VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
CÁLCULO II
Rio de Janeiro / 2007
TODOS
OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
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por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo
Branco - UCB.
U n3c
Universidade Castelo Branco.
Cálculo II. –
Rio de Janeiro: UCB, 2007.
56 p.
ISBN 978-85-86912-71-9
1. Ensino a Distância. I. Título.
CDD – 371.39
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CÁLCULO II
Conteudistas
Antônio Fábio Serafim
Sônia Albuquerque
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando
oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Auto-Estudo
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Auto-Estudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite
interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ...................................................................................................11
Contextualização da disciplina .....................................................................................................................13
UNIDADE I
DIFERENCIAL
1.1 - Definição...............................................................................................................................................15
1.2 - Interpretação geométrica ......................................................................................................................15
UNIDADE II
INTEGRAL
2.1 - Integral indefinida .................................................................................................................................18
2.2 - Regras de integração .............................................................................................................................19
2.3 - Técnicas de integração – método da substituição .................................................................................24
2.4 - Técnicas de integração – integração por partes ....................................................................................26
UNIDADE III
A INTEGRAL DEFINIDA
3.1 - Introdução .............................................................................................................................................29
3.2 - Integral definida - cálculo .....................................................................................................................30
3.3 - Propriedades .........................................................................................................................................31
3.4 - Aplicações da integral definida - áreas .................................................................................................32
Glossário .......................................................................................................................................................36
Gabarito.........................................................................................................................................................37
Referências bibliográficas .............................................................................................................................53
Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA
I - DIFERENCIAL
OBJETIVOS
• Possibilitar ao aluno calcular função diferencial;
• Aplicar o conceito de diferencial.
1.1 - Definição
1.2 - Interpretação geométrica
II - INTEGRAL
2.1 - Integral indefinida
2.2 - Regras de integração
2.3 - Técnicas de integração – método da substituição
2.4 - Técnicas de integração – integração por partes
III - A INTEGRAL DEFINIDA
3.1 3.2 3.3 3.4 -
Introdução
Integral definida – cálculo
Propriedades
Aplicações da integral definida – áreas
• Reconhecer uma função integral indefinida;
• Deduzir as regras de integração;
• Aprender e aplicar as técnicas de integração.
• Aplicar o cálculo para função integral definida;
• Saber aplicar a integral definida e suas propriedades.
11
Contextualização da Disciplina
Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas
prontas e o formalismo excessivo, os assuntos foram apresentados de tal forma que podem ser utilizados tanto
para o estudo daqueles que queiram rever ou para aqueles que desejam reciclar seus conhecimentos da disciplina. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Cálculo II e, quando
necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.
13
UNIDADE I
15
DIFERENCIAL
1.1 - Definição
Seja f uma função e sejam x, y variáveis tais que y = f(x) a diferencial de dy é definida por: dy = f’(x).dx.
Exemplos:
1) Se y = 7x³ - 6x² + 5x - 1
y’ = 21x² - 12x + 5

(21x² - 12x + 5).dx
2) Se f(x) = (7x – 2)5
f’’(x) = 5.(7x – 2)4 . 7
f’’(x) = 35. (7x – 2)4
dy = 35. (7x – 2)4.dx
1.2 - Interpretação Geométrica
Suponhamos que f é diferenciável em x0. Consideramos dx = ∆x, e apresentemos ∆x como um incremento no
valor de x de x0 até x0 + ∆x. Assim, ∆y é a variação correspondente no valor de y, de f(x0) até f(x0 + ∆x). Como
f’(x0) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)), segue-se que:
dy = ƒ’(x). dx
Então, dy dá o incremento correspondente no valor de y, determinado, seguindo-se a direção da reta tangente.
Observe que se ∆x → 0 , ∆y → dy. Logo, para “∆x pequeno”, ∆y se aproxima de dy.
Logo:
dy  ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
16
Mas,
dy = f’(x0).dx
Então,
f(x0 + ∆x)  f(x0) + f’(x0).dx
Exemplos:
1) Aplicando o conceito de diferencial, calcule um valor aproximado de
Solução:
f(x) =
x ;
x0 = 4
f’(x0) = f(4) =
e
∆x = 0,12
4 =2
f’(x) = 1 f’(x0) = f’(4) = 1 =
2 x
2 4
Então,
f(x0 + ∆x)  f(x0) + f’(x0).dx
 f(4,12)  2 + 0,25 x 0,12
 f(4,12)  2,03
2) Se f(x) = x² + 2, x0 = 2 e ∆x = 0,01. Calcule:
a) O valor exato de ∆y.
b) Uma estimativa de ∆y usando dy = f’(x0).dx.
c) O erro ∆y – dy cometido na aproximação de ∆y por dy.
Solução:
a) ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
∆y = f(2,01) – f(2)
∆y = [(2,01)² + 2] – [2² + 2] =
= 6,0401 – 6 = 0,0401
b) dy = f’(x0) .dx
Se f(x) = x² + 2

