INTEGRAL INDEFINIDA
Nice Maria Americano da Costa
A NOÇÃO DE PRIMITIVA
A questão posta pela operação derivada, era: dada uma função f(x), encontrar
outra função, digamos F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).
F ( x)  f ´( x)
Com a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa forma,
posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra
função F(x), cuja derivada é igual à função dada:
F´( x)  f ( x)
Definimos como primitiva esta função F(x) obtida com tal procedimento.
Consideremos f(x)=senx. Desejamos encontrar um outra função F(x), tal que,
F´(x)=senx. Esta função procurada é F(x)=-cosx, pois F´(x)=senx.
Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo [a,b], se
em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x).
Note que, para f(x)=senx, a função G(x)=-cosx +5 também tem sua derivada
igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função
qualquer admite mais de uma primitiva.
Outros exemplos:
f ( x)  x
3
f ( x)  cos x
1
f ( x) 
x
uma primitiva é:
x4
F ( x) 
4
uma primitiva é: F ( x)  senx
uma primitiva é:
F ( x)  ln x
Mas as funções:
x4
F ( x) 
5
4
F ( x )  senx 
3
4
F ( x)  ln x  a
São, correspondentemente, primitivas das funções dadas.
Teorema. Se duas funções, F1(x) e F2(x), são primitivas da função f(x), no
intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é uma constante.
Demonstração. Pela definição de primitiva, temos que as derivadas das F1(x)
e F2(x) são iguais a f(x):
F1´( x)  f ( x)
F2´( x)  f ( x)
Definindo a diferença de F1(x) e F2(x) como uma nova função G(x), teremos
G( x)  F1 ( x)  F2 ( x)
Calculando agora a derivada de G(x), temos:
G´( x)  F1´( x)  F2´( x)
G´( x)  f ( x)  f ( x)  0
G( x)  F1 ( x)  F2 ( x)  Constante
Basta então conhecer uma primitiva, pois as demais diferem apenas de uma
constante. Podemos então escrever para a primitiva de uma função f(x) :
F ( x)  C
Definição 2. Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) a operação de
determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é
simbolicamente representa por
 f ( x)dx
Portanto, da definição, teremos
 f ( x)dx  F ( x)  C
com
F ( x)  f ( x)
Propriedades:
Em virtude da definição da operação, temos que a derivada de uma
integral indefinida é igual à função dada, ou integrando:



f ( x)dx   F ( x)  C   F ( x)  f ( x)
A diferencial de uma integral indefinida é igual à expressão no integrando
d
  f ( x)dx    F ( x)  C  dx  F ( x)dx  f ( x)dx
Lembrando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a
diferencial da variável independente e usando o resultado anterior
A integral indefinida da diferencial de uma dada função é igual à própria
função mais uma constante
 dF ( x)  F ( x)  C
exemplos:
4
x
 dx
 x dx
 senx dx
 cos x dx
3
dx
x
dx
 x2
 e dx
x
dx
 cos2 x
Funçao
Derivada
x5
5x4
x4
4 x3
x3
1
x
senx
cos x
3x 2
1
 2
x
cos x
 senx
ln x
1
cos 2 x
ex
1

x
ex
tgx
ex
ln x
1
x
x5
5
x4
4
 cos x
senx
tgx
Outras propriedades:
Teorema. A integral indefinida da soma algébrica de duas funções é a soma
algébrica das integrais indefinidas dessas funções:
  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x) dx
Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:
   f ( x)  g ( x)  dx 

 f ( x)  g ( x)
Mas pela propriedade demonstrada antes

f ( x)  (  f ( x)dx)
Então

g ( x)  (  g ( x)dx)

 

f
(
x
)

g
(
x
)
dx



 

f ( x)dx 
 g ( x)dx


O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro
direito da tese do teorema

 

f ( x)dx   g ( x) dx 
 

f ( x)dx 
 g ( x) dx


Teorema. Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração
 cf ( x) dx  c  f ( x)dx
Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:

cf
(
x
)
dx
 cf ( x)



Mas pela propriedade demonstrada antes
cf ( x)  c
Então
  f ( x)dx 
  cf ( x) dx   c   f ( x)dx 
O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro
direito da tese do teorema



c  f ( x)dx  c

f ( x)dx


TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
POR MUDANÇA DE VARIÁVEL
Nem sempre temos pela frente o cálculo de uma integral de uma função
elementar, mas de uma composição delas. Por exemplo
2
sen
 x cos x dx
Entretanto, fazendo algumas transformações, por mudança de variável,
podemos chegar a expressões com funções elementares. No exemplo, se
olharmos com cuidado, vemos que :
cos xdx  d ( senx)
u  senx
Podemos então fazer a transformação
entao
du  cos dx
A integral torna-se:
u3
3
u
du


sen
xC

3
2
O princípio desta técnica se apóia nas propriedade da derivada que vimos
anteriormente. Dada a integral da função f(x), podemos imaginar x como uma
função de outra variável t.
x   (t )
dx   (t )dt
Então
 f ( x)dx   f   t    t  dt
Para mostrar, derivemos o membro esquerdo em relação a x



f ( x)dx  f ( x)
Derivemos o direito em relação a x, lembrando que temos uma função de t:

f   t     t  dt
 


x
f   t     t  dt

 dt
t dx

Mas
f   t     t  dt


 f [(t )] (t )
t
e
dt
1

dx  (t )
Então

f   t    t  dt
 


x
f   t    t  dt

1
 dt
 f [ (t )] (t )
 f ( x)
t dx
 (t )
Que é o resultado encontrado antes.
Exemplo
x
 1  x2 dx
t  1  x2
dt  2 xdx
x
dt 1
1
2
dx


ln
t

ln(1

x
)C
 1  x2
 2t 2
2
Exemplo
senx
 cos x dx
t  cox
dt   senxdx
senx
dt
 cos x dx   t   ln t   ln(cos x)  C
Exemplo
5x
e
 dx
t  5x
dt  5dx
dt 1 t 1 5 x
 e dx   e 5  5 e  5 e  C
5x
t