)< cos(β).
Funções trigonométricas ::: Função tangente
No esquema precedente, o ângulo
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP.
1
Para cada ponto P(x, y), x 6= 0,
de P
definição tan(α) := ordenada
abcissa de P
preserva a definição construída
com base num triângulo
rectângulo.
2
Qualquer ponto na semi-recta
ȮP pode ser tomado; de facto,
dados P, Q no lado final do
ângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]
são semelhantes.
3
Assim, o ponto a considerar pode
ser escolhido à distância de uma
unidade da origem: dis(P, O) = 1
Definição (Nova definição de tangente de um ângulo)
Sendo P(x, y), x 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado
y
origem Ox + , define-se tangente de α pela relação tan(α) = .
x
Periodicidade e paridade da função tangente
O ângulo (180o + α) tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final
na semi-recta ȮP ′ , sendo P ′ o simétrico de P relativamente à origem O.
Consequentemente, as coordenadas
de P ′ são simétricas das coordenadas
de P. Temos, portanto:
Proposição (Periódica...)
Se existe tan(α) então
∀ k ∈ Z, tan(α + k × 180o ) = tan(α).
Proposição (Par ou ímpar?)
Se existe tan(α) então
No esquema precedente, o ângulo tan(−α) = − tan(α).
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP. Exemplos. Exercícios 20(d),(f).
Função tangente como função de seno e do co-seno
podemos tomar um ponto qualquer
nesta semi-recta [excepto (0, 0)] para
escrever a tangente de α.
Assim, podemos tomar o ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a
fronteira do círculo trigonométrico.
As coordenadas de tal ponto são
(x, y) = (cos(α), sin(α)). Logo,
Proposição
Se cos(α) 6= 0 então tan(α) =
sin(α)
cos(α) .
Exercício. Usando a caracterização
precedente para tan(α), mostre que:
Para cada ângulo
α 6= 90o + k × 180o , k ∈ Z, cujo
lado final seja a semi-recta ȮP,
1
tan(α + 180o ) = tan(α);
2
a função tangente é ímpar;
3
tan(180o − α) = − tan(α).
Círculo trigonométrico e o eixo das tangentes
• Para identificar relações entre as tangentes de diferentes ângulos usa-se a
recta paralela ao eixo das ordenadas na
abcissa x = 1. Assim, tal recta é a tangente geométrica à fronteira do círculo
trigonométrico no ponto (1, 0).
• O ponto P tem abcissa cos(α) e ordesin(α)
nada sin(α). Logo, tan(α) = cos(α)
.
• Por outro lado, ∆[OBP] e ∆[OET ] são
semelhantes; portanto,
y
tan(α) = ET = ET
1 = 1 = y.
OE
Justificámos, por conseguinte, o facto:
Seja α = ∢ Ox + , ȮP . Se existir,
tan(α) é a ordenada do ponto de
intersecção da semi-recta ȮP com
a recta de abcissa constante x = 1
[eixo das tangentes].
Sinal e monotonia da tangente
Resumo: • se α = 90o + k × 180o , k ∈ Z, tan(α) não existe; • no 1o Q e
no 3o Q, a tangente é positiva; • no 2o Q e no 4o Q, a tangente é negativa.
no 2o Q e no 3o Q, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente;
nos 1o Q e 4o Q, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente.
Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:
Proposição ( tangente: 2o Q e 3o Q ::: monótona CRESCENTE )
Sejam α, β ∈]90o , 270o[.
Se α<β
então tan(α)< tan(β).
Proposição ( tangente: 1o Q e 4o Q ::: monótona CRESCENTE)
Sejam α, β ∈] − 90o , 90o [. Se α<β
então tan(α)< tan(β).
Este factos e a periodicidade da tangente permitem escrever:
Proposição
Em cada intervalo da forma ] − 90o + k × 180o; 90o + k × 180o [, k ∈ Z, a
tangente é crescente. ?? sinal da derivada ??