f’(x) = 2x

dy= 2x.dx
Logo,
dy = 2 x 2 x 0,01 = 0,04
c) ∆y – dy = 0,0401 – 0,04 = 0,0001
3) Se y = x² + 1, calcule o acréscimo ∆y para x = 3 e ∆x = 0,01.
Solução:
∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
∆y = f(3+ 0,01) – f(3)
.
∆y = f(3,01) – f(3)
∆y = 9,0601 – 9 = 0,0601
4) Calcular a diferencial da função f(x) = x³ + 2
Solução:
dy = ƒ’(x) . dx
dy = 3x² . dx
Exercícios de Fixação
1) Calcule um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial:
a)
b)
c)
d)
2) Usando um conceito de diferencial, calcule um valor aproximado de Ln(0,95).
3) Dados sen60º = 0,86603, cos 60º = 0,5 e 1º = 0,01745 radiano, use diferencial para calcular os seguintes
valores:
a) sen62º
b) sen59º
4) e² = 7,29, aproxime e2,1 por diferenciais.
5) Encontre a diferencial das seguintes funções:
a) y = 6x – 3
b) f(x) = (2x³ - 5x² +4)5c) f(x) =sen5 2x
c) f(x) = ln(5x – 3)
Exercício de Auto-avaliação
1) Encontre a diferencial das seguintes funções:
a) f(x) = (1 + x²)³
b) y = x .
a2  x2 , a  R
c) y = x³ - x² + x – 3
d) f(x) = x  3
5  2x
e) y = x.ex + senx
2) Calcule dy e ∆y, conhecendo a função y = x² + 3x e os dados: x = 2 ; ∆x = 0,0 e dx = 0,05.
3) Calcule
3
7,8 aplicando o conceito de diferencial.
4) Se Ln10 = 2,303, aproxime Ln10,2 por diferenciais.
5) Se cos60º = 0,5, senx = 0,86603 e 1º = 0,01745rad, calcule cos58º.
17
18
UNIDADE II
INTEGRAL
2.1 - Integral Indefinida
Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma determinada função P(x) definida nesse
mesmo intervalo I é uma função primitiva de ƒ, quando,
P’(x) = f(x), x  I
Exemplo:
Seja a função f(x) = 8x. Logo, P(x) = 4x² é uma função primitiva de f(x), pois:
P’(x) = (4x²)’ = 8x = f(x)
1
Observe também que P1(x) = 4x² + 1; P2(x) = 4x² - ; P3(x) = 4x² -2; P4(x) = 4x² +
R, são primitivas de f, pois P’1(x) = P’2(x) = P’3(x) = ... =4 P’(x) = 8x = f(x)
7 ; ...; P(x) 4x² + k , k 
Uma conseqüência imediata da definição consiste no fato que se P(x) é uma primitiva da função f(x), então a
função P’(x) +k , k R é também primitiva de f, onde o número real k recebe o nome de constante arbitrária.
Pois, se
P(x) é primitiva de f(x)  P’(x) = f(x)
Logo,
(P(x) + k)’ = P’(x) + k’ = P’(x) = f(x)
A expressão P(x) + k, onde P é uma função primitiva de f e k uma constante qualquer, recebe o nome de
integral indefinida de f e será indicada pela notação:
Exemplo:
Seja a função y = 8x³ + 6x +1
Logo, y’ = 24x² + 6  dy = (24x² + 6).dx
Então,
= 8x³ + 6x + k, k   R
Como a integral indefinida é a operação inversa da diferenciação, podemos deduzir fórmulas a partir das
fórmulas das derivadas.
Exemplos:
a) y = senx  y’ = cosx  dy = cosx.dx
∫cosx.dx = senx + k
Logo,
b) y = ax  y’= a  dy = a.dx; a  R
∫adx = ax + k
Logo,
2.2 - Regras de Integração
Com o auxílio das regras de derivação, vamos deduzir as regras de integração.
O k é um número real e indica a constante de integração.
1ª Regra: ∫ dx = x + k
Pois,
Se ƒ(x) = x + k  ƒ’(x) = 1  dy = 1.dx
Então,
∫ dx = x + k
2ª Regra: ∫ xn . dx =
x n 1
+ k; n ≠ -1
n1
Pois,
x n 1
n  1  x n 11  ƒ’(x) = xn  dy = xn. dx
+ k  ƒ’(x) =
n1
n 1
se ƒ(x) =
Logo,
∫x
n
. dx =
x n 1
+k
n1
Exemplos:
a) ∫ x5.dx =
x 5 1
x6
k 
k
51
6
1 6
6
x  y’ = x 5  y’ = x5 e dy = x5 . dx
6
6
x 4 1
x 3
1
1
-4
b)  4 . dx =∫x . dx =
k 
k  
k
3 x³
41
3
x
Observe que, se y =
Observe que
se y = 
1
1
 k   x 3  k
3 x³
3
19
20
Então, y’=
c)
Logo,
1
2x 2
2 3 3 1
Então, se y =
 k  y'  x 2  y' x 2  y' x
3
3 2
3
e dy =
OBS.:
∫
No caso de xn . dx, com n = -1, temos:
∫x
-1
Ln x +k
. dx =
Pois, se y = Ln x   y’=
1
 dy =
x
Logo,
3ª Regra: ∫ k. ƒ(x) . dx = k∫ 9x). dx, onde k  R*
Demonstração:
Se P(x) é uma função primitiva da função ƒ(x), temos P’(x) = ƒ(x), segue-se:
∫ k.ƒ(x).dx = k.p(x), pois (k . P(x)’ = k’ . P(x) + k . P’(x) = k . ƒ(x)
e
k . ∫ƒ(x) . dx = k . P(x), pois P’(x) = ƒ(x)
Logo,
Se
∫ k . ƒ(x) . dx = k . P(x) e k ∫ ƒ(x) . dx = k . P(x) 

