TIPO DE PROVA: A Questão 1 circunferência do círculo e o perímetro do quadrado é: a) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo que algumas delas utilizam A e B. O produto A é usado por 12 dessas pessoas e o produto B, por 10 delas. O número de pessoas que utilizam ambos os produtos é: a) 5 b) 3 c) 6 d) 8 e) 7 2 π 2 π c) π 2 d) 2 π e) π 2 alternativa C Sejam r o raio do círculo e l o lado do quadrado. Como o círculo e o quadrado têm áreas iguais, r 1 πr 2 = l2 ⇔ = l π Logo a razão entre o comprimento da circunferência do círculo e o perímetro do quadrado, nesta ordem, é: alternativa E Sejam A o conjunto das pessoas que consomem o produto A, e B o conjunto das pessoas que consomem o produto B. Seja x o número de pessoas que consomem A e B. Assim n(A ∪ B) = n(A) + + n(B) − n(A ∩ B) ⇔ 15 = 12 + 10 − x ⇔ x = 7. b) 2 πr π r π 1 = ⋅ = ⋅ = 4l 2 l 2 π π 2 Questão 4 Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no Questão 2 triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, o perímetro do quadrado é: ax b 2x − 1 para todo x, + = 2 x −1 x −1 x −1 x ≠ ± 1, então a − b vale: a) 4 b) −2 c) 3 d) 0 e) −1 Se 2 alternativa A Para todo x, x ≠ ±1, ax 2 + b 2x − 1 = ⇔ x −1 x2 −1 x −1 ax + b(x + 1) 2x − 1 ⇔ ⇔ = (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) a) 20 (a + b)x + b 2x − 1 . ⇔ = (x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1) Seja l o lado do quadrado. Portanto b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 alternativa B a +b = 2 a =3 e ⇔ b = −1 b = −1 a − b = 3 −( −1) = 4. Questão 3 Se um círculo e um quadrado têm áreas iguais, então a razão entre o comprimento da Como AD // FG, os triângulos FEG e AED são semelhantes (caso AA). Logo a razão entre os lados matemática 2 homólogos dos triângulos é igual à razão entre as al10 6 15 . turas. Portanto = ⇔l= 6 −l 4 l 15 Assim, o perímetro vale 4 ⋅ = 15. 4 x 2 ⋅ y −1 1 = 2 ⋅ 0,1 − 1 ⋅ 0,2 − ⋅ 0,3 = 2 z = −0,15. log Questão 7 Questão 5 As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é: a) 27 b) 25 c) 20 d) 30 e) 40 alternativa D Seja ABCD o trapézio, com AB // CD, AB = 7 e CD = 13. Sejam AE e BF alturas do trapézio. Como o trapézio é isósceles, temos DE = FC. Se log 1 9 = a, então log16 a2 é: 3 1 a) 2 b) − 1 4 c) −2 d) 4 e) 2 alternativa A a 1 Temos que log 1 9 = a ⇔ = 9 ⇔ 3 −a = 3 2 ⇔ 3 3 ⇔ a = −2 e, portanto, a 2 = 4. Assim, log16 a 2 = 1 . = log16 4 = 2 Questão 8 Assim, DE + EF + FC = 13 ⇔ DE = FC = 3. Logo, pelo teorema de Pitágoras, AD = BC = = 3 2 + 4 2 = 5 e, portanto, o perímetro do trapézio é 13 + 7 + 2 ⋅ 5 = 30. Questão 6 Se log x = 0,1, log y = 0,2 e log z = 0,3, o valor x2 ⋅ y −1 é: de log z a) 0,15 b) −0,15 c) 0,25 d) −0,25 e) 0,6 alternativa B Temos x 2 ⋅ y −1 log = log x 2 + log y −1 − log z = z 1 = 2 log x − 1 ⋅ log y − log z. 2 Assim, como log x = 0,1, log y = 0,2 e log z = 0,3, Num quadro, as chaves de 6 salas e de 2 banheiros, todas distintas, estão dispostas em duas filas com quatro chaves cada uma. Se as