N 07/96
Publicação Especial
FORMAÇÃO DE BURACOS NEGROS NA TEORIA DE
LOVELOCK: MODELO DE OPPENHEIMER-SNYDER
DIMENSIONALMENTE CONTINUADO
Andersonllha dos Santos
Tese de Mestrado
Rio de Janeiro, Agosto de 1996
N' 07/96
Publicação Especial
FORMAÇÃO DE BURACOS NEGROS NA TEORIADE
LOVELOCK: MODELO DE OPPENHEIMER-SNYDER
DIMENSIONALMENTE CONTINUADO
And~sonllhadosSantos
Tese de Mestrado
Rio de Janeiro, Agosto de 1996
FORMAÇAO DE BURACOS NEGROS NA TEORIA DE
LOVELOCK: MODELO DE OPPENHEIMER-SNYDER
DIMENSIONALMENTE
CONTINUADO
por
Anderson
Ilha dos Santos
Observatório
Nacional
Rio de Janeiro
Agosto de 1996
Tese de Mestrado
Agradecimentos
Eu gostaria de agradecer a José Lemos por seu ensinamento e crítica durante a supervisão de meu trabalho. As discussões com ele são sempre uma fonte de inspiração e
entusiasmo.
Meu grande agradecimento aos meus amigos da pós-graduação,
parte de minha vida um episódio memorável.
que fizeram desta
Meu agradecimento a Vilson Zanchin. Sem ele, o meu período na graduação não
teria tido a mesma intensidade que tive sob sua orientação.
Ao pessoal da Coordenadoria de Pós-Graduação.
O suporte financeiro veio do Conselho Nacional para o Desenvolvimento Científico
e Tecnológico, CNPq.
Eu também gostaria de agradecer a minha família. Meus pais e minha pequena irmã sempre estiveram aqui junto de mim, embora estejamos morando a muitos
quilomêtros de distância. Agradeço a eles a minha educação. São os responsáveis diretos por estar aqui. Meus padrinhos e meus avós também tiveram uma participação
importante na minha formação pessoal. Agradeço profundamente por isto.
,
Indice
Prefácio
3
Resumo
5
Abstract
7
1 Introdução
9
2
Colapso
gravitacional
na relatividade
geral
Introdução..........................
2.2 Solução exterior de vácuo .........................
2.3 Soluçãointeriordematéria.........................
2.4
Condições de junção ............................
20
2.5
21
2.1
Formação de buracos negros
........................
3 A Teoria de Lovelock
4
Introdução..................................
3.2
3.3
Generalização do tensor de Einstein e equações de movimento.
. . . .
Classes características e continuação dimensional. . . . . . . . . . . . .
Colapso
em dimensões
ímpares
4.2
Introdução..................................
A escolha dos coeficientes .....................
4.3
4.4
4.5
4.6
Soluçõesexteriores de vácuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soluçãointerior de matéria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condiçõesdejunção ........................
Formaçãode buracos negros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Colapso
em dimensões
17
18
19
25
3.1
4.1
5
17
pares
Introdução..................................
5.2 A escolha dos coeficientes .........................
5.3 Soluçõesexterioresdevácuo........................
5.4
Soluçãointeriordematéria.........................
5.5 Condições de junção
........................
5.1
1
25
26
30
35
35
35
36
37
40
43
45
45
45
46
47
50
2
5.6
Formação de buracos negros
........................
52
Conclusões
59
Referências
61
A Referências
selecionadas
sobre a teoria
de Lovelock
65
Prefácio
A pesquisa inclui da nesta tese foi elaborada no Observatório Nacional, Rio de Janeiro.
O capítulo 5 foi submetido, com modificações menores, para publicação, e o capítulo 4
está sendo preparado para tal, ambos em colaboração com José P. S. Lemos.
3
Resumo
A extensão da relatividade geral para dimensões mais altas, de modo que as equações
de campo permaneçam de segunda ordem para a métrica, é feita através da ação de
Lovelock. Esta ação também pode ser interpretada como a continuação dimensional
das densidades de Euler de dimensões mais baixas. A teoria possui vários coeficientes
constantes, aparentemente sem significado físico. Entretanto, é possível reduzir, de uma
maneira natural, este conjunto de coeficientes para apenas dois (a constante de Newton
e a constante cosmológica), levando então a uma teoria restrita de Lovelock. Neste processo podemos separar as teorias definidas em dimensões ímpares das teorias definidas
em dimensões pares. Estas teorias possuem soluções de buracos negros. Na relatividade geral, os buracos negros surgem como o estado final de um colapso gravitacional.
Neste trabalho, o colapso gravitacional de uma nuvem de poeira regular é estudado
dentro da teoria restrita de Lovelock. Para dimensões ímpares, estudamos a formação
de buracos negros em três dimensões, sendo que características importantes do modelo
de Oppenheimer-Snyder
são preservadas neste caso, e analisamos alguns aspectos das
soluções em dimensões ímpares maiores que três. Para dimensões pares, mostramos que
buracos negros surgem como o resultado final de um colapso gravitacional, do mesmo
modo que o colapso de Oppenheimer-Snyder.
5
A bstract
The extension of the general relativity theory to higher dimensions, so that the field
equations for the metric remain of second arder, is dane through the Lovelock action.
This action can also be interpreted as the dimensionally continued Euler characteristics
of lower dimensions. The theory has many constants coeflicients apparently without
any physical meaning. However, it is possible, in a natural way, to reduce to two
(the cosmological and Newton's constant) these several arbitrary coeflicients, yielding
a restricted Lovelock gravity. In this process one separates theories in even dimensions
from theories in odd dimensions. These theories have static black hole solutions. in
general relativity, black holes appears as the final state of gravitational collapse. In this
work, gravitational collapse of a regular dust fluid in the restricted Lovelock gravity
is studied. For odd dimensions, we studied black hole formation in three dimensions.
Important characteristics of the Oppenheimer-Snyder
collapse are preserved, and we
also analize some aspects of the solutions in odd dimensions greater than three. For
even dimensions, we show that black holes emerge as a final state of gravitational
collapse, in the same manner of Oppenheimer-Snyder model.
7
Capítulo
1
Introd ução
Desde a formulação final da relatividade geral em 1916, um dos principais problemas da
física teórica tem sido o da unificação em um único quadro teórico de todas as interações
conhecidas na natureza. À medida que novas forças estavam sendo descobertas, foi-se
tornando evidente que os métodos de quantização empregados em outras teorias de
campo não levavam a resultados coerentes quando empregados para a gravitação. Entre
estes estavam problemas conceituais, tais como a definição precisa de como quantizar
o espaço-tempo e problemas de natureza técnica, como uma constante de acoplamento
dimensional na relatividade geral, o que leva a uma teoria não-renormalizável.
