Escola Básica Integrada de Ínsua
9º ANO
UNIDADE IV
Intersecção e Reunião de Intervalos
Intersecção de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números
reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,
fazer a sua intersecção.
A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um
conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.
Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos
alguns exemplos:
Intersecção de Intervalos
Exemplo 1
Consideremos os intervalos
A    3, 2  e
B    1, 4 
Vamos determinar A  B começando por fazer a sua
representação gráfica

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

A partir desta representação é possível observar que os
elementos comuns estão entre  1 e 2 .
Intersecção de Intervalos
E o que podemos dizer relativamente aos extremos,
pertencem ou não à intersecção?

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Neste caso, podemos ver que nem o  1 nem o 2
já que
 1 B e 2  A
Então,
A  B    1, 2 
pertencem,
Intersecção de Intervalos
Exemplo 2
Sejam C    4, 
2 
e D   1,   
Façamos a sua representação gráfica afim de determinar C  D


- 2
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Não existem elementos comuns aos dois intervalos.
A intersecção é assim um conjunto vazio
C  D 
 ou 
Intersecção de Intervalos
Exemplo 3
Dados os intervalos
1

E    , 
2

e
1 
F   ,3 
 2 
encontremos a sua intersecção.
A representação gráfica é

1
2
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o
Logo,
1 1 1
EF  ,  
2 2 2
1
2
Intersecção de Intervalos
Exemplo 4
Dados os intervalos G    ; 0, 5  e
intersecção dos dois intervalos.
H   0, 5; 3 
procuremos a
A representação gráfica é

0, 5
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Agora
não
existem
elementos
que
pertençam
simultaneamente aos dois intervalos já que o 0, 5 pertence a G
mas não pertence a H .
Assim,
G  H   0, 5; 0, 5   
 ou 
Intersecção de Intervalos
Exemplo 5
Dados os intervalos B    1, 4  e
intersecção dos dois intervalos.
H   0, 5; 3 
procuremos a
A representação gráfica é

0, 5
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Neste caso temos H  B ,
Logo, B  H  H
Assim, B  H  0,5;3

Reunião de Intervalos
A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto
constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Isto significa que para que um dado elemento pertença ao
conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.
Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o
que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.
Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode
ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:
Reunião de Intervalos
Exemplo 1
Consideremos os intervalos
A    , 2  e
B    1, 4 
Comecemos por fazer a representação gráfica de A e B .

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Assim,
A  B    , 4 

Reunião de Intervalos
Exemplo 2
Consideremos os intervalos
A    , 2  e C   2,   
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação
gráfica, de A e C .

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Neste caso verificamos que, unindo os elementos de
com os de C obtemos todos os elementos de .
Portanto
A  C    ,    
A
Reunião de Intervalos
Exemplo 3
Consideremos os intervalos
C   2,    e D   3, 0 
A representação gráfica destes dois intervalos é.

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

A intersecção dos intervalos C e D é o conjunto vazio.
Não nos é possível representar esta reunião sob a forma
de um único intervalo.
C  D   2,       3, 0 
Reunião de Intervalos
Exemplo 4
Consideremos os intervalos
A    , 2 
e
D   3, 0 
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de
com D .

- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5

Atendendo a que D  A temos que a reunião é
A  D    , 2 
Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio
conjunto A .
A
FIM