UNIVERSIDADE DO ALGARVE
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ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA TOPOGRÁFICA
REGIME DIURNO
DISCIPLINA DE ANÁLISE MATEMÁTICA II
Ficha de trabalho sobre elipses
1. Considere a elipse de equação
1.1) O perímetro da elipse.
x2 y 2
+
= 1 , calcule:
a2 b2
1.2) A área da elipse.
2. Determine os pontos de intersecção de elipse 9 x 2 + 4 y 2 = 25 com os eixos cartesianos.
x2 y2
+
= 1 e y 2 + 4 x 2 = 16 .
9
4
3.1) Calcule as coordenadas dos vértices, dos focos e a excentricidade das elipses.
3. Considere as elipses representadas pelas equações
3.2) Represente graficamente as elipses.
4. Determine a equação de uma elipse cuja distância focal é 6, a soma das distâncias de qualquer
dos seus pontos a dois pontos fixos é 12.
5. Calcule uma equação da elipse de centro na origem e focos nos eixos coordenados, sabendo que:
5.1) A sua distância focal é 16 e a sua excentricidade é e = 54 .
5.2) O eixo menor mede 10 e passa pelo ponto P (8,3) .
5.3) Passa pelo ponto P (3, −1) e a excentricidade é e =
2
2
.
5.4) Passa pelos pontos P1 (−1, 2) e P2 (2, 0) .
5.5) O comprimento do eixo maior é 12 e as directrizes são as rectas de equação x = 18 e x = −18 .
6. A órbita da terra é uma elipse e o sol ocupa um dos focos. Sabendo que o semi-eixo maior tem
153493000km e que a excentricidade é 0,0167, calcule a menor e a maior distância da terra ao sol.
7. Determine a posição relativa da elipse e da recta cujas equações são, respectivamente,
y2
2
x +
=1 e x + y −5 = 0 .
4
8. Calcule o comprimento da corda que a recta x = 4 y − 4 determina sobre a elipse x 2 + 4 y 2 = 16 .
9. O latus rectum da elipse é uma das duas cordas focais da elipse e perpendiculares ao seu eixo
x2 y2
maior. Para a elipse
+
= 1 , calcule o comprimento do latus rectum.
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ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Elipses
10. Determine a área do quadrado inscrito na elipse 9 x 2 + 16 y 2 = 625 .
11. Um cilindro de revolução tem por base um círculo de r = 6 . Determine a área da elipse
intersecção do cilindro por um plano que forma com o eixo um ângulo de 30º.
12. Dois dos vértices de um polígono de 4 lados coincidem com os focos da elipse 9 x 2 + 5 y 2 = 1 e
os outros dois com os vértices do eixo menor da elipse. Calcule a área do polígono.
13. Uma elipse tem focos em F1 = (−3, 0) e F2 = (3, 0) e excentricidade e = 0,5 . Determine a
equação da elipse e a sua área S.
14. Um arco é uma semi-elipse e o eixo maior é o vão. Se este tiver 40m e a flecha 10m, calcule a
altura do arco a 10m do centro da base.
x2 y 2
+
= 1 , escreva a equação da tangente à elipse no ponto P ( x0 , y0 )
a2 b2
x2 y 2
+
= 1 nos pontos de abcissa 3.
16. Escreva equações das rectas tangentes à elipse
25 16
15. Para a elipse
17. Determine equações das tangentes à elipse de equação 4 x 2 + 9 y 2 = 36 , no ponto A(4, 0) .
18. Determine equações das tangentes à elipse de equação 3 x 2 + 4 y 2 = 48 paralelas à recta de
equação x + 2 y − 1 = 0 .
19. Calcule uma equação da elipse que é tangente à recta de equação x + y − 5 = 0 no ponto (3, 2) .
20. Um segmento de recta [ AB ] desloca-se ficando sempre o ponto A no eixo das ordenadas e o
ponto B no eixo das abcissas. Prove que, ao mover-se o segmento [ AB ] , um ponto qualquer P de
[ AB ] descreve uma elipse.
21. Determine uma equação da elipse de foco F (7, 2) , de vértice V (9, 2) e de centro C (9, 2) .
22. Numa elipse de equação
x2 5 y2
+
= 1 inscreve-se um triângulo equilátero, com um dos vértices
16 16
coincidentes com o vértice da elipse que está situado no semieixo positivo dos XX. Determine os
outros dois vértices do triângulo.
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Ficha de Análise matemática II
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
Elipses
23. Escreva a equação cartesiana da elipse cujas equações paramétricas são:
x = 3cos t
23.1)
t
t , t ∈ [0, 2π ] .
y = sin cos
2
2
23.2)
x = 2 + 3cos t
, t ∈ [0, 2π ].
y = −1 + 2sin t
24. Calcule as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices da elipse x 2 − 2 x + 4 y 2 − 8 y + 1 = 0 .
25. Considere a elipse de equação
x2 y2
+
= 1 . Escreva a equação da transformada da elipse pela
6
4
translação associada ao vector v = ( −1, 2) .
26. Em relação a um certo referencial ortonormado do plano, considere a elipse de equação
x 2 + 2 y 2 + 4 x + 4 y + 4 = 0 . Determine em relação ao referencial obtido por translação do primeiro
e cuja origem seja o centro da elipse dada:
26.1) a equação reduzida da elipse.
26.2) as coordenadas do centro da elipse.
26.3) a excentricidade.
27. Considere as equações do 2º grau x 2 + 4 y 2 − 2 x − 16 y + 13 = 0 , 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 4 x + 4 y = 0
e x 2 + 4 xy + 8 y 2 − 14 x − 20 y − 19 = 0 .
27.1) Identifique-as.
27.2) Determine o centro.
27.3) Calcule a equação reduzida (canónica).
27.4) Construa o gráfico.
28. Considere as elipses representadas pelas equações
x2 y2
+
= 1 e y 2 + 4 x 2 = 16 . Calcule as
9
4
medidas da grande normal e da pequena normal das elipses nos pontos de abcissa 3 e 0,
respectivamente.
29. Determine a medida da grande normal e da pequena normal da elipse cujo eixo maior é 10 e o
eixo menor é 4, no pontos de abcissa 4.
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Ficha de Análise matemática II