chaves dos banheiros devem ocupar as extremidades da primeira fila, o número de formas diferentes de se colocar as chaves no quadro é: a) 6! b) 6 ⋅ 6! c) 4 ⋅ 6! d) 8! e) 2 ⋅ 6! alternativa E Temos 2 maneiras de colocar as chaves dos banheiros nas extremidades da primeira fila. Então restam 6 posições no quadro, onde devem ser colocadas as 6 chaves distintas restantes. Assim, podemos colocar as chaves das salas no quadro de 6! maneiras distintas. Logo há 2 ⋅ 6! formas diferentes de colocar as chaves no quadro. Questão 9 O recipiente da figura, que contém água, é um prisma reto cujas bases são triângulos eqüiláteros de altura 2. A superfície da água é paralela à face ABCD. Se o volume ocupado pela água é metade do volume do prisma, o valor de h é: matemática 3 alternativa B a) 6 5 c) 2 b) 3 d) 1 2 e) 3 4 Uma equação da reta que passa pela origem (0; 0) e tem coeficiente angular 2 é y − 0 = 2(x − 0) ⇔ ⇔ y = 2x. Uma equação da circunferência de centro (1; 0) e raio 1 é (x − 1) 2 + (y − 0) 2 =12 ⇔ (x − 1) 2 + y 2 = = 1. Assim, os pontos A e B são as soluções do sistema: y = 2x y = 2x ⇔ ⇔ (x − 1) 2 + y 2 = 1 (x − 1) 2 + (2x) 2 = 1 alternativa C A água ocupa o volume de um prisma reto cuja altura é igual à altura do prisma de face ABCD. Logo a razão entre seus volumes é igual à razão entre as áreas das bases, que são triângulos se2 ea melhantes. Como a razão de semelhança é h 2 2 razão entre os volumes é 2, temos = 2 ⇔ h ⇔ h = 2. ⇔ y = 2x (x = 0 e y = 0) ou ⇔ 5x 2 − 2x = 0 2 4 e y = x = 5 5 Portanto o segmento AB tem medida 2 − 0 5 2 4 + − 0 5 2 = 2 5 . 5 Questão 12 Questão 10 Se da soma de todos os números ímpares positivos de 2 algarismos subtrairmos a soma de todos os números pares positivos de 2 algarismos, o resultado será: a) 55 b) 51 c) 50 d) 45 e) 46 No triângulo da figura, cos 2θ vale: alternativa D (11 + 13 + . . . + 97 + 99) − (10 + 12 + . . . + 96 + + 98) = (11 − 10) + (13 − 12) + . . . + (97 − 96) + + (99 − 98)( ∗ ) Como existem 90 números naturais com 2 algarismos (45 ímpares e 45 pares), temos 45 parcelas iguais a 1, ou seja, ( ∗ ) = 1 + 1 + . . . + 1 + 1 = 45 . a) Questão 11 5 5 b) 2 5 5 b) 1 9 c) − 7 9 d) − 8 9 e) 5 9 alternativa C Uma reta, que passa pela origem e tem coeficiente angular 2, encontra a circunferência de centro (1,0) e raio 1 em dois pontos A e B. A medida de AB é: a) 2 9 c) 5 4 d) 2 5 e) 5 2 Como o triângulo é isósceles, o pé da altura relativa à base coincide com o seu ponto médio. 1 1 3 . Conseqüentemente, Assim, cos θ = = 3 1 2 7 1 cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 2 ⋅ − 1 = − . 3 9 matemática 4 a) 2 b) 3 2 c) 4 d) 4 3 e) 1 alternativa E Questão 13 A função que mais bem se adapta ao esboço gráfico dado é: Seja A = (x v ; −1) o vértice da parábola y = x 2 − 2px. Temos que −( −2p) xv > 0 > 0 2 ⋅1 2 ⇔ ⇔ −(( −2p) − 4 ⋅ 1 ⋅ 0) 4p 2 −1 = 1 = 4 ⋅1 4 p >0 ⇔ p = 1 e, assim, y = x 2 − 2x , cup2 = 1 jas raízes são 0 e 2. Logo, como a distância de A a OB é igual a 1 e OB = 2 − 0 = 2, a área de AOB 2 ⋅1 é igual a = 1. 