 ∫ k . ƒ(x) . dx = k . ∫ ƒ(x) . dx
Exemplo:
x5
a) ∫5x . dx = 5∫x . dx = 5
+k = x5 + k
5
4
4
Observe que:
Se
21
y = x5 + k  y’ = 5x4  dy = 5x4 . dx
b)
= 3 ∫x-7 . dx =
3  x 6
1
k   6 k
2x
6
Observe que:
Se
c)
Logo,
Observe que:
Se y =
x
+k
3
y =
1 12
x k
3
y’=
1 1  12
. x
3 2
y’=
1
6 x
Logo,
4ª Regra: ∫ [(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ƒn(x)] . dx = ∫ƒ1(x).dx ± ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Se P1(x), P2(x), ..., Pn(x) são funções primitivas de ƒ1(x), ƒ2(x), ..., ƒn(x), respectivamente,
então, P’1(x) = ƒ1(x), P’2(x) = ƒ2(x), ..., P’n(x) = ƒn(x).
Logo, [(P1(x) ± P2(x) ± ... Pn ±Pn(x)] é primitiva de [(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ±ƒn(x)], pois [(P1(x) ± P2(x) ± ... ±Pn(x)]’ =
P’1(x) ± P’2(x) ± ...± P’n(x) = ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ƒn(x).
Então, temos
∫[(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ± ƒn(x)]dx = P1(x) ± P2(x) ± ... ± Pn(x) = ∫ƒ1(x).dx ± ∫ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Portanto:
∫[(ƒ1(x) ± ƒ2(x) ± ... ± ƒn(x)] . dx = ∫ƒ1(x).dx ± ƒ2(x).dx ± ... ± ∫ƒn(x) . dx
Exemplos:
a) ∫(x³ + 9x² + 6x – 3).dx = ∫x³ . dx + ∫9x² . dx + ∫6x . dx – ∫3. dx =
= ∫ x³. dx + 9 ∫ x² . dx + 6 ∫ x. dx - 3 ∫ dx=
22
=
x 4 9x ³ 6x ²