Estes
problemas persistem até hoje, e mesmo a teoria eletrofraca não estando rigorosamente
unificada com a teoria das interações fortes, muitos esforços tem sido gastos na solução
do problema final: uma teoria quântica consistente da gravitação.
O conceito de unificação é uma consequência natural da evolução das leis da física.
Ao longa da história, as interações encontra<;las na natureza foram gradativamente sendo
incoporadas em descrições cada vez mais abrangentes e completas da natureza. Assim,
em 1687 Newton unificou as observações de Galileu a respeito das quedas dos corpos e
as leis do movimento planetário de Kepler em uma única física, a teoria gravitacional
Newtoniana. As duas descrições anteriores não pareciam em princípio ter relação direta
entre si. Contudo Newton foi capaz de unificá-Ias em uma única e extraordinária síntese
teórica.
A segunda unificação ocorreu em 1864, quando James Maxwell elaborou um.conjunto de equações nas quais estavam todos os conhecimentos adquiridos em eletricidade e em magnetismo, desde os gregos antigos até às excepcionais descobertas de
Cavendish, Coulomb e Faraday. Até as primeiras décadas do século, a gravitação e a
eletrodinâmica eram as duas únicas teorias de campo conhecidas na física. Contudo,
os avanços na pesquisa de altas energias revelaram a existência de duas novas forças,
as forças nucleares fraca e forte. Com estas quatro interações era possível descrever
qualquer observação experimental em uma escala de 40 ordens de grandeza, dentro de
uma precisão admirável. Tendo este cenário, é perfeitamente natural considerar estas
quatro interações como verdadeiramente fundamentais.
Assim a próxima pergunta é:
todas estas interações podem ser unificadas a partir de um único quadro teórico? A
resposta afirmativa poderia então levar a uma teoria final da natureza. Uma teoria que
responderia à perguntas sobre a própia criação do universo. Toda esta procura pode
9
10
ser resumida pelo seguinte diagrama [1]
Eletricidade
.
I
Magnetismo
.
U(I)
SU(2) X U(I)
I
Força Fraca
.
SU(5), 0(10) ?
Força Forte
.
supercordas ?
Gravit.ação
.
Note que quase todas as interações são equivalentes a teorias de gauge baseadas em
grupos de Lie. A partir dos trabalhos de Noether e da teoria de Yang-Mills, o conceito
de simetria desempenha um papel fundamental na física. Por causa disto, é razoável
esperar que também a gravitação se enquadre em uma unificação baseada em teorias de
gauge, como as demais forças. O Modelo Padrão de Glashow-Salam- Weinberg e outros
[2] prevê que a matéria seja composta de quarks e léptons interagindo por um campo de
Yang-Mills, obedecendo à simetria SU(3) @ SU(2) @ U(I). Se uma teoria geométrica
como a gravitação deve ser unificada com uma teoria como o Modelo Padrão, precisamo saber como derivar as partículas e suas simetrias a partir de meios geométricos.
Se tivermos N quarks dentro de um multipleto, a sua simetria será a SU(N). Agora,
se extendermos uma teoria como Kaluza-Kle"in para N dimensões, teremos liberdade
para impor uma simetria neste espaço-tempo multidimensional, e obteremos não apenas a relatividade geral mas também a teoria de Yang-Mills! A simetria observada
das partículas elementares poderia então ser entendida como suas "vibrações" em um
espaço-tempo em N dimensões. O ponto chave é que conseguimos um quadro teórico
no qual a relatividade geral e o Modelo Padrão são unificados, e uma explicação para a
simetria intrínseca das partículas elementares se extendermos o espaço-tempo para além
de 4 dimensões. O corolário é: todas as teorias que unificam todas as interações presentes na natureza foram ou são formuladas em 1) > 4 dimensões. É como se as quatro
dimensões usuais não fossem suficientes para acomodar todas as interações conhecidas.
A primeira tentativa de unificação das forças conhecidas na física foi feita por
Theodr Kaluza [3] em 1916, que procurou unificar as duas interações conhecidas na
época, a gravitação e o eletromagnetismo
a partir de um espaço-tempo de cinco dimensões. Nesta teoria a eletrodinâmica está definida na quinta dimensão, enquanto
que a relatividade geral ocupava as quatro usuais. A maneira como esta decomposição
foi feita é explicitada pelo seguinte elemento de linha:
dS
A2
onde todas as quantidades
A:;
= g{.tí)dx,... dx
A
com um circunflexo
Aí)
A
,
(1.1.1)
são definidas em cinco dimensões:
11
i/l = (XJJ.,y),
onde y é a 5fkdimensão. O tensor métrico é definido por
9itv=
900
901
902
903
Ao
910
911
912
913
AI
920
921
932
943
A2
930
931
932
933
A3
Ao
AI
A2
A3
4>
(1.1.2)
onde 9, A e 4>são campos de spin 2, 1, e O, respectivamente, que não dependem de
y. Note que a quinta dimensão surge como uma necessidade para acomodar uma nova
interação fundamental.
Levando (1.1.1) e (1.1.2) nas equações de Einstein em 5 dimensões Ritv = O surge
o milagre de Kaluza: corretamente recuperamos as equações de Einstein para 9JJ.v(X),
as equações de Maxwell para AJJ.(x) e a equação de Klein-Gordon para 4>(x). Uma vez
dada a dimensão extra, as equações de Maxwell surgem como uma consequência da
relatividade geral.
N a época, a introdução desta dimensão extra causou um choque na comunidade
científica. O modo surpreendente pelo qual o problema foi abordado (por meio de uma
dimensão espacial inacessível ao laboratório) levou muitos físicos a descartar a teoria,
que sendo essencialmente clássica, não incorporava a recém criada mecânica quântica.
Além disso não havia uma dependência dos campos 9, A e 4>na dimensão y. De fato,
no trabalho original de Kaluza não está bem claro se a dimensão extra é de fato uma
dimensão real ou apenas uma abstração matemática. Para responder a estas perguntas
e tentar tornar a idéia de Kaluza compatível com a teoria quântica, em 1926 Oskar Klein
[4] reformulou a teoria original, que posteriormente passou a ser chamada genericamente
de teoria de Kaluza- Klein.