Variação da tangente
• Podemos concluir que quando α percorre o conjunto ]−90o ; 90o [, tan(α)
“passa” por todas as ordenadas do eixo
das tangentes. Portanto, tan(α) percorre todos os valores de −∞ a +∞,
isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.
• Este facto e a periodicidade da tangente justificam a seguinte asserção:
Proposição
Para cada k ∈ Z, se α percorre o
conjunto
] − 90o + k × 180o ; 90o + k × 180o[
então tan(α) percorre o intervalo
] − ∞; +∞[.
Funções trigonométricas ::: Função co-tangente
No esquema precedente, o ângulo
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP.
1
Para cada ponto P(x, y), y 6= 0,
abcissa de P
definição cot(α) := ordenada
de P
preserva a definição construída
com base num triângulo
rectângulo.
2
Qualquer ponto na semi-recta
ȮP pode ser tomado; de facto,
dados P, Q no lado final do
ângulo, o ∆[OBP] e o ∆[OEQ]
são semelhantes.
3
Assim, o ponto a considerar pode
ser escolhido à distância de uma
unidade da origem: dis(P, O) = 1
Definição (Nova definição de co-tangente de um ângulo)
Sendo P(x, y ), y 6= 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado
x
origem Ox + , define-se co-tangente de α pela relação cot(α) = .
y
Periodicidade e paridade da função co-tangente
O ângulo (180o + α) tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final
na semi-recta ȮP ′ , sendo P ′ o simétrico de P relativamente à origem O.
Consequentemente, as coordenadas
de P ′ são simétricas das coordenadas
de P. Temos, portanto:
Proposição (Periódica...)
Se existe cot(α) então
∀ k ∈ Z, cot(α + k × 180o ) = cot(α).
Proposição (Par ou ímpar?)
Se existe cot(α) então
No esquema precedente, o ângulo
cot(−α) = − cot(α).
α tem lado origem na semi-recta
Ox + e lado final na semi-recta ȮP.
Função co-tangente: função de co-seno e do seno
podemos tomar um ponto qualquer
nesta semi-recta [excepto (0, 0)] para
escrever a co-tangente de α.
Assim, podemos tomar o ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a
fronteira do círculo trigonométrico.
As coordenadas de tal ponto são
(x, y) = (cos(α), sin(α)). Logo,
Proposição
Se sin(α) 6= 0 então cot(α) =
cos(α)
sin(α) .
Exercício. Usando a caracterização
precedente para cot(α), mostre que:
Para cada ângulo
α 6= 0o + k × 180o, k ∈ Z, cujo lado
final seja a semi-recta ȮP,
1
cot(α + 180o ) = cot(α);
2
a função co-tangente é ímpar;
3
cot(180o − α) = − cot(α).
Círculo trigonométrico e o eixo das co-tangentes
Para identificar relações
entre as co-tangentes
de diferentes ângulos
1
usa-se a recta paralela
x
ao eixo das abcissas na
x
os()
ordenada y = 1. Assim,
x
os()
ot() =
=x
ot() =
tal recta é a tangente
1
sin()
geométrica à fronteira do
círculo trigonométrico no
ponto (0, 1). O ponto P tem abcissa cos(α) e ordenada sin(α). Logo,
cot(α) = cos(α)
Por outro lado, ∆[OQP] e ∆[OSR] são semelhantes;
sin(α) .
1
Eixo das o-tangentes
y
b
1
+
b
?
= 1? = x1 = x. Justificámos, por conseguinte, o
?
Seja α = ∢ Ox + , ȮP . Se existir, cot(α) é a abcissa do ponto
portanto, cot(α) =
facto:
de intersecção da semi-recta ȮP com a recta de ordenada constante
y = 1 [eixo das co-tangentes].
