A ELIPSE (RE)VISTA ALÉM DOS FOCOS
Roniere Leite Soares
Universidade Federal de Campina Grande
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Resumo
O presente trabalho faz uma retomada discursiva de um elemento
imprescindível para a representação de círculos em perspectiva – a elipse,
tendo como base uma abordagem que enfatiza um caráter analítico capaz
de descrever os elementos constituintes e suas propriedades peculiares,
assim como o método de determinação dos eixos maior e menor dessa
figura em projeções cônicas. As demonstrações feitas a partir de
construções pormenorizadas trazem uma complementação à abordagem
textual de tal forma que estas se fundem amplamente na composição das
linguagens verbal e não-verbal, visando facilitar o entendimento do ensaio
apresentado. Os pontos mais relevantes deste trabalho foram a descrição
geométrica da elipse enquanto entidade cônica e a determinação dos eixos
em perspectivas com pontos de fuga. Temos a convicção de que o artigo
contribuirá para estudantes que necessitam aplicar a elipse encontrada por
eixos em construções perspectiva das partes constituintes de peças
tridimensionais que contêm furos, rasgos, cilindros, cones e esferas.
Palavras-chave: elipse, curva cônica, círculo, perspectiva.
Abstract
This work is a discursive resumption of an element essential to the
representation of circles in perspective - the ellipse, based on an approach
that emphasizes an analytical character capable of describing the
constituents and their peculiar properties, as well as the method of
determining the major and minor axes of this figure in perspective
projections. The statements made from construction completion to bring a
detailed textual approach so widely that they merge in the composition of
languages, verbal and nonverbal, to facilitate the understanding of the
essay presented. The most relevant points of this study were the geometric
description of the ellipse as an entity and the determination of the conical
axes in perspective with vanishing points. We are convinced that the article
will help students who need to apply the ellipse axes found by construction
perspective of the constituent parts of three-dimensional parts that contain
holes, tears, cylinders, cones and spheres.
Keywords: ellipse, conic curve, circle, perspective.
1
A elipse fora do contexto perspectivo: conceito e elementos
A elipse é uma curva fechada simples gerada a partir da secção plana de um cone
circular reto. Esta superfície secante, inclinada, não intercepta a base circular cônica,
conforme é mostrado na figura 1. A elipse, de acordo com Calfa (1997, p.34), é a
projeção oblíqua de um círculo, e por isso, é demasiadamente utilizada para
representar o mesmo em diversos tipos de perspectivas nas várias áreas que usam o
desenho como meio de expressão de idéias (FONSECA et al, 1999, p. 67-72 et seq).
Figura 1: cone circular reto, plano secante e elipse derivada no tronco de cone
Existem vários métodos de construção para elipses. Entre os métodos usuais
pelos quais são construídas as formas elípticas podemos citar alguns mais rotineiros
que são, entre outros: diâmetros conjugados (BACHMANN, 1976, p. 221), eixos
conjugados (RICCA, 1992, p. 327), pontos especiais (MONTENEGRO, 1997, P. 71),
pontos ligados por curva francesa (propriedade PF1+PF2=2a ou FG+GE=EC+CF=AB),
Método Schooten (RE, 2004, p. 28) e construção por círculos principais (MANFÉ,
2004, p. 31). Contudo, nenhum dos métodos considera a elipse em contexto
perspectivo com pontos de fuga.
Mesmo levando em conta o fato histórico de um uso demasiado do artifício de
representação de círculos em instâncias perspectivas através de elipses, reproduzindo
por semelhança, as naturezas geométricas que as geram num complexo processo
perceptivo, pode-se afirmar que há, por muitas vezes, uma lacuna estabelecida entre
as formas elípticas desenhadas rotineiramente e os aspectos conceituais e
matemáticos pertinentes, representados por parte de alguns desenhistas/artistas em
profissionais correlatos, acerca também dos elementos e propriedades que dizem
respeito a esta importante figura geométrica bidimensional. Isso se constitui como
sendo uma mudança de rumo na história da expressão gráfica, a qual trilha passos em
direção da substituição da consciência do uso manual ou artesanal pela facilidade dos
artefatos, instrumentos automáticos, softwares aplicativos e meios tecnológicos que
abdicam da versatilidade artística e de um pensamento humano inerente.