Kaluza-Klein [5] foi umas das primeiras teorias a usar o conceito de um espaçotempo multidimensional como um cenário de unificação. A quinta dimensão não era
observável porque estava compactificada na escala de Planck, inacessível dentro da tecnologia disponível para os físicos experimentais. Klein conjecturou que esta dimensão
teria uma topologia circular, levando a um espaço-tempo cilíndrico R4 x SI. Uma
vez que este círculo é extremamente pequeno, a dependência dos campos fundamentais
sobre a dimensão extra seria desprezível. Contudo, uma medida indireta da existência
dessa dimensão poderia ser feita através da detecção de partículas que "oscilariam"
ao redor da quinta dimensão. A massa destas partículas corresponderia aos comprimentos de onda destas vibrações. Ainda que existisse uma partícula com massa zero,
as partículas massivas se caracterizavam por possuirem uma massa muito grande: a
primeira partícula massiva possuia 1016 vezes mais massa que o próton! Não existe
qualquer esperança de detectar uma partícula desta massa em qualquer acelerador do
presente. De fato, nem mesmo a partícula sem massa foi observada. Isto e mais a
evidência de que existiam outras interações além da gravidade e do eletromagnetismo
- que não tinham espaço no programa original de Kaluza-Klein - determinaram o esquecimento da teoria nos 60 anos seguintes.
O programa de unificação da física continuou evoluindo entrelaçado com os
avanços feitos na física de altas energias. A consolidação da mecânica quântica e o surgimento de um grande número de partículas elementares desviaram a atenção dos físicos
para a unificação das interações de curto alcance mais o eletromagnetismo, levando ao
surgimento da teoria de campos de gauge não-abelianos de Yang-Mills [6] e mais tarde
12
ao Modelo Padrão. As teorias de grande unificação (TGU, ou em inglês, GUT) surgiram como uma tentativa de unificar a teoria eletrofraca e a cromodinâmica quântica em
uma única teoria de gauge não-abeliana. Embora o quadro teórico fosse bastante atrativo, elas não poderiam ser consideradas como uma teoria final por que não incluiam a
gravidade.
Diante deste cenário, os interesses voltaram para a tentativa de construção de uma
teoria final da natureza. As primeiras idéias foram a de uma teoria que incorporasse as
GUTs e alguma espécie de Kaluza-Klein não em 5, mas em 'D dimensões. A teoria original de Kaluza-Klein necessitava de 5 dimensões porque incluia apenas uma interação,
o eletromagnetismo,
intermediada por um bóson vetorial (o fóton). Contudo a força
nuclear fraca precisa de três bósons vetorias, a força nuclear forte mais oito glúons, e o
esquema GUT necessita de 10 a 500 bósons vetoriais para as suas interações! Ainda que
não haja uma relação entre o número de bósons vetoriais e a dimensão do espaço-tempo,
é correto supor que a teoria de Kaluza-Klein deveria ser formulada em um número maior
de dimensões, sendo que o número exato dependeria da escolha particular de uma GUT.
Os problemas começaram a surgir a partir daí. Afinal, qual seria a GUT correta?
As dimensões extras poderiam ser fisicamente reais e mesmo assim não observáveis,
porque estariam compactificadas em escalas inacessíveis. Contudo o fato de que não
havia um consenso para uma questão fundamental como o valor correto da dimensão
do espaço-tempo era bastante inoportuno. Além disso, os férmions não poderiam ser
derivados a partir de uma teoria bosônica como a Kaluza-Klein em 'D dimensões. O
único modo destas partículas entrarem na teoria seria impô-Ias na mão. Não havia
nenhum procedimento formal para isto, e o número de férmions que poderiam entrar era
completamente arbitrário. A solução deste dilema foi encontrada em uma nova forma
de simetria que recentemente havia sido descoberta, chamada de supersimetria.
As
teorias supersimétricas são invariantes por trocas de bósons e de férmions. A extensão
deste princípio para a gravidade criou uma teoria chamada de supergravidade [7], no
qual o problema do número arbitrário de férmions foi resolvido através do conceito de
partículas chamadas de superparceiros. Cada bóson presente na gravitação e nas teorias
GUT possuem um superparceiro fermiônico. Por exemplo, o bóson gráviton possue
um superparceiro fermiônico chamado de gravitino. Então o número de férmions está
vinculado ao número definido de bósons presentes na teoria.
A teoria mais simples da supergravidade prevê a existência de apenas dois campos,
o gráviton, de spin 2, responsável pela interação usual de longo alcance da gravitação,
e o seu superparceiro gravitino, responsável por uma nova interação de curto alcance.
Ou seja, a supergravidade prevê correções à relatividade geral em um nível quântico.
A maneira mais simples de incluir matéria é escrever a teoria em 'D = 11 dimensões. Edward Witten demonstrou que para além desse número, haveria inconsistências matemáticas na teoria, relacionadas com a superparceria de partículas. Ainda
que em 'D < 11 existam diferentes versões da supergravidade, somente em 'D = 11 a
teoria é única.
A supergravidade foi a primeira tentativa realista de unificar todas as leis da física
a partir de uma teoria inteiramente geométrica. Isto porque, como há invariância na
troca de bósons e de férmions, todas estas partículas são na verdade uma manifestação
de uma mesma força, chamada de superforça. A matéria não existe mais como uma entidade única e isolada. Está agora intrinsecamente associada com a geometria, formando
uma "supergeometria".
13
Contudo, não havia nenhuma evidência experimental da existência da superparceria de partículas.
Até hoje não foi encontrado o gravitino (e nem o própio gráviton
diretamente), e o parceiro de spin O do elétron, por exemplo. Ainda que os defensores
da supergravidade justificassem que somente em energias comparáveis com as do momento da criação todas as partículas estariam acompanhadas de seus superparceiros,
havia outros problemas. A teoria não podia ser quantizada corretamente.
Mais tarde
ficou claro que ela não poderia ser renormalizável, e o máximo grupo de simetria que a
supergravidade poderia incluir era o 0(8), insuficiente para acomodar o Modelo Padrão.
A medida que o interesse na supergravidade começou a decair, a teoria de supercordas [8] começou a tomar forma. A essência da teoria é que ela pode explicar a
natureza tanto da matéria quanto do espaçó-tempo. Especula-se que nesta teoria todas
as partículas, os quarks, os léptons e bósons do Modelo Padrão surjam como estados de
excitação de uma entidade verdadeiramente fundamental: a supercorda. Se existirem,
as supercordas serão os menores objetos na natureza. Seu tamanho seria de 10-33 cm,
residindo na física da escala de Planck.
Uma vez que há um número infinito de excitações que podem ser atribuídos às
supercordas, existe um número infinito de formas de matéria que podem ser obtidos a
partir destas excitações. Isto explicaria a diversidade de partículas na natureza. Devido a condições de auto-consistência, as supercordas só podem existir em determinados
espaço-tempos, ao contrário de partículas pontuais, que podem existir em um espaçotempo arbitrário.
As condições de auto-consistência determinan que o espaço-tempo
pode ter somente 10 ou 26 dimensões. Definida em qualquer uma destas dimensões,
a teoria de supercordas pode acomodar todas as interações fundamentais. Esta característica notável mantém a esperança de que pode existir ao menos uma explicação
para a dimensionalidade do espaço-tempo: se a teoria de supercordas se tornar a teoria
final da natureza, então não haveria outra alternativa da criação senão escolher 1) = 10
ou 26 dimensões. A questão parece ser de que a atitude correta a se tomar não seria
questionar o porque de o nosso espaço-tempo ser 1)-dimensional, mas qual seria a teoria
de supercordas correta para o nosso mundo.