Sinal e monotonia da co-tangente
Resumo: • se α = 0o + k × 180o , k ∈ Z, cot(α) não existe; • no 1o Q e no
3o Q, a co-tangente é positiva; • no 2o Q e no 4o Q, a co-tangente é
negativa.
no 1o Q e no 2o Q, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente;
nos 3o Q e 4o Q, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente.
Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente:
Proposição ( co-tangente: 1o Q e 2o Q ::: monótona DECRESCENTE )
Sejam α, β ∈]0o , 180o [. Se α<β
então cot(α)> cot(β).
Proposição ( tangente: 3o Q e 4o Q ::: monótona DECRESCENTE)
Sejam α, β ∈]180o, 360o [. Se α<β
então cot(α)> cot(β).
Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever:
Proposição
Em cada intervalo da forma ]0o + k × 180o ; 180o + k × 180o [, k ∈ Z, a
tangente é decrescente. ?? sinal da derivada ??
Variação da co-tangente
1
Eixo das o-tangentes
y
1
+
b
1
b
ot( ) =
os( )
sin( )
x
x
os( )
ot( ) =
x
1
=
x
• Podemos concluir
que quando α percorre
o conjunto ]0o ; 180o[,
cot(α) “passa” por
todas as abcissas do
eixo das co-tangentes.
Portanto, cot(α)
percorre todos os
valores de +∞ a −∞,
isto é, o intervalo ]−∞; +∞[.
• Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinte
asserção:
Proposição
Para cada k ∈ Z, se α percorre o conjunto
]0o + k × 180o ; 180o + k × 180o [, então cot(α) percorre o intervalo
] − ∞; +∞[.
Elementos de Trigonometria (3)
Américo Bento
DEP. DE MATEMÁTICA
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIV. DE TRÁS - OS - MONTES E ALTO DOURO
Primavera, 2012
Conservação da FFT
O ângulo α tem lado origem na semirreta
Ox + e lado final na semirreta ȮP.
(1) Seja d = dis(P, O). De acordo
com as definições de seno e de co-seno,
temos sin(α) = dy , cos(α) = dx .
2
2
(2) Logo, sin2 (α) = dy 2 , cos2 (α) = dx 2 .
(3) Consequentemente:
2
2
2
2
sin2 (α) + cos2 (α) = dy 2 + dx 2 = y d+x
.
2
(4) Podemos interpretar d como
a hipotenusa do ∆[OPE ]. Assim, pelo
2
teorema de Pitágoras, d = (PE)2 + (EO)2 = |x|2 + |y|2 = x 2 + y 2 .
(5) De (3) e (4):
sin2 (α) + cos2 (α) = 1 .
Considere os casos: (i) ȮP coincide com Ox + ; (ii) ȮP coincide com
Oy + ; (iii) ȮP coincide com Ox − ; (iv) ȮP coincide com Oy − .
Verifique que a fórmula fundamental da trigonometria continua válida.
A unidade de medida: RADIANO
RADIANO é o menor ângulo (ao
centro) determinando por um arco
de circunferência de comprimento
igual ao raio.
1
Quantos RADIANOS cabem na
amplitude de uma
circunferência?... ou, de outro
modo: quantas vezes cabe o raio
de uma circunferência nela
própria?
2
Ora, saber quantas vezes cabe r
em 2πr é dividir esta quantidade
por aquela. Assim, 2πr
r = 2π; isto
é, o raio r cabe 2π vezes na
circunferência de comprimento
2πr .
Logo, uma vez que a cada r
corresponde 1rad , é de esperar
que na amplitude da
circunferência caibam 2π vezes
1rad , isto é, 2πrad .
A unidade de medida: RADIANO
• De facto, se ao raio r corresponde 1
radiano (1rad ) então ao comprimento
2πr corresponde x radianos. Resolvendo a equação que traduz esta relação de proporcionalidade:
1rad
x
=
r
2πr
1rad
r
⇔ x = 2πrad .
