SÉRIE DE FOURIER (FS)
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Série de Fourier

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 combinação linear de δ(t)
 Sistemas  resposta ao impulso h(t)
 Sinais

Análise de Fourier
 Sinais
 combinação linear de “senóides”
 Exponenciais complexas
 Sistemas
 resposta em freqüência
Série de Fourier

Excitação periódica
 Sistema
linear e invariante no tempo (LTI)
 Aplicando um
impulso ao sistema
 Resposta ao impulso
 Aplicando um
trem de impulsos ao sistema
 “Resposta periódica”
 Apenas resposta forçada da EDO que rege o
LTI
Série de Fourier

Excitação periódica
 Exemplos:
 Gota em tanque de água
 Mola 
Massa
 Resposta ao
impulso
Série de Fourier

Excitação periódica
Presença de transitório
Série de Fourier

Excitação periódica
 Exercício
Série de Fourier

Excitação periódica
 Presença de
transitório
 Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás”
 Operação trabalhosa
 Soma infinita de respostas ao impulso atrasadas
 Como analisar
apenas a resposta forçada do
sistema a uma excitação periódica?
Série de Fourier

Excitação exponencial complexa
 Dado:
 h(t)
 Excitação exponencial complexa  x(t) = e+jΩt
 Sistema LTI
 Por convolução,
a resposta é:

jt
y( t )  e
autofunção

()  e d
h

 j

autovalor
 Note:
resposta para uma freqüência específica  Ω
Série de Fourier

Excitação exponencial complexa
 Pelo princípio da superposição
x(t)  A1e j1t  A2e j2t   Ak e jk t
 Para o sistema
A
 h(t)
resposta é
y(t)  B1e j1t  B2e j2t   Bk e jk t
 com

Bk   h()  e jk d

Série de Fourier

Excitação exponencial complexa
 Autovalor
 Projeção da função h(t)

sobre a função g(t) = e+jΩt
Produto interno  <h(t), g*(t) >


h, g   h()  g ()d   h()  e



 j
d
 Autovetor/Autofunção
 Direção g(t) considerada na qual
se projeta h(t)
Série de Fourier

Excitação exponencial complexa
 Exemplo
 Aproximação de
onda triangular
inclinada usando
sinais do tipo
cos(kΩt+Θ)
Série de Fourier

Excitação exponencial complexa
 As
freqüências kΩ são chamadas harmônicas
∈Z
 São múltiplas de 2π/T
k
 Cada Ak
 [Ak
cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em:
cos(Θ)] cos(kΩt) + [–Ak sen(Θ)] sen(kΩt)
 Senóides com fase 
ponderadas.
soma de senóides e cossenóides
Série de Fourier

Definição
 Se x(t)
é periódico, com período T, t0≤t<t0+T
x(t) 

jkt
X
[
k
]

e

k  
E
1 t 0 T
X[k ]   x ( t )  e  jkt dt
T t0


X[k]  k-ésima amplitude harmônica das exponenciais
complexas da decomposição de x(t)
Ω=1/T
Série de Fourier

Definição
 Em
termos de senos e cossenos

x ( t )  X c [0]   X c [k ] cos(kt )  X s [k ] sen(kt )
k 1
E
2 
X c [k ]   x ( t ) cos( kt )dt , k  0,1,2, 
T 
2 
X s [k ]   x ( t ) sen( kt )dt , k  1,2, 
T 

Xc[k] e Xs[k]  k-ésima amplitude harmônica das senóides e
cossenóides da decomposição de x(t)
Série de Fourier

Definição
 Condições de existência
 Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T
 Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T
 Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T
 Sinais
 x(t)
hipotéticos não possuem série de Fourier
= sen(1/t)
Série de Fourier

Questão de periodicidade
A
partir de:
x(t) 

jkt
X
[
k
]

e

k  
 Temos que:
x ( t )  x ( t  qT )
Série de Fourier

Questão de periodicidade
Série de Fourier

Questão de periodicidade
Série de Fourier

Questão da periodicidade
 Reforçando:
k
∈Z


Ω
Não existe componente para k não inteiro!
X[k] é uma seqüência/série de números
=1/T

Freqüência de cálculo está relacionado com o período do
sinal escolhido para a análise da série
 Existem


2 períodos envolvidos
Período real do sinal
Período para cálculo da Série de Fourier
 Exemplos/Exercícios
Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS
 Usando uma amplitude harmônica Xn[k]
x N (t ) 
 O erro
N
X
k  N
[k ]  e
mínimo será:
min{E e } 
 Com
N
jkt
X
|k |  N
argmin{Ee} = X[k]
N
[k ]
2
Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS
Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS
Série de Fourier