Alguns dos fatores que estimularam esta distância entre os aspectos artístico e o
científico ao longo dos últimos tempos foram, em parte: o uso de elipsógrafos,
utilização de gabaritos, execução de desenhos à mão livre que prescindem de
exatidão dos atributos geométricos (forma, tamanho e posição), manejo substitutivo de
elipses por falsas elipses ou ovais regulares (UBRIG, 2006, p.18), interpretação
equivocada de que os eixos elípticos são colineares às diagonais dos quadriláteros em
perspectiva, assim como a popularização dos recursos computacionais que facilitam a
criação de elipses. O uso indiscriminado de elipses em situações naturais de
perspectivas pode gerar equívocos de aplicação que abrangem, entre outros cuidados,
a inclinação e posição do eixo maior, ângulo do eixo maior formado com o eixo menor,
relação proporcional entre diâmetros maior e menor da elipse, assim como seus
tamanhos em relação ao diâmetro real do círculo que serve de base construtiva, em
verdadeira grandeza.
Nosso intento neste trabalho é, a priori, apresentar as partes geométricas que
formam uma elipse, conforme mostram a figura 2 e a tabela 1, a fim de estabelecer
diferenciações conceituais a serem aplicadas conscientemente na elipse que seja, a
posteriori, utilizada em situações de desenhos com pontos de fuga. Dessa forma, é
possível unir os aspectos artístico e prático, descompromissados muitas vezes com a
técnica, aos precisos e modernos processos tecnológicos e computacionais. Para
tanto, delineou-se uma revisão bibliográfica diluída no texto, de modo que o traçado
das elipses se tornou possível pela determinação sequencial de duas variáveis: o eixo
maior e o eixo menor (BALDAM, 2007, p. 86).
Figura 2: Elipse e seus elementos constituintes
As medidas exemplificativas da figura 2 foram determinadas com o objetivo de
ilustrar numericamente as diferenças entre os elementos, estabelecendo assim as
implicações decorrentes da proporção escolhida entre os dois eixos (maior e menor).
Assim, tendo como exemplo uma elipse que tem 02 (duas) unidades de medida para o
diâmetro do eixo menor e 04 (quatro) unidades de medida para o diâmetro do eixo
maior, podemos considerar inicialmente que, de acordo com a figura 2, derivam-se
automaticamente algumas unidades expostas na tabela 1.
Vemos ainda na figura 2 que a determinação dos focos E e F se dá por intermédio
do raio OA ou OB, com centro em C e em D. Os respectivos eixos maior e menor AB e
CD são perpendiculares entre si. Temos então as seguintes dimensões consequentes:
Tabela 1: Valores de demonstração encontrados a partir da elipse horizontal na figura 2
AB
CD
eixo
maior
eixo
menor
ø
círculo
maior
4
ø
círculo
menor
2
OE=OF
Semidistâncias
focais
OE=c;
OF=c
Segmentos de Retas
EF
FG+GE
EC+CF
OD1=OD2
distância
focal
soma de
distâncias = 4
soma de
distâncias = 4
Diretrizes 1
e2
EF=2c
FG+GE=EC+CF
= eixo maior
EC+CF=FG+
GE = AB
D = a /c
4
4
2,30940107
1,73205081 3,46410162
2
A excentricidade é uma relação matemática fracionária que existe entre a
semidistância focal (c) e o semieixo maior (a). Ela varia de 0 a 1. Quando c=0, a elipse
equivale a um círculo e quando c=1, esta se reduz a um segmento de reta igual ao
eixo maior da elipse. Ainda com base na figura 2, distinguimos na segunda tabela:
Tabela 2: Pontos fixos e excentricidade
E
foco 1
2
2.1
Pontos Fixos
F
O
A, B, C e D
foco 2 centro focal
vértices
Excentricidade: e = c/a
c = OE = OF
a=OA=OB
e
1,73205081
2
0,8660254050
Representações elípticas em perspectivas com pontos de fuga
Perspectiva com um ponto de fuga
Começamos por demonstrar, à luz de Gill (1975, p. 42), um exemplo em perspectiva
com um só ponto de fuga na qual o observador determina linhas divergentes a partir
de uma posição estática “O”, da qual o cone de visão será ampliado em face de um
círculo colocado à sua frente. Essa posição, nos casos aqui apresentados, é alinhada
com o centro do círculo em verdadeira grandeza (VG), cujos pontos determinam uma
linha perpendicular à Linha de Terra (LT). Assim, teremos o centro da elipse alinhado
consequentemente com ambos os pontos mencionados e a extensão desta linha
vertical dará origem ao segmento de reta “O”PF.
Essa é a limitação de nosso
trabalho.
Consideremos o quadro geometral onde, resumidamente, um diedro reto formado
pela interseção entre os planos horizontal (PH) e vertical (PV) é estabelecida pela
Linha de Terra (LT). A distância perpendicular entre o Ponto de Fuga (PF) e entre a
linha de terra representa a altura do ponto observatório ao solo, ou seja, a distância
ortogonal do ponto divergente ao plano horizontal. Temos ainda o segmento do ponto
observador “O” à “LT” horizontal, o qual representa a menor distância do olho humano
ao plano vertical. Para este exemplo, de acordo com a figura 3, consideremos o ponto
observatório “O” alinhado ao ponto de fuga único “PF”.