2 ⇔ a) 1 x c) 2x b) x d) 1 x2 e) x ⋅|x| alternativa D O esboço sugere o gráfico de uma função par (simetria em relação ao eixo Oy). 1 1 A função f(x) = 2 é par, pois f(−x) = = x ( −x) 2 1 = 2 = f(x), e o mesmo não ocorre para as x demais funções. Por exemplo, para x = 2, temos 1 1 , 2 ≠ −2 ∉ R, 2 2 ≠ 2 −2 e ≠ 2 −2 2 ⋅|2 | ≠ −2 ⋅ |−2 |. Questão 14 Na figura, temos o gráfico de y = x2 − 2px, de vértice A. A área do triângulo OAB é: Questão 15 Se p(x) = 2x2 + kx + 2 é divisível por x + 2, então 2k vale: a) 32 b) 16 c) 8 d) 64 e) 4 alternativa A Temos que p(x) é divisível por x + 2 se, e somente se, p( −2) = 0 ⇔ 2( −2) 2 + k( −2) + 2 = 0 ⇔ ⇔ k = 5. Logo 2 k = 32 . Questão 16 Numa progressão geométrica de números inteiros maiores que 1, o produto dos dois primeiros termos é igual a 12. O quarto termo dessa progressão é: a) 12 b) 54 c) 84 d) 36 e) 48 matemática 5 alternativa B Sejam a1 o primeiro termo da PG e q a sua razão. Então a1 ⋅ (a1 ⋅ q) = 12 ⇔ a12 ⋅ q = 2 2 ⋅ 3 . Como a1 e q são inteiros maiores do que 1, a1 = 2 e q = 3 e o quarto termo da progressão é a1 ⋅ q 3 = 2 ⋅ 3 3 = 54. Questão 17 Considerando o produto de matrizes, −1 a 1 0 1 0 × = , o valor de a 1 −1 0 a 0 1 b) −1 d) −2 c) 2 e) 1 alternativa E −1 −a 1 1 = ⋅ −1 −1 0 0 0 a 0 ⇔ 1 0 ⋅ a + ( −1) ⋅ ( −1) 0 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 0 ⇔ = a ⋅1 + 1 ⋅ 0 a ⋅ a + 1 ⋅ ( −1) 1 = 0 ⇔ a2 − 1 = 0 ⇔ a =1 a =1 Questão 18 Se 2 ⋅ 2x + 4 x = 8 x , então x2 é igual a: b) 4 c) 1 d) 0 e) 9 alternativa C ⇔ 2 + 2 x = 4 x ⇔ (2 x ) 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ y2 − y − 2 = 0 y = 2 x ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 Logo x 2 = 12 = 1. ⇔ (y = −1 ou y = 2 x Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma das aparições diárias dos partidos na TV foi de: a) 15 b) 16 c) 17 d) 19 e) 21 alternativa D 2 ⋅ 2 x + 4 x = 8 x ⇔ 2 x (2 + 2 x ) = 2 x ⋅ 4 x ⇔ ⇔ alternativa A Questão 20 0 0 1 0 1 ⇔ = ⇔ 2 1 0 1 a − 1 a a) 2 Numa “super-promoção” uma loja oferece 40% de desconto sobre o preço de venda de um produto, havendo, ainda assim, um lucro de 20% sobre o preço de custo desse produto. Se o desconto não tivesse sido dado, o lucro da loja teria sido de: b) 80% c) 60% a) 100% d) 55% e) 45% Sejam c e v os preços de custo e de venda do produto, respectivamente. Das condições do enunciado, (1 − 0,40)v = (1 + 0,20)c ⇔ v = 2c . Assim, se o desconto não tivesse sido dado, o lucro v −c 2c − c da loja teria sido de = = 100%. c c é: a) 0 Questão 19 y = 2) ⇔ O tempo de cada aparição, em segundos, deve ser divisor de 90, 108 e 144 e também deve ser o maior possível. Assim, é igual a mdc (90, 108, 144) segundos. Como 90 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5, 108 = 2 2 ⋅ 3 3 e 144 = 2 4 ⋅ 3 2 , mdc (90, 108, 144) = 2 ⋅ 3 2 = 18. Assim, os números de aparições dos partidos são, respectivamente, 90 : 18 = 5, 108 : 18 = 6 e 144 : 18 = 8, totalizando 5 + 6 + 8 = 19 aparições.