Contudo, grande parte do interesse despertado por esta teoria é que, sem assumir
em nenhum momento as equações de Einstein, a relatividade geral surge naturalmente
a partir de vínculos que as supercordas impõem ao espaço-tempo. Isto é espantoso. A
relatividade geral não é mais uma teoria fundamental. Ela é inteiramente derivada a
partir da teoria de supercordas.
Atualmente, a forma mais aceita da teoria de supercordas é a sua forma heterótica
[9]. Ela consiste de uma corda fechada que pode vibrar tanto no sentido horário quanto
no anti-horário.
As vibrações horárias são definidas em um espaço-tempo de 10 dimensões, enquanto que as vibrações anti-horárias são definidas em 26 dimensões, 16 das
quais estão compactificadas. Embora estes dois tipos existam em dimensões diferentes,
ambas são combinadas
para produzir uma única supercorda
em 1) = 10 dimensões.
As 16 dimensões compactificadas produzem uma simetria dada por Es Q9 Es (ou
50(32)), que é grande o suficiente para todas as simetrias do Modelo Padrão, da relatividade geral e da mecânica quântica. Com isso, pela primeira vez uma teoria puramente
geométrica fornece uma explicação simples para a simetria encontrada na física de altas
energias: todas estas simetrias são remanescentes de simetrias encontradas em um
espaço-tempo
de 1)
> 4 dimensões.
Além dessa extensa simetria, a teoria de supercordas é a única teoria geométrica a
fornecer uma teoria finita da gravitação quântica. Em 1984 Green e Schwarz provaram
14
que esta teoria é a única teoria auto-consistente da gravitação quântica.
Em 1985
Edward Witten mostrou que, a partir da chamada teoria de comologia é possível derivar
uma teoria de campos de supercordas em um forma inteiramente relativística.
A teoria de supercordas é atualmente a mais poderosa teoria física já proposta.
Apesar de seus sucessos teóricos, ainda existem problemas fundamentais a serem resolvidos. Os mais óbvios são os problemas de natureza experimental: ainda não existe
evidência de supersimetria ou de um espaço-tempo de 10 dimensões. Além disso, ainda
não foi possível estabelecer uma teoria não-pertubativa
para as supercordas.
Isto é
fundamental, pois o tratamento pertubativo usual não consegue estabelecer soluções
únicas para a teoria. Sem isto, não será possível, por exemplo, determinar a massa do
próton a partir de primeiros princípios. Ainda faltam técnicas matemáticas para isto,
embora existam trabalhos nesta direção.
Se todo este cenário for correto, então é perfeitamente natural procurar por uma
teoria análoga à relatividade geral que descreva a dinâmica neste espaço-tempo em
D > 4 dimensões.
A relatividade foi formulada em um espaço-tempo com quatro
dimensões. Contudo, como vimos, existem sugestões teóricas de que vivemos em um
mundo com mais dimensões. As teorias de Kaluza-Klein, através de dimensões extras
compactificadas, tentam unificar o campo gravitacional com os outros campos de gauge
conhecidos. A teoria de cordas, que agrupa a gravidade e outras interações em um
cenário unificado, é definida, em sua forma heterótica. em dez dimensões. Eliminandose todos os outros campos, o limite de baixas energias da teoria de cordas fornece a
ação de Einstein-Hilbert
adicionada com termos envolvendo potências quadráticas na
curvatura. Para a versão quântica da teoria, estes termos devem ser proporcionais ao
termo de Gauss-Bonnet para que se obtenha interações"livres de fantasmas.
Por outro lado, podemos perguntar qual seria a generalização mais natural da relatividade geral para outras dimensões, mantendo os mesmos graus de liberdade. Ainda
que a relatividade geral possa ser formulada em outras dimensões, quando estivermos
em dimensões mais altas que quatro a teoria não é mais única. A generalização natural
é dada pela ação de Lovelock [10], que fornece equações de campo de segunda ordem
para
a métrica
para
qualquer
dimensão
D
>
3. Esta
teoria
também
pode
ser consi-
derada como a extensão topológica da ação de Einstein-Hilbert [12]. Nesta teoria, os
novos termos que aparecem na ação são as características de Euler dos espaços com
dimensão mais baixa do que o espaço em consideração.
A densidade de Euler deste
espaço fornece um termo topológico apenas, sem um conteúdo dinâmico. Em quatro
dimensões temos que levar em consideração duas características de Euler: a densidade
de Euler do espaço O-dimensional, que é proporcional à v=g, e a característica de Euler
do espaço 2-dimensional, proporcional à v=gR, onde 9 é o determinante da métrica e
R é o escalar de curvatura. Então a ação de Lovelock em quatro dimensões se reduz à
ação de Einstein- Hilbert
SE
=
16~G
f
d4xyCg
(-2A+
R) ,
(1.1.3)
onde A e G são as constantes cosmológica e de Newton, respectivamente.
Em seis
dimensões, devemos levar em conta a característica de quatro dimensões, i.e., o termo
de Gauss-Bonnet, para termos a ação de Lanczos, dada por
f
SL = 16~ G
cfx ycg [-2A + R + Ct2 (Ra~'Y8Ra~'Y8 - 4Ra~Ra~+ R2)]
(1.1.4)
onde Ct2 é uma nova constante.
Para cada duas novas dimensões existe uma nova
constante
Ctp. Estas constantes não tem um significado físico a priori. Elas não podem
15
ser determinadas a partir de primeiros princípios. Contudo é possível parametrizar o
conjunto {ap} em função de apenas duas constantes, G e A [11], fornecendo assim uma
gravidade restrita de Lovelock.
Soluções de buracos negros nesta teorias em dimensões mais altas aparecem com
grande freqüência. Estes objetos podem ajudar no entendimento de efeitos não pertubativos em gravitação quântica. Além disso, esses buracos negros, assim como outros
objetos extendidos tais como monopolos e vórtices, devem ter tido um papel importante
no processo de compactificação do universo primordial, segundo as teorias de unificação
de que falamos anteriormente [13]. Soluções em dimensões mais altas exigem que as
características das soluções em quatro dimensões se mantenham qualitativamente
ou
mesmo inalteradas.
Como em relatividade geral buracos negros surgem como o estado final de um
processo de colapso gravitacional (por exemplo, de estrelas), é importante saber se em
uma teoria tão geral quanto a de Lovelock esta formação também ocorre de modo similar. Este é o assunto desta tese, e mostraremos que de fato buracos negros formam-se
em colapso gravitacional na teoria de Lovelock. Um possível cenário para a formação
destes buracos negros em D dimensões seria no universo primordial, antes que as D - 4
dimensões extras fossem compactificadas. O processo exato que gera a compactificação
não é bem conhecido. No entanto estes recém criados buracos negros poderiam desempenhar um papel predominante na compactificação do espaço-tempo para as atuais
quatro dimensões.