⇔ x = 2πr
• Consequentemente, temos:
360o ←→ 2πrad
180o ←→ πrad
RADIANO é o menor ângulo (ao
centro) determinando por um arco
de circunferência de comprimento
igual ao raio.
90o ←→ (π/2)rad
60o ←→ (π/3)rad
45o ←→ (π/4)rad
30o ←→ (π/6)rad .
Amplitude de ângulo em radianos e a recta real
Qualquer amplitude de ângulo em graus pode ser expressa em radianos.
• De facto, sendo α uma amplitude de ângulo (em graus) e x a mesma
amplitude em radianos, a relação de proporcionalidade
x está para α, assim como πrad está para 180o
permite escrever
x
α
α
=
⇐⇒ x =
πrad .
πrad
180o
180
• Esta unidade de medida — radianos — permite tratar cada amplitude
de ângulo como uma grandeza escalar de natureza igual à natureza do
comprimento do raio.
• Escrevemos
cos π3 rad no lugar de cos(60o ); na forma simplificada:
cos π3 .
π
• Escrevemos
sin
rad
no lugar de sin(45o ); na forma simplificada:
4
π
sin 4 .
• As expressões cos(2), sin(3), tan(5) são interpretadas como
cos(2rad ), sin(3rad ), tan(5rad ).
Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente
lim sinx x , quando x → 0
Notemos que x, sin x,
tan x são grandezas da mesma natureza
(estamos a usar a unidade radianos).
Portanto, podemos escrever:
• se x → 0+ então
sin x < x < tanx.
(1)
• Dividindo (1) por sin x
[notar que sinx > 0, se x → 0+ ], obtemos
1<
x
1
<
.
sin x
cos x
(2)
• Aplicando lim, resulta
1 6 lim+
x→0
1
cos x
x
1
6 lim+
.
sin x
x→0 cos x
Uma vez que limx→0+
= 1, decorre que limx→0+
sin x
• Logo: lim+
= 1. (*)
x
x→0
x
sin x
= 1.
lim sinx x , quando x → 0
? x → 0− ?
• Ora: x → 0− se, e só se, −x → 0+ . Assim, por (*):
lim +
−x→0
sin(−x)
= 1.
−x
• Mas, por outro lado,
lim +
−x→0
• Por conseguinte:
sin(−x)
− sin x
sin x
= lim
= lim
.
−x
−x
x→0−
x→0− x
limx→0−
sin x
x
= 1. Daqui e de (*), resulta:
sin x
=1.
x→0 x
lim
sin(2x)
sin(3x)
sin(3x)
; • (b) lim
; • (c) lim
.
Ex. Calcule: • (a) lim
x→0
3x
x→0 sin(5x)
x→0 tan x
.........................................................................
A função real, de variável real, sin(·)
sin : R → R,
x 7→ sin(x)
1
y
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura: Gráfico da função sin(x )
• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo de
amplitude 2π, ficamos
π π a conhecer todo o gráfico.
• No intervalo − 2 , 2 , sin(x) é monótona crescente. Logo, neste
intervalo, a sua derivada tem sinal positivo (= declive da tangente
geométrica ao gráfico).
• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é o
intervalo [−1, 1].
• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma kπ, k ∈ Z;
(intersecção do gráfico com o eixo Ox).
A função real, de variável real, sin(·); derivada
Proposição
Sendo a e b dois ângulos, tem-se: sin a − sin b = 2 sin
a−b
a+b
cos
.
2
2
Exercício. Deduza a fórmula para sin a + sin b.
Exercício. Deduza a fórmula para cos a + cos b.
Exercício. Deduza a fórmula para cos a − cos b.
Teorema (Derivada de sin(x))
A derivada de sin(x) é cos(x), isto é, sin′ (x) = cos(x).
Demonstração. Usando a definição de derivada, temos:
2 sin x+h−x
cos x+h+x
sin(x + h) − sin(x)
2
2
= lim
h→0
h
h→0
h
2 sin h2 cos x + h2
sin h2
h
= lim
= lim h lim cos x +
h→0
h
h→0
x→0
2
2
(sin x)′ =
lim
= 1 · cos(x) = cos(x).
