FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
Aula 9: Cortes e Intervalos
Prof. Mário Alves
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
Conteúdo Programático desta aula
 Cortes e propriedade do corte;
 Celas; e
 Intervalos.
Aula 9: Cortes e Intervalos
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CORTES
- Dizemos que um par ordenado (A,B) de subconjuntos nãovazios de R é um corte se:
Exemplo:
- Considere um elemento fixo
conjuntos:
. Vamos definir dois
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CORTES
- De fato, par ordenado (A,B) de subconjuntos não-vazios de
R é um corte, pois:
- Todo corte em R é determinado por um número real. Tratase da propriedade do corte.
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PROPRIEDADE DO CORTE
Propriedade do Corte:
- Se (A,B) é um corte em R, então existe só um número
tal que
,
e
,
.
,
- A demonstração é simples e está exposta no conteúdo
online da disciplina. Não há grandes dificuldades.
- Trata-se uma propriedade de extrema valia para uso em
estudos de Análise.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CELAS
- Se
, dizemos que os conjuntos
são raios abertos, definidos por a.
,
- Se
, dizemos que os conjuntos
são ditos raios fechados, definidos por a.
,
- Diz-se que o ponto a é a extremidade do raio.
- Se
, dizemos que o conjunto
é uma
cela aberta definida por a e b e é denotada por (a,b).
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CELAS
- Se
dizemos que o conjunto
é uma cela
fechada definida por a e b e denotada por [a,b].
- Se
, dizemos que os conjuntos
e
são chamados de celas semiabertas ou
semifechadas definidas por a e b e denotadas por [a,b) e
(a,b].
- Dizemos que os pontos a e b são pontos extremos das celas.
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INTERVALOS
- A partir das definições de raios e celas, podemos definir os
intervalos, importantes subconjuntos dos reais.
- Um intervalo em R é um raio, uma cela ou todo R.
- Portanto, temos 10 tipos de intervalos:  ,
[a,) , (a,b) , [a,b] , [a,b) , (a,b] e R.
(, a)
, (a,) , (, a] ,
- Uma correlação importante com a noção de módulo:
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INTERVALOS
- Dizemos também que o conjunto
cela unitária ou intervalo unitário.
éa
- Ainda, dizemos que uma sequência de intervalos
encaixante se as inclusões I1  I2  I3  In  In1 
verificam.
é
se
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INTERVALOS
Exemplo 1: Considere a sequência de intervalos
com
. Observando novamente a figura, percebemos que a
sequência de intervalos é encaixante.
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INTERVALOS
- Uma sequência de intervalos encaixantes não tem,
necessariamente, um ponto em comum. A sequência do
slide anterior é encaixante, porém não possui ponto em
comum, isto é:
Exemplo 2: Considere a sequência de intervalos
,
.
Conforme a figura, a sequência de intervalos é encaixante:
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INTERVALOS
- Percebemos no exemplo que há um interseção entre a
sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é:
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INTERVALOS
- Percebemos no exemplo que há um interseção entre a
sequência de intervalos, que é o número zero. Isto é:
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