No capítulo 2 é feita uma pequena revisão do colapso de Oppenheimer e Snyder
em 4 dimensões. No capítulo 3 é exposta a teoria de Lovelock, tal como foi formulada
originalmente [10] e na sua formulação topológica [12]. No capítulo 4 é mostrado como
ocorre a formação de buracos negros em um espaço-tempo de dimensões ímpares. Ainda
que seja quase certo que o espaço-tempo não tenha um número ímpar de dimensões,
este trabalho é uma interessante extensão dos modelos gravitacionais formulados em três
dimensões [14]. No capítulo 5 é mostrado como podem ser formados buracos negros
para dimensões pares maiores do que quatro, efetuando-se assim uma generalização
natural do trabalho original de Oppenheimer e Snyder de 1939 [15]. Deixamos para o
apêndice uma pequena revisão da literatura existente sobre a teoria de Lovelock.
Capítulo
2
Colapso gravitacional
relatividade geral
na
2.1. Introdução
As estrelas estão entre os objetos mais comuns em todo o universo. Ainda assim a
teoria da evolução estelar não consegue explicar em detalhes todos os comportamentos
apresentados pelos diferentes tipos de estrelas existentes. Sendo um objeto tão comum,
é difícil não pensar na importância que um resultado geral para todas elas possa ter.
Embora as estrelas possuam diferenças notáveis em aspectos tão diversos quanto na
composição química e na física de suas estruturas, todas elas, desde que estejam acima
de um certo limite crítico para a sua massa, terão um mesmo destino final quando
os ciclos de combustão nuclear e os limites impostos pela física de altas energias não
conseguirem sustar a sua imensa atração gravitacional.
Pela relatividade geral, estas
estrelas colapsarão para uma região do espaço-tempo chamada de buraco negro e posteriormente para uma singularidade, onde, do ponto de vista da física clássica, todas as
suas leis perdem a validade.
O primeiro cálculo relativístico de um colapso gravitacionallevando
à formação de
um buraco negro (uma singularidade cercada por um horizonte de eventos) foi realizado
em 1939 por Oppenheimer e Snyder [15]. Neste trabalho, foi considerado um colapso de
um corpo ideal, uma nuvem composta de um material sem interação interna (equação
de estado pressão=O) sujeita apenas à sua própia atração gravitacional. O resultados
mostraram que a nuvem era capaz de atravessar o seu própio raio de Schwarzschild
e formar então um buraco negro. Embora os objetos astrofísicos possuam equações
de estado muito mais complexas, vários resultados analíticos e numéricos posteriores
mostraram que de fato, para um corpo real com uma massa suficientemen~e grande, o
colapso para um buraco negro é inexorável.
Embora o modelo de Oppenheimer e Snyder prevê-se a formação de um horizonte de eventos em volta da singularidade, existem vários resultados que sugerem a
formação de singularidades sem a presença de um horizonte. Singularidades expostas no
universo são um problema para a relatividade geral clássica porque, devido à natureza
da singularidade, a teoria perde a consistência interna, sendo incapaz de prever eventos
futuros a partir de um conjunto de condições iniciais. Para resolver, pelo menos em
parte, este problema, Penrose [16] criou o conceito de censura cósmica, no qual todas
as singularidades surgi das a partir de um colapso gravitacional necessariamente estarão
17
18
inacessíveis para o resto do universo por meio de um horizonte de eventos. Este é um
dos grandes problemas ainda em aberto na gravitação, e espera-se que o advento de
uma teoria quântica consistente da gravitação responda a todas estas questões.
Neste capítulo estudaremos o colapso gravitacional de Oppenheimer e Snyder, no
qual duas regiões distintas tem de ser definidas: uma exterior à nuvem em colapso,
sem possuir qualquer espécie de matéria ou radiação, com todas as componentes do
tensor de energia-momento nulas. A outra interior à nuvem, consistindo de um fluido
homogêneo e isotrópico de um material sem interação interna. Uma vez que ambas as
geometrias não tem em princípio nenhuma relação entre si, é necessário que elas tenham
uma junção suave na sua interface de separação, para que possam descrever uma mesma
realidade física. Na primeira e segunda seções deste capítulo iremos descrever os espaçotempos exterior e interior respectivamente.
Na seção 3 vamos juntar estas geometrias
e então conseguir uma única descrição física do colapso, e finalmente, na última seção
vamos mostrar que o colapso forma realmente um buraco negro, determinando para
isso as equações de evolução de seus horizontes de eventos e aparente. Não trataremos
aqui do problema de singularidades nuas e censura cósmica, já que estamos dentro do
modelo de Oppenheimer e Snyder [17].
2.2. Solução exterior de vácuo
No espaço-tempo
exterior, temos o elemento de linha de Schwarzschild,
2M
2
ds +
= - (1 -
r+
2M
2
)
dt + +
(1 -
r+
-1
)
2
2
2
dr+ + r + dD.2,
(2.2.1)
onde t e r são as coordenadas temporal e radial, e dD.~representa o elemento de linha
de uma esfera unitária. O subscrito + indica que estamos trabalhando com a solução
exterior. Como o limite assintótico da métrica (2.2.1) é a métrica de Minkowski, a
coordenada t+ representa o tempo própio medido por um observador em repouso à uma
distância muito grande da origem. A equação (2.2.1) foi a primeira solução analítica das
equações de Einstein, e representa um espaço-tempo no qual não existe qualquer forma
de energia ou matéria. A sua importância para o colapso gravitacional vem através do
teorema de Birkoff [18]
Teorema 1 Seja a geometria de um dado espaço-tempo. Se ela for
1. esfericamente simétrica
2. solução das equações de Einstein para o vácuo
então essa geometria é dada por (2.2.1).
Ou seja, desde que a estrela mantenha a simetria esférica (e não esteja eletricamente carregada), não importando se está pulsando, colapsando ou se simplesmente está parada,
o seu espaço-tempo exterior é dado por (2.2.1). O corolário deste teorema é: toda
solução de vácuo esfericamente simétrica é independente de t. O teorema de Birkoff
é o análogo gravitacional do resultado em eletrodinâmica clássica, de que uma distribuição esfericamente simétrica de cargas e correntes não emite radiação (não existe
a componente de monopolo na radiação eletromagnética e gravitacional).