 3x  k
4
3
2
Logo, ∫(x³ + 9x² + 6x – 3).dx =
Então, se y =
x4
+ 3x³ + 3x² - 3x + k
4
1 4
x + 3x³ + 3x² - 3x + k, temos:
4
y’ = x³ + 9x² + 6x – 3 e dy = (x³ + 9x² + 6x – 3)dx
b)
= ∫x- ½ . dx + 7 ∫
- 5 ∫ . dx=
=
=2
x + 7 . Ln  x  - 5x + k
Observe, então, que se y = 2x½ + 7.Ln x – 5x + k 
y’ =
2
1  12
1
1
7
x  7  5  y’ =
  5 e dy =
x
2
x x
5ª Regra: ∫cosx . dx = senx + k
Pois, se y = senx  y’ = cosx e dy = cosx . dx
6ª Regra: ∫ senx . dx = - cosx + k
7ª Regra: ∫ tgx . dx = Ln secx + k
Pois, se y = Lnsecx  y ‘ =
= tg x
e
dy = tg x . dx
8ª Regra: ∫ cotg x . dx = Ln senx + k
9ª Regra: ∫ cossec x . dx = Ln (cossec x – cotg x ) + k
Pois, se y = Ln  cossec x – cotg x  + k 
 y’ =
=
 y’ = cossec x e dy = cossecx . dx
10ª Regra: ∫ sec x . dx = Ln secx + tg x+ k
11ª Regra: ∫ sec² x . dx = tg x + k
12ª Regra: ∫ cossec²x . dx = - cotg x + k
13ª Regra: ∫ ex . dx = ex + k
14ª Regra: ∫ ax . dx =
;a
Observação
Outras regras de integração podem ser deduzidas através das regras de derivação.
Exercícios de Fixação
1) Desenvolva as seguintes integrais:
a) ∫dx =
b) ∫6x. dx =
c)
d)
=
=
e) ∫(2x4 + 5x³ - 6x² + 2x – 1) . dx =
f) ∫
=
g)
=
h)
i)
j)
k)
l) ∫ (ax² + bx + c) . dx=
m) ∫
n) ∫x . (2x + 1)² . dx =
o)
p) ∫(1 + cosx – 5 sen x).dx=
=
23
24
2) Desenvolva ∫(2x + 1) . dx, sabendo que ƒ(1) = 7.
= 3x – 1 e ƒ(0) = 4.
3) Determine a primitiva ƒ(x), sabendo que
4) Determine a função ƒ(x), sabendo-se que ƒ’’(x) = 2x – 1 ; ƒ(1) = 3 e ƒ(1) = 4.
2.3 - Técnicas de Integração – Método da Substituição
Em algumas situações, o cálculo de uma função primitiva pode não ser tão simples. Nestes casos, algumas
técnicas são necessárias, veremos algumas delas. Inicialmente, estudaremos o método da substituição.
Sejam ƒ e P duas funções, tais que P’(x) = ƒ (x).
Usando a regra da derivação em cadeia temos:
= P’(g(x)) . g’(x) = ƒ(g(x)).g’(x)
Segue-se que
∫ ƒ(g(x)).g’(x) . dx = P(g(x)) + k
Se considerarmos u = g(x)  du g’(x) . dx
Logo,
∫ ƒ(g(x)) . g’(x) . dx = ∫ƒ(u) . du
Exemplos
a) ∫ (6 + 5x)8 . dx =
Solução:
Considerando u = 6 + 5x  du = 5. dx
Então,
∫ (6 + 5x)8 . dx =
=
mas u = 6 + 5x , logo, ∫ (6 + 5x)8 . dx =
É comum alguns professores desenvolverem da seguinte forma:
∫ (6 + 5x)8 . dx =
Fazendo u = 6 + 5x
du = 5 . dx
Logo, ∫ (6 + 5x)8 . dx = ∫u8 .

dx =
=
Observe que as duas formas desenvolvidas são praticamente iguais, diferem apenas na apresentação inicial.
b) ∫ cos 2x.dx

Fazendo u = 2x
25
du = 2. dx
Logo,
∫cos2x . dx =
Resolvendo da outra forma, temos:
Se u = 2x