A função real, de variável real, sin(·); derivada
Teorema (Derivada de sin(u(x)))
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então a
derivada da função sin(u(x)) é u ′ (x) cos(u(x)), isto é,
(sin(u(x)))′ = u ′ (x) cos(u(x)).
Demonstração. Recordemos: sin(u(x)) = (sin ◦u)(x). Portanto,
(sin(u(x)))′ = (sin ◦u)′ (x) = (sin)′ (u(x)) · u ′ (x) = u ′ (x) cos(u(x)).
Exemplos
A função real, de variável real, cos(·)
cos : R → R,
x 7→ cos(x)
1
y
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Figura: Gráfico da função cos(x )
• Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo de
amplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico.
• No intervalo ]0, π[, cos(x) é monótona decrescente. Logo, neste
intervalo, a sua derivada tem sinal negativo (= declive da tangente
geométrica ao gráfico).
• O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é o
intervalo [−1, 1].
• Os zeros da função ocorrem nos valores da forma π2 + kπ, k ∈ Z;
(intersecção do gráfico com o eixo Ox).
A função real, de variável real, cos(·); derivada
Teorema (Derivada de cos(x))
A derivada de cos(x) é − sin(x), isto é, cos′ (x) = − sin(x).
Demonstração. Usando a fórmula fundamental da trigonometria e a
derivada de uma potência, temos:
1
2
3
4
sin2 x + cos2 x = 1 ⇐⇒ sin2 x = 1 − cos2 x, (pela FFT);
(sin2 x)′ = 2(sin x)′ (sin x) = 2 cos x sin x, (derivada de uma
potência e derivada do sin(x));
(1 − cos2 x)′ = 0 − (cos2 x)′ = −2(cos x)′ cos x,
diferença; derivada de uma potência);
(derivada da
Por (1), (2) e (3), temos: 2 cos x sin x = −2(cos x)′ cos x.
Logo: (cos x)′ = − sin x. A função real, de variável real, cos(·); derivada
Teorema (Derivada de cos(u(x)))
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então a
derivada da função cos(u(x)) é −u ′ (x) sin(u(x)), isto é,
(cos(u(x)))′ = −u ′ (x) sin(u(x)).
Demonstração. Recordemos: cos(u(x)) = (cos ◦u)(x). Portanto,
(cos(u(x)))′ = (cos ◦u)′ (x) e
(cos ◦u)′ (x) = (cos)′ (u(x))·u ′ (x) = − sin(u(x))·u ′ (x) = −u ′ (x) sin(u(x)).
Exemplos
A função real, de variável real, tan(·)
Não existe tan(x) se x = π2 + kπ, k ∈ Z.
Portanto, tan(·) está definida em
π
π
intervalos da forma − 2 + kπ, 2 + kπ , k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:
h
i π
π
tan : − + kπ, + kπ −→ R,
x 7→ tan(x)
2
2
5
y
Pela
periodicidade,
y = tan(x)
conhecido
x
o
gráfico
em qualquer
intervalo
da forma
π
π
− 2 + kπ, 2 +kπ , k ∈ Z, ficamos a conhecer todo o gráfico.
• No intervalo − π2 , π2 , tan(x) é monótona crescente. Logo, a sua
derivada tem sinal positivo (= declive da tangente geométrica ao gráfico).
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada
Teorema
Se x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z, então (tan x)′ =
1
.
cos2 x
Demonstração.
Temos:
sin x ′ (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′
1
(tan x)′ =
=
= ··· =
. cos x
cos2 x
cos2 x
Teorema
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:
nos pontos x onde existe u ′ (x) e u(x) 6= π2 + kπ, k ∈ Z, tem-se
′ (x)
(tan(u(x)))′ = cosu2 (u(x))
.