19
2.3. Solução interior
de matéria
No interior da nuvem temos um fluido perfeito, homogêneo e isotrópico. Por isto o seu
espaço-tempo é descrito por uma métrica também homogênea e isotrópica, a métrica
de Friedman- Robertson- Walker,
= -dt2
ds2
+ a2 (t )
dr2
[ 1 - k r2
+ r2 dn2
2] ,
(2.3.1)
onde t e r são coordenadas comóveis (iremos omitir o subscrito - indicando uma solução
interior). k é uma constante que pode assumir os valores k = 0,:1::1. Dentro da nuvem
teremos um fluido perfeito, cuja equação de estado é dada por
(2.3.2)
TO/(3= (p + p) UO/U(3+ P 90/(3 ,
onde p(t) é a densidade do fluido e p a sua pressão. Com (2.3.1) e (2.3.2) teremos duas
soluções para as equações de Einstein,
a ã2+ k
2 -a + a2
= -8 1rGp ,
ã2 + k
a2
-
(2.3.3)
8 1r G
3
p,
(2.3.4)
onde x = dxfdt. Diferenciando (2.3.4) com respeito à t poderemos expressar a resposta
como uma combinação linear de (2.3.3) e de (2.3.4). O resultado é equivalente à seguinte
identidade
d
3
2
da
(pa ) +3pa
= O.
(2.3.5)
Este resultado é uma consequência direta da lei de conservação implícita nas equações
de Einstein,
(2.3.6)
'V 0/ TO/(3 = O .
Como o interior da nuvem é composto por um fluido de partículas sem interação
interna, teremos a equação de estado p = O. Então integrando a lei de conservação
(2.3.5), teremos a seguinte relação
ao
P = po -;;
3
()
onde ao e po são constantes
dada por
de integração.
Para k
(2.3.7)
,
= O,a
solução de (2.3.3) e (2.3.4) é
2/3
(:J = [ ~ V
831r
Gpo (to - t)]
,
(2.3.8)
onde to é o valor de t no qual a = O. Sem perda de generalidade, podemos colocar
to = O. Levando (2.3.8) em (2.3.7) temos a evolução da densidade da nuvem em função
de t,
61rGp(t)
=
(~r
(2.3.9)
.
Note que, quando a -r O,(t = O) a concentração de massa diverge, assim como o escalar
de curvatura
"
R=6
~+2
[a
(
.2
a a2
+k
)]
,
(2.3.10)
20
e o escalar de Kretschmann
[m
=3
R"Po' Rapo'
2
+ (a'";kf]
Temos assim a formação de uma singularidade
2.4. Condições
(2.3.11)
.
no espaço-tempo.
de junção
Na interface entre os espaços-tempo
linha
exterior e interior temos o seguinte elemento de
= -dr2 + R2(r)dn~,
ds~
(2.4.1)
onde r é o tempo próprio na superfície da nuvem. Chamemos esta superfície de ~.
As condições necessárias para que esta seja uma superfície de contorno são dadas pelas
seguintes condições de junção [20]
ds: ]~
]
K.;I'
onde Kal' é a curvatura
extrínseca,
:f:
~
]~
=
ds~
=
K:I']~
(2.4.2)
(2.4.3)
definida por [21]
a2X:f:-y
:f:
ax:f:
(
:f:
-y
a
ó
x:f:
Kal' = -n-y aÇaaÇI' - n-y f(ó açO'. aÇI' '
(2.4.4)
onde x~ são as coordenadas interiores (x~) e exteriores (xt.), Ça são as coordenadas na
interface ~ e TIO'.
é o vetor unitário normal à superfície~.
Os índices ::I::indicam se as
quantidades estão sendo calculadas no espaço-tempo interior (+) ou no espaço-tempo
interior (-).
Nas coordenadas
exteriores, a equação da superfície é dada por
f (, +, t+) = ,+ - ,~ (t+) ,
onde ,~ é uma função de t+ porque nestas coordenadas
unitário normal à ~ é dado por
+na onde agora :i; =
dx/ dto A componente
+
K(J(J
Usando a métrica
equaçoes,
(2.4.5)
1+ não é comóvel.
(-,~.+., t+, O,O) ,
(2.4.6)
Kto da curvatura
.
= t+ (,+ -
O vetor
extrínseca é dada por
2M)
(2.4.7)
(2.4.1) e (2.2.1) junto com a condição (2.4.2) teremos as seguintes
-1
2M'2
( 1-
,+
,+ = R.
)
2M.2
t+-
( 1-
,+
)
,+=1
(2.4.8)
(2.4.9)
21
Usando (2.4.9) podemos reescrever (2.4.8) para
dt+ - V(1- 2M/ R) + R2
dr (l-2M/R)
Nas coordenadas
(2.4.10)
interiores, a equação da superfície da nuvem é dada por
f (r, t) = r - rE
onde rE não possui dependência
condição de junção (2.4.2) temos
temporal
t
R(r)
(2.4.11)
por que é uma superfície comóvel.
Pela
=
r
(2.4.12)
=
a(r) rE.
(2.4.13)
o vetor unitário normal à superfície ~ é
-
a(r )
na =
e as componentes
K;;{3da curvatura
( O,V 1 -
(2.4.14)
k rE
2 ' O,O)
extrínseca são dadas por,
K;T = K;o = O
(2.4.15)
Kio = a(r) r_VI - kr~
(2.4.16)
Usando (2.3.1) em (2.4.8) temos, para Kto,
Kto = RV(1-
(2.4.17)
2M/R) + R2
Pela condição (2.4.3) teremos,
,,+
1100
Multiplicando
-
= Koo
{:}
(1 -
a equação de Friedmann
2M
R
)+ R
2
= -k
= 1-
k
2
(rE )
.
(2.4.18)
(2.3.4) por (r -IE)2 ficaremos com
.
R2
-
.2
871"
(rI;) + 3
R~
G Po li '
(2.4.19)
onde Ro = ao rE é o raio próprio inicial da nuvem. Comparando esta última equação
com a eq. (2.4.18), tiramos que a massa da nuvem de poeira, para qualquer valor de k,
é dada por
471"
3
M = 3GpoRo.
(2.4.20)
2.5. Formação de buracos negros
Para estudar a formação de buracos negros, usaremos a solução para k
= O (2.3.8).
Neste caso, a métrica interior é dada por
ds2 = -dt2
+ a2(t)
(dr2 + r2 dn~) ,
(2.5.1)
22
e a métrica exterior continua sendo dada por (2.2.1). Como vimos na seção anterior,
existe uma junção contínua entre o espaço-tempo interior e exterior.
De um modo em geral, os buracos negros são caracterizados pela existência de
um horizonte de eventos e um horizonte aparente. Este último é definido como uma
das fronteiras da chamada região de superfícies aprisionadas, definida pelo fato de que
ambos os raios emergente e incidente de um evento convergem para a singularidade.