Figura 3: Elipse construída em perspectiva com um ponto de fuga
Observemos que, no caso da figura 3, o segmento de reta AB delimitou os limites
do cone de visão que projetam o círculo em perspectiva, fazendo com que o eixo
maior da elipse gerado no PV tenha sido derivado da reta secante contida em AB (no
PH), mas não de um dos diâmetros do círculo. A base poligonal irregular a partir da
qual se gera a projeção elíptica é um trapézio equilátero, quadrilátero este que possui
apenas um par de lados opostos paralelos.
Temos também os casos em que a linha de terra inclinada, tanto à esquerda como
à direita de “O”, permite o mesmo procedimento usado na figura 3 para determinação
das elipses, de acordo como nós observamos na figura 4. Neste caso experimental,
houve uma mudança simultânea de posição do quadro geometral e do objeto em
relação ao observador. Isso se deu pela rotação do eixo central, sempre perpendicular
à LT. Há uma conservação do paralelismo de dois dos lados do quadrado com a linha
de terra, permanecendo ainda uma colinearidade do ponto O com os centros
circunferenciais. Assim, estabelece-se uma linha ortogonal em relação à linha de terra.
Como no caso anterior, a tangência estabelecida pelas projetantes cônicas
determinam o segmento máximo do campo visual nos limites dos círculos. Esse
princípio de traçado determina o eixo maior da elipse.
Figura 4: Elipses feitas em perspectivas com pontos de fuga deslocados e planos oblíquos
2.2
Perspectiva com dois pontos de fuga
Como a elipse é uma figura bidimensional, novamente haveremos de considerar
apenas uma das faces de um cubo, a superior, que neste caso nos serve de referência
para compreensão do que ocorre de maneira análoga nas outras faces cúbicas.
Assim, não há necessidade de demonstração com três pontos de fuga, pois o uso de
dois destes é suficiente para estabelecer o que acontece com as duas dimensões em
situações quaisquer com três pontos de fuga.
Na figura 5, a base poligonal, em posição superior, a partir da qual se gera a
projeção elíptica é um trapezóide (PENTEADO, 1977, p. 211), quadrilátero este que é
resultado da projeção cônica de um quadrado, em posição inferior, e tem por
característica morfológica a ausência de um par ou de dois pares de lados opostos
paralelos.
Figura 5: Elipse construída em perspectiva com dois pontos de fuga
Para o eixo menor, restabelecemo-lo ampliadamente na figura 6 a partir do ponto
M, pertencente a elipse, ligando-o por uma perpendicular X que cruza o eixo maior AB
no ponto P e que cruza o arco de raio OB (centro em O) no ponto E. Por este último é
traçado um segmento EO, ligando-o ao centro da elipse desejada. Este segmento EO
é interceptado no ponto L por uma reta WM, perpendicular a EP, que parte do ponto
M. A distância OL é o raio do eixo menor da elipse. É traçado o arco LX, determinando
o eixo menor OX. Estabelecidos os eixos maior e menor, traça-se a elipse. Este
método para determinação do eixo menor, exposto no parágrafo anterior e descrito na
figura 6 foi (re)descoberto pelo aluno Danny Viscaino, da escola secundária High
Mount, através do trabalho de Carnoy (1912, apud VELOSO, 1998).
Figura 6: Elipse ampliada em função da determinação do eixo menor OX
3
Conclusão
A utilidade desta comunicação é enxergar a elipse a partir de um ponto de vista mais
técnico, introduzindo seus elementos formadores e conceitos geométricos capazes de
dar, posteriormente, subsídios mínimos para a aplicação consciente desta figura em
círculos aplicados em perspectivas cônicas. Para isto, aplicou-se a elipse com um
ponto de fuga e com dois pontos de fuga, usando-se os eixos maior e menor para o
traçado definitivo da mesma. O experimento comprovou a eficácia do método quando
se tem um ponto observatório alinhado com os centros do círculo inicial e da elipse
derivada. Este alinhamento, perpendicular à linha de terra, é imprescindível para o
sucesso dos casos apresentados, mesmo no caso em que a LT é oblíqua. Verificou-se
que as linhas divergentes que partem do observador e tangenciam o círculo são as
linhas que delimitam a projeção do eixo maior da elipse, determinando seus tamanhos
e posições no quadrilátero irregular (acima da LT) derivado do círculo inscrito num
quadrado (abaixo da LT).
Referências
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