Truncamento e Convergência da FS
 Sinais
“contínuos”
 Convergência com número finito de harmônicos
 Sinais
“descontínuos”
 Presença de impulsos  δ(t)
 Convergência com número finito de harmônicos



Mas não atinge convergência absoluta
Fenômeno de Gibbs
 Representação de função descontínua usando função
contínua (no caso, exponenciais complexas)
Oscilação nas regiões de descontinuidade
Série de Fourier

Truncamento e Convergência de FS
 Sinais
“descontínuos”
 Exemplos:




Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou não)
“Ruído” em imagens compactadas (JPEG)
“Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV digital)
Pré-eco em instrumentos de percussão
Série de Fourier

Truncamento e Convergência de FS
 Aproximação de
u(t) via FS
A
A/2
t0
 0

Au( t )  A / 2 t  0
 A
t0

Série de Fourier

Propriedades
 Linearidade
 com T
= m Tx = q Ty
FS
x ( t ) 
X[k ]
FS
y( t ) 
Y[k ]
z( t )  ax( t )  by ( t )  Z[k ]  aX[k ]  bY[k ]
FS
Série de Fourier

Propriedades
 Inversão de tempo
 com T
= m Tx
x ( t )  X[k ]
FS
x ( t )  X[k ]
FS
Série de Fourier

Propriedades
 Deslocamento no tempo
 com T
= m Tx
FS
x ( t ) 
X[k ]
x ( t  t 0 )  e
FS
 Deslocamento em
 com T
= m Tx
 jkt 0
X[k ]
freqüência
x ( t )  X[k ]
FS
FS
e  jk0t x ( t ) 
X[k  k 0 ]
Série de Fourier

Propriedades
 Deslocamento
no tempo  atraso de fase
Série de Fourier

Propriedades
 Deslocamento
na freqüência  modulação AM
Série de Fourier

Propriedades
 Escala de tempo
 com T
= m Tx
FS
x ( t ) 
X[k ], T  Tx
FS
x (at ) 
X[k ], T  Tx a
 ou
FS
x ( t ) 
X[k ], T  Tx
X[k a ], k a  Z 
x (at) 
, T  Tx
c.c. 
 0,
FS
Série de Fourier

Propriedades
 Diferenciação
 Com T
= m Tx
FS
x ( t ) 
X[k ]
d
FS
x(t )
jk  X[k ]
dt
Série de Fourier

Propriedades
 Integração
 Com T
= m Tx e X[0]=0
FS
x( t ) 
X[k]
t
X[k]
FS
 x()d  jk , k  0

Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica
 Inexistência da série de Fourier para tal sinal
Série de Fourier

Propriedades
 Modulação
 com T
= m Tx = q Ty
x ( t )  X[k ]
FS
y( t )  Y[k ]
FS
FS
z( t )  x ( t )  y( t ) 
Z[k ]  X[k ]  Y[k ]
Série de Fourier

Propriedades
 Convolução periódica
 com T
= m Tx = q Ty
x ( t )  X[k ]
FS
FS
y( t ) 
Y[k ]
FS
z( t )  x ( t )  y( t ) 
Z[k ]  T  X[k ]  Y[k ]
Série de Fourier

Propriedades
 Modulação e
Convolução
 Modulação no tempo Convolução em freqüência
 Convolução no tempo 

Princípio de filtragem!
Modulação em freqüência
Série de Fourier

Propriedades
 Conjugado
 Com T
= m Tx
FS
x ( t ) 
X[k ]


y( t )  x ( t )  Y[k ]  X [k ]
FS
 Propriedade decorrente:


Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par
Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar
Série de Fourier

Propriedades
 Teorema de
 Com T
Parseval
= m Tx
FS
x ( t ) 
X[k ]

1
2
2
FS
x ( t ) dt   X[k ]

T T
k  

Potência média do sinal  Soma das potências médias
harmônicas
Série de Fourier

Aplicação em Análise de Sistemas LTI
 Do conceito de autofunção
 Excitação 
exponencial complexa (freqüência Ω)
 Resposta  exponencial complexa (freqüência Ω)
 Exemplos/Exercícios
Série de Fourier

Aplicação em Análise de Sistemas LTI
 Aplicação direta sobre
EDO
 Linear a coeficientes constantes
 Obtenção da
resposta do sistema a componentes
harmônicos espectrais
 Por manipulação algébrica
Vout [k ]
 H[k ]
Vin [k ]
 Apenas para harmônicos de
Ω = 2π/T