Para a determinação deste contorno, procura-se por 2-esferas Y = a(t)r = consto cujos
raios de luz emergentes possuam expansão nula, i.e. [22],
\7y.\7Y=O,
(2.5.2)
a qual, dada a métrica (2.5.1) se reduz à
da(t)
dt
(
)
2
=~.
r2
(2.5.3)
o valor do fator de escala a(t) é dado por (2.3.8), e assim a equação da evolução do
horizonte aparente em coordenadas comóveis é dada por
4
t AH
"Normalizando"
47r
3
(
= -:3 3
3
)
(2.5.4)
G poao r .
a equação acima em termos de rE, podemos escrevê-la como
4
t AH = - - M
3
r
3
(- )
,
rE
(2.5.5)
onde M é a massa da nuvem.
A equação do horizonte de eventos é obtida partindo
geodésicas nulas. Impondo ds2 = O na métric.a (2.5.1),
da equação que descreve as
dt
dr =a(t).
(2.5.6)
Inserindo o valor do fator de escala e então integrando
3
r
1
a equação, chegaremos a
(-rE - 3)
tH = -- M
6
,
(2.5.7)
que é a equação de evolução do horizonte de eventos. Temos assim uma descrição da
singularidade (seção 3) e dos horizontes. Podemos concluir que realmente estes objetos
se formaram no contexto do modelo. O diagrama de Penrose do colapso é mostrado na
figura 1.
Um fóton emitido da superfície E na direção radial irá obedecer à seguinte equação
I
t+ = t+ + 1
r+
rEa(t)
(
2M
1- r+
-1
)
dr+ .
A conseqüência mais notável desta equação é que, quando o raio r +
se aproximar do seu raio gravitacional, i.e.,
r+ = a(t)rE --+2M,
(2.5.8)
= R(t)
da nuvem
(2.5.9)
ambos t+ e t~ tenderão ao infinito. A conclusão é que, do ponto de vista de um
observador externo, o colapso da nuvem para o seu raio gravitacional parece levar um
23
tempo infinito. Contudo, um observador viajando junto com a superfície ~ perceberá
as coisas de uma maneira completamente diferente. Multiplicando ambos os lados da
equação (2.3.8) por TI:, teremos
1
t=67rGpo
Nada de especial ocorre quando R
= 2M,
R
3/2
(Ro )
(2.5.10)
.
e o observador segue irreversivelmente
em
direção à singularidade.
À medida em que a nuvem colapsa, a sua luminosidade medida por observadores
externos tenderá a zero, devido à contração dos cones de luz e ao desvio para o vermelho.
A luminosidade decairá como
(2.5.11)
= Loexp[- 3~ (2~ )] ,
em t = O.
L
onde Lo é a luminosidade
singularidade
infmito
centro
da
nuvem
superficie
da
nuvem
Figura 1: diagrama de Penrose para o colapso de Oppenheimer-Snyder. Aqui, ha e he
são os horizontes aparente e de eventos, respectivamente.
Capítulo
3
A Teoria de Lovelock
3.1. Introdução
Pode-se perguntar qual é a generalização mais natural da teoria da gravitação de Einstein para outras dimensões do espaço-tempo.
Ainda que a Teoria da Relatividade
Geral possa ser formulada em outras dimensões, quando se está em dimensões maiores
do que quatro, a teoria de Einstein não é mais única. A generalização natural é dada
pela ação de Lovelock [10], que mantém as equações de movimento em segunda ordem
para a métrica. Esta teoria também pode ser considerada como a extensão topológica
da ação de Einstein-Hilbert [31]. Nesta teoria novos termos aparecem pela inclusão na
ação, de densidades de Euler correspondentes a dimensões mais baixas do que a considerada. A densidade de Euler do espaço em consideração produz um termo topológico
apenas. Uma vez que termos constantes na ação não modificam as equações do movimento, este termo extra não possui significado dinâmico. Por exemplo, em quatro
dimensões é necessário levar em consideração duas densidades de Euler: a densidade do
espaço-tempo O-dimensional, que é proporcional a ..;=g e a densidade do espaço-tempo
2-dimensional, proporcional a ..;=g R, onde 9 é o determinante da métrica e R é o
escalar de curvatura. Assim em quatro dimensões a teoria de Lovelock se reduz à teoria
de Einstein, cuja ação é dada por
SE=16~Gf
d4x..j=g(-2A+R),
(3.1.1)
onde A e G são as constantes cosmológica e a de Newton, respectivamente.
Uma
construção similar se aplica às demais dimensões. Em geral, para 1) ~ 5 os termos que
aparecerão na ação serão não lineares na curvatura, envolvendo termos como R2, RabRab,
RabcdRabcdetc. e além disso, para cada termo novo, novas constantes indetermindas ap
irão surgir. Para determinar um conjunto de constantes que possuam significado físico,
foi proposto um método [11] que parametriza o conjunto completo das constantes ap em
função de apenas duas constantes: a constante cosmológica e a constante de Newton,
levando então a uma teoria restrita de Lovelock. Por este método, é possível separar
de uma maneira natural teorias gravitacionais em dimensões Ímpares e em dimensões
pares.
Na primeira seção iremos desenvolver o trabalho feito por Lovelock [10], onde
é mostrado a ação em 1) dimensões que generaliza a ação de Einstein-Hilbert.
Na
seção seguinte iremos mostrar a equivalência entre o trabalho de Lovelock e a chamada
25
26
continuação dimensional,
é baseada em [31],
3.2. Generalização
além de definirmos a densidade de Euler. Esta última seção
do tensor de Einstein
Buscando uma maneira de encontrar
mostrassem as mesmas características
isto é, que fossem
1. simétricos, Xab
e equações
de movimento
todos os tensores Xab de segunda ordem que
do tensor de Einstein Gab = Rab - (1/2)gabR,
= Xba
2. funcionais apenas do tensor métrico gab e de suas duas primeiras derivadas, Xab =
Xab (gcd, agcd, a2gcd)
3. tais que sua divergência covariante seja nula, V"bxab = O ,
Lovelock descobriu que o número de tensores independentes que obedecem às exigências
acima depende de uma maneira crítica da dimensão V do espaço-tempo. Para V = 4
as únicas possibilidades para Xab são o tensor métrico e o tensor de Einstein. Em geral,
para V # 4 outras expressões surgem, envolvendo termos não lineares na curvatura,
tais como R2, RabRab, RabcdRabcdetc. Note que excepcionalmente usaremos nesta seção
símbolos latinos ao invés de gregos para denotar índices da variedade espaço-temporal.