du = 2 . dx

dx =
Logo,
∫cos2x . dx = ∫cos u .
=
c)
Temos
∫ (2 + sen3x)½ . cos3x . dx; 
Fazendo
u = 2 + sen 3x
du = 3 . cox3x. dx
Logo,
∫ (2 + sen3x)½ . cos3x . dx =
=
3
1 u2
2
= 
k 
u³  k
3 32
9
Mas u = 2 + sen 3x;
Então,
+k =
=
2
2  sen3 x   2  sen3 x  k
9
Exercícios de Fixação
1) Desenvolva as seguintes integrais:
a) ∫ ( x + 6)4
b)
c)
d) ∫ t . (5 + 3t²)8.dt
26
e)
f)
g)
h) ∫(x + 1)100 . x . dx
i) ∫(x² - 4x + 4)5 . dx
j)
k) ∫ sen5x.cos x.dx
l) ∫ sen62x.cos x.dx
m)
n) ∫cos(2x+7).dx
o) ∫ tg62x.sec²2x.dx
p) ∫(3.sen2x + 4.cos 3x).dx
q) ∫ sen3x.dx
r)
2) Se ƒ’(x) = esenx.cosx, encontre a função ƒ(x) sabendo que ƒ(0) = 3.
2.4 - Técnicas de Integração – Integração por Partes
Sejam u e v funções de x deriváveis num intervalo I. Sabemos que a derivada do produto u(x).v(x) é dada por:
[u(x).v(x)]’ = u’(x).v’(x) + u’(x).v’(x)
Logo, a primitiva de [u(x).v(x)]’ é igual à soma de uma primitiva de u’(x).v(x) com uma primitiva de u
(x).v’(x), ou seja,
∫[u(x).v(x)]’.dx = ∫v’(x).u’(x).dx + ∫u(x).v’(x).dx 
 u (x).v(x) = ∫v(x).u’(x).dx + ∫ u(x).v’(x) . dx
Logo, podemos escrever:
∫ u(x) . v’(x) . du = u(x) . v(x) - ∫ v(x) . u’(x) . dx
ou
27
∫u.dv = u.v - ∫v.du
Exemplos:
1) Determine a primitiva de ƒ(x) = x . ex.
Solução
∫x . ex. dx
Temos
u=x
du = du
v = ∫x.ex.dx = ex + k
∫v.du = ∫ ex. dx= ex + k
Logo:
∫x.ex. dx = x.ex – ex + k
2) Desenvolva a integral ∫x².senx.dx.
Solução
Temos,
u = x²
du = 2x . dx
v = ∫ dv = ∫ senx . dx = - cosx + k
∫v du = -2∫x.cosx. dx
Logo,
∫x².sen x.dx = - x².cosx + 2 ∫x. cosx.dx
Vamos desenvolver ∫x. cosx . dx, aplicando a técnica da integração por partes.
∫x . cosx. dx =
Fazendo
u=x
du = dx
v = ∫ cosx. dx = senx + k
∫v.du = ∫senx . dx = - cosx + k
Logo, ∫ x. cosx . dx = x . senx. + cosx + k
Portanto,
∫ x² . senx. dx = - x² . cosx + 2 . (x senx + cosx) + k
= - x² . cosx + 2 . x. senx + 2 . cosx + k
28
Exercícios de Fixação
1) Aplicando a técnica da integração por partes, desenvolva as seguintes integrais:
a) ∫ x. cos . dx=
b) ∫ x² . ex. dx=
c) ∫ x² . Lnx . dx=
d) ∫ Ln x . dx=
e) ∫ex . senx. dx=
f) ∫x .
=
UNIDADE III
INTEGRAL DEFINIDA
3.1 - Introdução
Consideremos o problema de calcular a área de uma região S, limitada pelo gráfico de uma função contínua
em ƒ, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = a e x = b.
Considerando, então, ƒ contínua ao menos num intervalo [a, b],
os pontos a = x0, x1, x2, ..., xn = b, com x0 < x1 < ...< xn dividem o intervalo [a, b] em intervalos parciais
[ xi – 1, xi] de comprimento ∆xi = x i – x i -1. Para cada um destes intervalos, consideremos um ponto i tal
que x i - 1 <  i < xi.
Para cada i, i = 1, 2, 3 ,..., n, construímos um retângulo de base ∆xi = x i – x i -1 e altura ƒ(i).
29
30
A soma desses n retângulos é dada por:
n
Sn = ƒ (1) . ∆x1 + ƒ(2) . ∆x2 + ... + ƒ(n ) . ∆xn =

i 1
ƒ(1) . ∆xi
n
A soma

i 1
ƒ(1) . ∆x recebe o nome de soma de Riemann da função ƒ sobre o intervalo [a, b], em relação
à divisão adotada.
Podemos observar que à medida que n cresce muito, cada ∆xi , i = 1, 2, 3, ..., n, torna-se muito pequeno e a
soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como área de S.
O Limite
b
Recebe o nome de integral da função ƒ sobre [a, b] e será indicado pela notação
sobre [a, b]).
 f ( x)  dx (integral de ƒ
a
Assim,
3.2 - Integral Definida – Cálculo
Normalmente a integral definida de ƒ sobre [a, b] não é calculada empregando-se a definição, pois o cálculo
do limite da soma de Riemann de ƒ é bastante difícil.
Teorema: Seja ƒ uma função contínua em um intervalo [a, b]. Se p é uma função primitiva de ƒ, então:
Exemplos:
1) Calcule:
a)
Observe que:
Área do Triângulo =
Atr =
bh
2
31
b)
3.3 - Propriedades
Seja ƒ contínua e integrável em [a,b], então:
1ª propriedade
2ª propriedade
b
b
a
a
d
x  m  f ( x ) dx
d
x , com m  R *
 m  f ( x ) dx
3ª propriedade
b
a
a
b
d
x    f ( x )  dx
d
x
 f ( x )  dx
4ª propriedade
a
x 0
 f ( x )  ddx
a
5ª propriedade
b
c
b
a
a
c
d
x , com a  c  b
 f ( x )  dxdx   f ( x )  dxdx   f ( x )  dx
6ª propriedade
b
d
x
 f ( x )  dx
 0, sedx f ( x )  0,  x  a, b 
a
7ª propriedade
b
dx f ( x )  0,  x  a, b 
d
x  0, se
 f ( x )  dx
a
32
3.4 - Aplicações da Integral Definida – Áreas
Cálculo de Áreas
Seja uma função ƒ(x) contínua em um intervalo [a, b] e, se ƒ(x)  0, x  [a,b], então a área compreendida
entre a curva y = ƒ(x), o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b, é dada por:
A=

