GEOMETRIA
ANALÍTICA
Tema: Elipse
GEOMETRIA ANALÍTICA
ELIPSE
A partir da noção de distância entre dois pontos foi possível deduzir
a equação cartesiana de alguns lugares geométricos, como a
mediatriz de um segmento de reta e a circunferência. Utilizando,
novamente, a noção de distância entre dois pontos, vamos agora
estudar um novo lugar geométrico: a elipse
GEOMETRIA ANALÍTICA
ELIPSE
Exemplo 12
O conjunto de pontos a azul representado na figura corresponde a uma
elipse de centro no ponto 𝐶2 5; 3,5 , cujos focos são 𝐹3 5,6 e 𝐹4 5,1 e
cujo eixo maior é 7.
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ELIPSE
Definição
Fixada uma unidade de comprimento e um
plano, dados dois pontos 𝐹1 e 𝐹2 pertencentes
1
a esse plano e um número 𝑎 > 𝐹1 𝐹2 ,
2
chama-se elipse ao conjunto de pontos 𝑃 do
plano tais que
𝑑 𝑃, 𝐹1 = 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
• 𝐹1 e 𝐹2 são os focos da elipse;
• o ponto médio 𝑂 do segmento de reta 𝐹1 𝐹2 é o centro da elipse;
• 2𝑎 o eixo maior da elipse.
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ELIPSE
Um ponto 𝑄 𝑥, 𝑦 pertence à elipse se e só se
𝑑 𝑄, 𝐹3 + 𝑑 𝑄, 𝐹4 = 7.
Tem-se
𝑑 𝑄, 𝐹3 + 𝑑 𝑄, 𝐹4 = 7 ⟺
𝑥−5
2
+ 𝑦−6
2
+
𝑥−5
2
+ 𝑦−1
2
= 7.
Podemos verificar analiticamente que o ponto 5,0 pertence à elipse,
substituindo 𝑥 e 𝑦 por 5 e 0, respetivamente:
5−5
0
2
2
+ 0−6
+ −6
2
+
2
+
0
2
5−5
+ −1
2
2
+ 0−1
2
=7
= 36 − 1 = 7
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ELIPSE
Propriedade 5
Dada uma elipse de centro 𝑂, focos 𝐹1 e 𝐹2 e eixo maior 2𝑎 , a
mediatriz de [𝐹1 𝐹2 ] interseta a elipse em dois pontos 𝐶 e 𝐷 tais que
𝑂𝐷 = 𝑂𝐶 = 𝑏. Ao valor 2𝑏 chama-se eixo menor da elipse.
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ELIPSE
Definição
Dada uma elipse de centro 𝑂, focos 𝐹1 e 𝐹2 ,
eixo maior 2𝑎 e eixo menor 2𝑏
• 𝑎 diz-se o semieixo maior da elipse
• 𝑏 diz-se o semieixo menor da elipse
• 𝐹1 𝐹2 diz-se a distância focal.
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Propriedade 6
Dada uma elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2 com eixo maior 2𝑎 , eixo menor 2𝑏 e
distância focal 2𝑐 tem-se que b = 𝑎2 − 𝑐 2 .
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Propriedade 7
Fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um
referencial ortonormado e 0 < 𝑏 < 𝑎, uma equação (cartesiana)
reduzida da elipse de centro na origem do referencial, focos 𝐹1 (−𝑐, 0) e
𝐹2 (𝑐, 0) com c = 𝑎2 − 𝑏 2 , eixo maior 2𝑎 e eixo menor 2𝑏 é dada por
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1.
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Exemplo 13
Se uma elipse tem centro na origem de um referencial ortonormado,
focos no eixo 𝑂𝑥, eixo maior 8 e eixo menor 6, podemos determinar a
sua equação cartesiana reduzida:
2𝑎 = 8 ⟺ 𝑎 = 4 e 2𝑏 = 6 ⟺ 𝑎 = 3
Então
𝑥2 𝑦2
𝑥2 𝑦2
+
=1⟺
+
=1
42 32
16 9
A equação (cartesiana) reduzida da elipse é
𝑥2
16
+
𝑦2
9
=1
O ponto 𝑃(−3,2) não pertence à elipse, pois
(−3)2 22
9
4
81
64
145
+
=
+
=
+
=
≠1
16
9
16×9 9×16 144 144 144
GEOMETRIA ANALÍTICA
Um pouco de história
Em Física, para exemplificar o movimento
circular uniforme, muitas vezes são utilizadas
as órbitas dos planetas à volta do Sol.
No entanto, Kepler (1571-1630), matemático e
astrónomo alemão, descobriu e publicou em
1609, na sua obra Astronomia Nova, o que
viria a ficar conhecido como a 1.ª Lei de Kepler:
os planetas descrevem órbitas elíticas em torno
do Sol, encontrando-se este sobre
um dos focos.