GEOMETRIA
ANALÍTICA
MATEMÁTICA
PROF CAIO
ELIPSE
2
2
1. Determine, da elipse de equação dada por x + 4y + 4x – 24y + 24 = 0, os seguintes itens:
a) o eixo menor
b) o centro
c) os vértices
d) e os focos.
2. (UNESP) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de
1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
2
Dado: 0,943 ~ 0,889 e √0,111 ~ 0,333
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre
dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:
a) 35
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
2
2
3. (UFC) A elipse F do plano cartesiano xy obtida da elipse E: x + 2y - 6x + 4y - 25 = 0 por uma translação que leva os
focos de E em pontos equidistantes da origem e sobre o eixo ox admite uma equação igual a:
a)
𝑥2
2
+ 𝑦 2 = 18
b)
𝑥2
2
+
𝑦2
3
=6
c)
𝑥2
3
+
𝑦2
2
= 16
d) x² + 2y² = 25
e)2x² + 3y² = 49
4. (UNICAMP) Dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela
inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.
5. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e eixos paralelos aos eixos coordenados, e
que, passa pelos pontos (1,0) e (0,- 2) são, respectivamente:
a) √3 e 1/2
b) 1/2 e √3
c) √3/2 e 1/2 d) √3 e √3/2
e) 2√3 e √3/2
𝑥2
𝑦2
6. (UNESP) Considere a elipse de equação +
= 1.
25
9
a) Mostre que o ponto P = (3, 12/5) pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo PQR, onde
P = (3, 12/5).
𝑦2
9
7. (FUVEST) A elipse 𝑋² +
= e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se,
2
4
pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
a) (-2/3, -1/3)
b) (2/3, -7/3)
c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3)
e) (-1/4, 1/2)
8. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que,
considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa
𝑥2
𝑦2
ser descrita aproximadamente pela equação
+
= 1, com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a
100
25
estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π/4. A distância, em
milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:
a) 2√5
b) 2√10
c) 5√2
d) 10√2
e) 5√10
9. (UFPB) A planta baixa de um projeto paisagístico encontra-se ilustrada na figura ao lado. A região hachurada
corresponde à parte gramada e está limitada: internamente, pela circunferência que passa pelo ponto (2,0), com centro
na origem; e, externamente, pela elipse centrada na origem, com dois de seus vértices nos pontos (4,0) e (0,3). A região
hachurada pode ser descrita pelo conjunto:
2
2
2
a) { (x , y) ϵ R | x + y ≥ 4 }
2
2
2
b) { (x , y) ϵ R | 9x + 16y ≥ 144 }
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c) { (x , y) ϵ R | x + y ≥ 4 e 9x + 16y ≤ 144 }
2
2
d) { (x , y) ϵ R | x + y ≥ 4 ou 9x + 16y ≤ 144 }
2
2
e) { (x , y) ϵ R | x + y ≤ 4 e 9x + 16y ≤ 144 }
2
2
2
f) { (x , y) ϵ R | x + y ≤ 4 }
10. (UNESP) A equação da elipse de focos F1 = (- 2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por:
a)
𝑥2
10
+
𝑦2
20
=1
b)
𝑥2
9
+
𝑦2
5
=1
c)
𝑥2
9
+
𝑦2
15
=1
d)
𝑥2
6
+
𝑦2
15
=1
e)
𝑥2
4
+
𝑦2
25
=1
11. (UNIFESP) A área sombreada na figura, limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
a) π
d) 4 π
b) 2 π
e) 6 π
12. (UFPB) As coordenadas dos focos da elipse, de equação
a) (– √11 , 0) e (–√11 , 0)
b) (0, – √11 ) e (0, – √11 )
d) (–√11 , 0) e (√11 , 0)
e) (0, √11 ) e (√11 , 0)
𝑥2
25
+
𝑦2
36
c) 3 π
= 1 , são:
c) (0, – √11 ) e (0, √11 )
13. (UNESP) A figura representa uma elipse. A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é:
a)
𝑥2
5
+
𝑦2
7
=1
c) (x – 5)² + (y – 7)² = 1
e)
(𝑥+3)2
5
+
(𝑦−4)2
7
2
b) 3
c) 4
2
d) 5
(𝑥+5)2
9
+
(𝑦−7)2
16
=1
d)
(𝑥−5)2
9
+
(𝑦+7)2
16
=1
=1
14. (UFC) O número de pontos de interseção das curvas x + y = 4 e
a) 0
b)
𝑥2
15
+
𝑦2
2
= 1 é igual a:
e) 6
15. (UNICAMP) Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto P = (0,-3) é
interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto Q = (5/2, 13/5). Justifique sua resposta.
16. (UEL) Existem pessoas que nascem com problemas de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A pequena
Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio adquiriu uma cabra que pasta em
um campo retangular medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudo o que
aparece à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em uma
corda presa pelas extremidades nos pontos A e B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem uma argola na
coleira por onde é passada a corda, de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extensão da corda.
Observe a figura e responda a questão a seguir. Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possa pastar
na maior área possível, dentro do campo retangular?
2
a)10m
b)15 m
d)25 m
e)30m
c)20 m
2
17. A equação de uma elipse é 16x + 25y = 400. Obter:
a) o centro
b) o eixo maior
e) os focos
f) a excentricidade
18. O ponto P = (0,1) pertence à elipse de focos F1 = ( 
elipse.
c) o eixo menor
d) a distância focal
g) a área da região interior à elipse
3,0 ) e F2 = ( 3,0 ). Calcule a medida do eixo maior dessa
GABARITO
1.
a) 4
b) (2, -3)
c) A1 = (–6, –3) e A2 = (2, –3)
d) F1 = (-2 - 2√2, -3) e F2 = (-2 + 2√2, -3) e B1 = (–2, –1) e B2 = (–2, –5)
2. B
3. A
4. (4.a².b²) / (a² + b²)
5. E
6. b) Q = (-5,0) e R = (5,0); Area = 12
7. D
8. B
9. C
10. B
11. C
12. C
13. B
14. C
15. P pertence e Q é externo.
16. C
17.
a) C(0,0)
b) 10
c) 8
d) 6
e) F1 (-3,0) e F2 (3,0)
f) 3/5 = 0,6
g) 20
18. 4