b
ƒ(x) . dx
a
No caso de ƒ(x) ≤ 0, x  [a, b], então a área entre a curva y = ƒ(x), o eixo das abscissas e as retas x = a e
x = b, é dada por:
A=-

b
a
ƒ(x) . dx
Obs.: No caso da função ƒ(x) trocar de sinal dentro do intervalo [a,b], calculamos separadamente as áreas das
figuras acima e abaixo das abscissas.
Exemplos:
1) Calcule a área limitada pela parábola y = x2, o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.
A=
1

x² . dx =
0
x2
2
–
1
=
2
u. a
2) Calcule a área limitada pela curva y = x³, o eixo x e as retas x = – 1 e x = 2.
A1 =
–
1
+4 =
4
u.a
1
x4
x . dx =
4

3
0
p
=
1
1
 A1 =
4
2
A2 =
Logo, A = A1 + A2 =

0

2
0
x4
x . dx =
4
3

2
0
= 4  A2 = 4
Área entre Duas Curvas
33
Sejam as funções ƒ(x) e g(x) que se interceptam nos pontos de abscissas x = a e x = b, onde ƒ(x) e g (x) são
funções contínuas em [a,b]. Se g (x)
A = A 1 – A2 =
1

0
g (x) . dx −

b
a
 ƒ(x),  x  [a,b], A =
ƒ(x) . dx =

b
a

b
[g(x) − ƒ (x) ]. dx
a
1
A1 =

A2 =

0
b
a
g (x). dx
ƒ (x) dx
[g(x) – ƒ(x)] . dx
Exemplo:
Calcule a área compreendida entre as curvas f(x) = x2 e g(x) = x.
A=
1

0
(x – x2) . dx =
x 2 x3
−
2
3
1

0
=
1 1 1
−
=
2 3 6
Exercícios de Fixação
1) Calcule a área limitada pela função f(x) = cos x, o eixo das abscissas e as retas x = 0 e x = 2π.
2) Calcule a área limitada pela reta f(x) = 2 − 4x, o eixo das abscissas e as retas x = 0 e x =
3) Calcule a área limitada pela parábola y = 9 − x2 e o eixo das abscissas.
4) Ache a área limitada pelas parábolas y = 6x − x2 e y = x2 − 2x.
5) Ache a área entre as curvas y =
Exercícios de Auto-avaliação
1) Calcule as integrais abaixo.
a)
1

1
(2x2 − x3) . dx
x e y = x3.
1
.
2
34
1
b)

c)

d)

0
(x2 + 2x + 3) dx
4
1
2
2
2) Ache a área limitada pela curva y = Lnx, o eixo x e a reta x = 10.
(Dado Ln10 =
)
3) Ache a área limitada pela parábola y = 9 − x2, o eixo x e as retas x = 0 e x = 3.
4) Calcule a área entre as curvas y =
x e y = x3.
35
Se você:
1)
2)
3)
4)
concluiu o estudo deste guia;
participou dos encontros;
fez contato com seu tutor;
realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as
avaliações.
Parabéns!
36
Glossário
Função diferenciável - uma função f é diferenciável em x0 se f (x0) existir. Uma função f é dita diferenciável
se for diferenciável em todo ponto de seu domínio.
Integral definida - a integral definida de uma função f (x) em um intervalo fechado [a,b] é representada por
b
dx e pode ser interpretada como área.
 f ( x)  dx
a
Integral indefinida - a integral indefinida de uma função f (x) é representada por
.
Gabarito
37
Unidade I
Exercícios de Fixação
1)
a) 3,0333
b) 1,99167
c) 2,03
d) 0,51
2) – 0,05
3)
a) 0,88348
b) 0,8573
4) 8,019
5)
a) dy = 6.dx
b) dy = 5 . (2x³ - 5x² + 4)4 . (6x² - 10x)
c) dy =
Exercícios de Auto-avaliação
1)
a) dy = 6x . (1 + x²)² . dx
b) dy =
a 2  2x 2
a2  x2
. dx
Desenvolvimento
Se y = x. (a² - x²)½,
Mas se y = u . v  y’ = u’ v + u . v’
Então, se u = x  u’ = 1 e
v’ =

