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Sólidos Inscritos
1. (Uerj 2014) Uma esfera de centro A e raio igual a 3dm é tangente ao plano  de uma
mesa em um ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto F de modo que F, A e T
são colineares. Observe a ilustração:
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo de centro T definido pela sombra da
esfera projetada sobre a mesa.
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância FT , em decímetros,
corresponde a:
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
2. (Ufrn 2013) Por motivo de segurança, construiu-se um superaquário de vidro, em formato
esférico, dentro de um cilindro também de vidro, conforme esquematizado na figura a seguir. A
esfera está completamente cheia de água e, caso quebre, toda a água passará para o cilindro.
Desconsidere a pequena diferença entre os raios da esfera e do cilindro e o volume de água
deslocado pelos pedaços de vidro da esfera quando quebrada. Supondo que R é igual a 2 m,
determine:
a) O volume de água da esfera.
b) A capacidade volumétrica do cilindro.
c) A altura do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre.
3. (Uerj 2010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza
circular que tangencia as faces do prisma.
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Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida
do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a:
a) 2 2
3 2
4
2 1
c)
2
b)
d) 2


2 1
4. (Enem 2ª aplicação 2010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas
geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo
momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido,
cuja aparência é mostrada na
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado
como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução.
Sabendo que, a figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG,
e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta
para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:
a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.
b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero.
c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.
d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.
e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.
5. (Ufrj 2008) Um cone circular reto de altura H circunscreve duas esferas tangentes, como
mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de 10 cm e seu volume é oito vezes o volume
da menor.
Determine H.
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6. (Ufmg 2007) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST:
Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das
faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede
2
a) 8 2 cm .
2
b) 8 3 cm .
2
c) 16 2 cm .
2
d) 16 3 cm .
7. (Uece 2007) Como mostra a figura, o cilindro reto está inscrito na esfera de raio 4 cm.
Sabe-se que o diâmetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do
cilindro é
a) 18ð 2 cm
3
b) 24ð 2 cm
3
c) 32ð 2 cm
3
d) 36ð 2 cm
3
8. (Fuvest 2006) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de
base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é
3
2
e o volume do cone é ð.
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
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a)
5
b)
6
c)
d)
7
10
e)
11
9. (Pucsp 2006) De um cristal de rocha, com o formato de uma esfera, foi lapidada uma joia na
forma de um octaedro regular, como mostra a figura seguinte.
3
Se tal joia tem 9 2 cm de volume, quantos centímetros cúbicos de rocha foram retirados do
cristal original para lapidá-la? (Use: ð = 3)
a) 36 2
b) 32 2
c) 24 2
d) 18 2
e) 12 2
10. (Enem 2005) Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a mesma altura e o
mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme
indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos
recipientes, tem-se
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a) V1 = V2 = V3
b) V1 < V3 < V2
c) V1 = V3 < V2
d) V3 < V1 < V2
e) V1 < V2 = V3
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[C]
Considere a figura.
Sabendo que a área da superfície esférica é igual à área do círculo de centro T e raio TQ,
vem
2
2
2
4  π  AP  π  TQ  4  32  TQ
 TQ  6 dm.
Logo, como FQ é tangente à esfera no ponto P, segue que TQ  PQ.
Da semelhança dos triângulos FTQ e FPA, obtemos
FP PA
FP 3



FT TQ
FT 6
1
 FP   FT.
2
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo FPA, encontramos
2

2
2
2
2 1
FA  PA  FP  (FT  AT)2  PA    FT 
2

2
2
1
 FT  6  FT  32  32   FT
4
2
1
  FT  2  FT  0
4
 FT  8 dm.
Resposta da questão 2:
a) O volume de água na esfera é dado por
4
4
32
πR3  π  23 
π m3 .
3
3
3
b) Como o cilindro é equilátero, segue que sua capacidade volumétrica é dada por
2πR3  2π  23  16π m3 .
c) A altura h do nível da água no cilindro, caso a esfera quebre é tal que
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π  22  h 
32
8
 π  h  m.
3
3
Resposta da questão 3:
[C]
Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma e o ponto médio de
uma das arestas adjacentes ao vértice A.
Queremos calcular
OM
.
2  MA
ˆ  180  2230'.
MOA
8
ˆ
tgMOA  tg2230'

1  cos 45
1  cos 45
2
2
2  2  2  (2  2)  2  2  2  1.

2
2
2 2
2
1
2
1
ˆ  MA  2  1  MA
tgMOA
OM
OM

OM
1
2 1


 2  1.
MA
2 1 2 1
Portanto,
OM 1 OM
2 1
 

.
2
2
2MA
MA
Resposta da questão 4:
[C]
Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo.
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Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela
seguinte sequência de sólidos: cone reto (AB  4FG  BB'  2FG), cilindro reto
(BC  3FG  2FG), tronco de cone e cilindro equilátero (EF  2FG).
Resposta da questão 5:
H = 40 cm
Resposta da questão 6:
[D]
Resposta da questão 7:
[C]
Resposta da questão 8:
[D]
Resposta da questão 9:
[D]
Resposta da questão 10:
[B]
2
2
 R  H R H
V1     . 
8
2 2
V3  R2
H R2H

2
2
V1  V3
Por superposição observamos que V3 < V2
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
28/04/2015 às 19:59
Sólidos inscritos
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 125268 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2014 ............................. Múltipla escolha
2 ............. 122655 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufrn/2013 ............................. Analítica
3 ............. 97341 ....... Média ............ Matemática ... Uerj/2010 ............................. Múltipla escolha
4 ............. 106505 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem 2ª aplicação/2010 ...... Múltipla escolha
5 ............. 77737 ....... Não definida .. Matemática ... Ufrj/2008 .............................. Analítica
6 ............. 71489 ....... Não definida .. Matemática ... Ufmg/2007 ........................... Múltipla escolha
7 ............. 75732 ....... Não definida .. Matemática ... Uece/2007............................ Múltipla escolha
8 ............. 62342 ....... Não definida .. Matemática ... Fuvest/2006 ......................... Múltipla escolha
9 ............. 68865 ....... Não definida .. Matemática ... Pucsp/2006 .......................... Múltipla escolha
10 ........... 61752 ....... Elevada ......... Matemática ... Enem/2005........................... Múltipla escolha
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