Demonstração. Recordemos que tan(u(x)) é a expressão designatória
da composta da função u(·) com a função tan(·); isto é:
(tan(u(x)))′ = (tan ◦u)′ (x). Ora,
(tan ◦u)′ (x) = (tan)′ (u(x))·u ′ (x) =
1
u ′ (x)
′
·u
(x)
=
. (...) cos2 (u(x))
cos2 (u(x))
A função real, de variável real, tan(·) ::: derivada
Exemplos
Sendo f (x) = tan(2x 3 − 2x + 1), temos:
f ′ (x) =
(2x 3 − 2x + 1)′
6x 2 − 2
=
.
cos2 (2x 3 − 2x + 1)
cos2 (2x 3 − 2x + 1)
Sendo g(x) = tan(sin x), temos:
g ′ (x) =
(sin x)′
cos x
=
.
cos2 (sin x)
cos2 (sin x)
Sendo h(x) = tan(cos x), temos:
h′ (x) =
− sin x
(cos x)′
=
.
2
cos (cos x)
cos2 (cos x)
Sendo i(x) = tan(tan x), temos:
1
i ′ (x) =
(tan x)′
1
cos2 x
=
=
.
2
2
2
cos (tan x)
cos (tan x)
(cos x) cos2 (tan x)
A função real, de variável real, cot(·)
Não existe cot(x) se x = 0 + kπ, k ∈ Z. Portanto, cot(·) está definida em
intervalos da forma ]0 + kπ, π + kπ[, k ∈ Z. Assim, para cada k ∈ Z:
cot : ]0 + kπ, π + kπ[ −→ R,
x 7→ cot(x).
• Pela periodicidade,
conhecido o gráfico em
y = ot(x)
qualquer intervalo da
x
forma ]0 + kπ, π + kπ[,
k ∈ Z, ficamos a
conhecer todo o gráfico.
• No intervalo
]0 + kπ, π + kπ[, cot(x)
é monótona decrescente. Logo, a sua derivada tem sinal negativo (=
declive da tangente geométrica ao gráfico).
5
y
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada
Teorema
Se x 6= kπ, k ∈ Z, então (cot x)′ =
−1
.
sin2 x
Demonstração. Temos:
cos x ′ (cos x)′ sin x − cos x(sin x)′
−1
(cot x)′ =
=
= ··· =
. 2
sin x
sin x
sin2 x
Teorema
Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então:
nos pontos x onde existe u ′ (x) e u(x) 6= kπ, k ∈ Z, tem-se
′ (x)
(cot(u(x)))′ = sin−u
.
2
(u(x))
Demonstração. Recordemos que cot(u(x)) é a expressão designatória
da composta da função u(·) com a função cot(·); isto é:
(cot(u(x)))′ = (cot ◦u)′ (x). Ora,
(cot ◦u)′ (x) = (cot)′ (u(x))·u ′ (x) =
−1
sin2 (u(x))
·u ′ (x) =
−u ′ (x)
sin2 (u(x))
. (...) A função real, de variável real, cot(·) ::: derivada
Exemplos
Sendo f (x) = cot(2x 3 − x + 1), temos:
f ′ (x) =
−(2x 3 − x + 1)′
2
sin (2x 3 − x + 1)
=
−6x 2 + 1
2
sin (2x 3 − x + 1)
.
Sendo g(x) = cot(sin x), temos:
g ′ (x) =
−(sin x)′
2
sin (sin x)
=
− cos x
sin2 (sin x)
.
Sendo h(x) = cot(cos x), temos:
h′ (x) =
−(cos x)′
2
sin (cos x)
=
−(− sin x)
2
sin (cos x)
=
sin x
2
sin (cos x)
.
Sendo i(x) = cot(tan x), temos:
′
i (x) =
−(tan x)′
2
sin (tan x)
=
− cos12 x
2
sin (tan x)
=
−1
(cos2 x) sin2 (tan x)
.