x
a  x2
2
Logo, y’ = 1. 
 y’ =
y’ =
se v = (a² - x²) ½  v’ =
a²  x²
a²  x²

a ²  x ²   x ² 
a²  x²

 x 
x

 a²  x² 
x²
a²  x²
a²  2 x²
a²  x²
x
;
1
(a² - x²)-½ . (-2x) 
2
38
Logo, dy =
c) dy = (3x² - 2x + 1) . dx
u '.v  u.v'
, onde u = x + 3 e v = 5 -2x
v²
d) y’ =
Logo, u’ = 1 e v’ = -2
Então, y’ =
y’ =
e) y = x . ex + cosx
y1
y2
y1 = x . ex  y’1 = 1. ex + x . ex
y2 = cosx  y’2 = -senx
y’ = ex + x . ex - senx
2) y = x² + 3x


dy = (ex + x . ex – senx) .dx
y’ = 2x + 3

dy = (2x + 3) . dx
Substituindo os valores x = 2 e dx = 0,05, encontramos dy = 0,35 e o ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
Logo, ∆y = f(2 + 0,05) – f(2)
∆y = f(2,05) – f(2)

∆y = 10,3525 – 10 = 0,3525
3)
Desenvolvimento
f(x) =
3
x;
x0 = 8
f’(x) =
∆x = -0,2
1
33 x 2

x0 + ∆x = 7,8 : f(x0) =
f(x0) = f’(8) =
Como:
f(x0 + ∆x)  f(x0) + f’(x0) . dx
f(7,8)  2 +
. (-0,2)
f(7,8)  2 – 0,083 . 0,2
f(7,8)  1,98
3
8 =2
4) Ln 10,2 = 2,323
39
Desenvolvimento:
f(x) =Ln x

x0 = 10
f’(x) =
1
x
∆x = -0,2

f(x0) = f’(10) =
0,1
f(x0) = Ln 10 = 2,303
f(10,2) =2,303 + 0,1 . 0,2
f(10,2) =2,323

5) f(x) =cosx
x0 = 60°
∆x = -2°;
f’(x) = - senx
f(x0) = f(60°) = cos60° = 0,5
Então,
f(x0 + ∆x)  f(x0) + f’(x0) . ∆x
Mas
∆x = -2° = -2 . 0,01745 rad

f(58°) = 0,5 + (-0,86603) . (-0,0349)
f(58°) = 0,53022
Logo; cos58° 0,53022
Unidade II
Exercícios de Fixação (2.1 e 2.2)
1)
a) x + k
b) 3x² + k
c)
3x3 x ²
+k
5
d) e)
1
+k
x
2x 5 5x 4

 2 x³  x²  x  k
5
4
f)
Desenvolvimento:
∆x = 0,349
e
f’(x0) = f’(60°) = -sen60° = -0,86603
40
g)
Desenvolvimento:
h) 2x² - 4
x +k
Desenvolvimento:
i)
x³ 2
 k
6 x
Desenvolvimento:
j)
6 x² x 4 x x

k
5
3
Desenvolvimento:

6 x 5 4 x³
6 x² x 4 x x

k 

k
5
3
5
3
k)
x²
4
 5x   k
2
x
Desenvolvimento:
41
l)
m)
Desenvolvimento:
n)
x4 
4 x³ x²

k
3
2
Desenvolvimento:
o)
Desenvolvimento:
p) x + senx + 5.cosx + k
Desenvolvimento:
2) k = 5  f(x) = x² + x + 5
3) k = 4  f(x) =
4) f(x) =
3x ²
-x+4
3
7
x³ x²
+3 x +

6
3 2
42
Desenvolvimento:
f’(x) =

Mas f’(1) = 3
1²- 1 + k = 3

k=3
Então, f’(x)= x² - x + 3
e
f’(x) =
Mas f’(1) = 4

1 1

3 2
 k
K=1-
Logo, f’(x) =
1 1
 3 k  4
3 2
7
6
x³ x²
7
  3x 
3 2
6
Exercícios de Fixação (2.3)
1)
a)
b)
 x  6 5  k
5
1  x ²  
1  x²
3
k
Desenvolvimento:
fazendo u = 1 + x², temos du = 2x . dx
=
3
1
1  x ²  2  k  1  1  x ²  12  k  1  x ²   1  x ²  k
3
3
3
c) Ln x + 2+k
d)
Desenvolvimento:
Fazendo u = 5 + 3t², temos: du = 6t.dt
Logo,
43
Mas u = 5 + 3t², logo,
e)
Desenvolvimento:

Fazendo u = a – bx
du = -b . dx
Logo,
1
1 u 2
 
k
b 1
2

2u
k
b
Mas u = a – bx
Logo;
f)
Desenvolvimento:
1° modo
2° modo
Fazendo u = x + 2  du=dx e x = u – 2
Logo;
44
Como u = x + 2, temos:
A resposta encontrada é equivalente à obtida no método anterior.
g)
33  x ²  6 x 
2
4
4
Desenvolvimento:
1° modo
 x ²  6 x 

1
3
  x  3  ddx
x ,
Fazendo u = x² + 6x

du= (2x + 6) dx ou
du = 2 (x + 3)du

du= (2x + 6) dx ou
du = 2 (x + 3)du
Logo;
2° modo
Fazendo u = x² + 6x
 (x + 3) . dx =
Logo,
h)
x  1102  x  1101  k
102
101
Desenvolvimento:
Fazendo u = x + 1, temos: x = u – 1 e du = dx
Logo,
=
Mas u = x + 1, logo:
45
i)
Desenvolvimento:
j)
Desenvolvimento:
Fazendo u = x + 5  du=dx e a² = 5  a=±
* Ver tabela de integrais.
k)
sen 6 x
k
6
Desenvolvimento:
Fazendo u = senx  du = cosx . dx, temos:
l)
Desenvolvimento:
Fazendo u = sen2x  du = 2 . cos2x . dx,
Logo,
Mas u = sen2x
5
46
Logo;
m) -
cos 1 x
k
1
ou
sec x + k
Desenvolvimento:
Fazendo u = cosx  du= -senx . dx
Logo,
Como u = cosx, temos:
n)
1
 sen2 x  7   k
2
o)
Desenvolvimento:
Fazendo u = tg 2x  du = 2 . sec² 2x . dx
Logo,
Mas u = tg 2x, então;
p) -
3
4
cos 2 x  sen3 x  k
2
3
Desenvolvimento:
q) – cosx +
cos x
k
3
47
Desenvolvimento:
Observe que sen³x = sen²x.senx e sen²x + cos²x = 1  sen²x = 1-cos²x
Logo,
Sen³x = (1 – cos²x) . senx = sen x – cos²x . senx
Então,
r) 2 4  cos x  k
Desenvolvimento:
Fazendo u = 4 – cosx  du = senx.dx
=2
4  cos x  k
2) f(x) = esen x = 2
Desenvolvimento:
f(x) =
Se u = sen x  du = cosx . dx
Então,
Como u = sen x 
= esen x + k
Logo, f(x) = esen x + k
Se f(0) = 3  esen 0+k = 3 1 + k = 3 k =2
Portanto,
f(x) = esen x = 2
Exercícios de Fixação (2.4)
1) a) x . senx + cosx + k
48
Desenvolvimento:
u=x 
du = dx
dv = cos x . dx v =
= sen x + k
Logo,
b) x² . ex – 2 . x. ex + 2 . ex + k
Desenvolvimento:
u = x²

du = 2xdx
dv = ex.dx
v=
I
Mas, I = x . .ex – ex + k
Logo,
Então,
= x² ex – 2xex + 2ex + k
c)
Desenvolvimento:
u = Ln x

dv = x². dx
v=
Logo,
d) x. Lnx - x + k
du =
Desenvolvimento:

u = Ln x
49
du =
dv = dx
v=
Logo,
e)
Desenvolvimento:
u = ex

du= ex.dx
dv = senx.dx
v=
Logo,
Desenvolvendo
u = ex 
, temos:
du = ex. dx
dv = cos x . dx
v=
Logo,
Chamando
de A, temos:
A   e x . cosx  e x . sen x  A 
 2 A  e x .sen x  e x . cos x 
1
 A   e x .sen x  e x . cos x  k
2


50
f)
Desenvolvimento:
u=x 
du=dx
dv =
v=
=
Logo;
Unidade III
Exercícios de Fixação
1) 4 u. a
Desenvolvimento:
f(x) = cosx

x=0
e
x = 2π
2)
1
u.a
2
51
Desenvolvimento:
ou
3) 36 u. a
ou
Se fizer
, temos:
52
4)
5)
Exercícios de Auto-Avaliação
1)
a)
4
3
b)
7
3
c) 2
d)

4
2) 14,02 u.a
3) 18 u. a
4)
u. a
Referências Bibliográficas
GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. vol. 1. São Paulo: McGraw-Hill, 1993.
MUNEN, Mustafá A. & FOULIS, J. D. Cálculo. vol. 1. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1982.
SWOKOWSKI, Earl Willian. Cálculo com Geometria Analítica. vol. 1. São Paulo: McGraw-Hill, 1993.
53