Se definirmos um inteiro positivo m por
m - {
!V
se V for inteiro par
(V + 1) se V for inteiro ímpar,
~
(3.2.1)
então o tensor mais geral que satisfaz as exig~ncias acima é dado por
m-l
p
p=l
t=l
ab b\...b4p
X ab = '"'
TI R b4t-\b4t-3b4t-2b4t
L..J cp' ()
+ a 9 ab ,
(3.2.2)
onde Cpe a são constantes, Rabcdé o tensor de Riemann, gabé o tensor métrico e ()ij,b\,..b4P,
(com p = 1, . . . , m - 1) é um tensor que deve obedecer às seguintes exigências:
a. deve ser funcional apenas do tensor métrico:
()ij,bl,..b4p
= ()ij.bi,..b4p(gab)
,
b. deve ser simétrico nos índices ij e em b2t-lb2t para t
= 1,2,. . ., 2p ,
c. deve satisfazer uma identidade cíclica envolvendo qualquer um dos quatro índices
(i,j) (b2t-l, b2t) para t = 1,2,..., 2p. Por exemplo:
()ij.bi b2..,b4p
+ ()b\ i,jb2 ...b4p +
()jb\ ,ib2...b4p
=O
.
As condições b e c implicam que ()ij,b\b2...b4P
deve também ser simétrico na troca do par
(i,j) com o par (i2t-l, i2t) para todos os t = 1,2,..., 2p. Se pudermos achar um tensor
não nulo que satisfaça as condições acima, então teremos uma fórmula explícita para
Xab. Pode-se demonstar [10], que para qualquer número inteiro p, 1 ::; p ::; m - 1, o
seguinte tensor
'!jJij,a\,..a4p --
( [kÚ..'j2p]9
Ó[ih\"'h2P]
kj
+
Ó[i~\"'~2P]
[kJ\ "'J2p]
g
ki
1)a\a2a3a4 ...
h\h2k\k2
)g
Úk\
g hk2
... gj2pk2P
1)a4p-3a4p-2a4p-\a4p
h2p_\h2pk2p-\k2p'
.
(3.2.3)
27
onde
{"al
Ó[al...aN]
-
[b1...bN] =
d
'.
et
:
(
D~~cd =
~Jt1.l -
{"al
. ..
Ub1
UbN
'
"
:
{"aN
{"aN
Ub1
. ..
UbN
)
~ (Ó~ Óbt + Óali?
) (Óe:Ód + ÓeÓ~)
t
2
~
~
J
1.1
1.1 J
satisfaz todas as exigências a, b e c. Levando (3.2,3) em (3.2.2) teremos
m-l
Xab -- L.J
'" a P Ó[ahl...h2P]
R hljÚ2
... R h2p-l
j2p-Ú2p+
a Óa
[bÚ"'hp]
h2
h2p
b ,
(3.2.4)
p=l
que é a forma explícita do tensor de Lovelock. Podemos ver que as duas primeiras
exigências feitas no início da seção são respeitadas: o tensor (3.2.4) é simétrico em a, b
e é um funcional apenas do tensor métrico e de suas duas primeiras derivadas (através
do tensor de Riemann). Precisamos agora mostrar que sua divergência é zero, o que
pode ser feito através do seguinte teorema [10]
Teorema
2 O único tensor simétrico Xab = Xab (ged, 8ged, 82gcd) para o qual
vexae
= O
(3.2.5)
é o tensor (3.2.4).
Demonstração:
tomando a divergência covariante do tensor (3.2.4),
m-l
V cAeb =
-
-
'"
jÚ2 ... R hp-Ú2P
aP Ó[C~l...h2P]
V e {R h1h2
+ a V eÓe
[bJl"'J2p]
h2p-l h2p }
b
'"
a
L.J
p=l
m-l
L.J
p=l
P
P
Ó[ehl...h2P]V
[bjl "'hp]
e
{R jÚ2 } R
h1 h2
J3J4
h3 h4
".
R h2p-l
hp-Ú2p
h2p
,
(3.2.6)
uma vez que existemp componentes do tensor de Riemann em (3.2.4) e Vc(aÓab) = O.
Isolando os termos
Ó[ahlh2,..h2P] V
[bjÚ2"'hp]
e
Úh
{R h1h2
}'
podemos ver que temos embutido uma identidade de Bianchi, e que portanto
identicamente nula, o que prova o teorema.
Para V = 4, teremos de (3.2.4)
Xab
a ót - 4 bGí:,
onde Gab = Rab - (1/2) gabR é o tensor de Einstein.
isto podemos concluir o seguinte
=
(3.2.6) é
O
= a óa
+ bÓ[a~1~2]
R)~h
b
[bJlJ2] ~l~2
-
Corolário : Para V
(3.2.7)
(3.2.8)
(Rab é o tensor de Ricci). Com
4 o único tensor simétrico Xab = Xab (gcd,8ged, 82ged) para o
qual V exac = Oé dado por
Xab = a Gab + bgab'
(3.2,9)
o
28
Conseqüentemente,
para 1) = 4 as condições (1), (2) e (3) implicam que Xab
seja necessariamente linear nas segunda derivadas de gabo Portanto não é necessário
impor esta condição para a derivação do tensor de Einstein. Contudo, em um trabalho
posterior, Lovelock foi capaz de demonstrar que mesmo a condição de simetria (1) é
desnecessária [24]. Portanto, as únicas exigências necessárias para a construção do
tensor de Einstein são (2) e (3).
Uma vez dado o tensor
Lagrange associada é Eab =
[23]. A densidade Lagrangeana
Teorema
de Lovelock (3.2.4), a densidade tensorial de Euleronde 9 é o determinante do tensor métrico
correspondente vem então do seguinte teorema :
v=g Xab,
3 Se Xab é dado por (3.2.4),
então sua densidade Lagrangeana correspon-
dente é dada por
m-l
i:-=
c: ""' 2 a P 8[al...a2P-2
cjRblb2
. .. Rb2p-3b2p-2
+ 2 a Y-Y
c: g
Y-Y g L...J
[b1...b2p-2bj
ala2
a2p-3a2p-2
(3.2.10)
P=O
Demonstração:
Dada a densidade Lagrangeana
i:- = i:- (gab,agab,a2gab)
as equações de movimento
Eij -
de Euler- Lagrange são forneci das pela seguinte quantidade,
ai:- -
- agij
ai:-
~
+
axh [ a (agij) ]
As equações (3.2.11) e (3.2.12) são equivalentes
Eij
(3.2.11)
,
a2
ai:-
(3.2.12)
axhaxk [ a (ahkgij)] ,
às seguintes equações [25]
(3.2.13)
= \7hk(ahkAij) + ~gij i:-- }Rt lh (ailAhk)
onde
ahk Aij
=
ai:-
(3.2.14)
- a (ahkgij )
Note que usando (3.2.13) precisaremos apenas do valor de ahkAij, ao passo que, usando
(3.2.12) precisariamos não apenas deste termo mas também de ai:-jagab e ai:-ja(acgab)'
Usando (3.2.10) em (3.2.14)
ahk Aij
=
a
a(a
m-l
.. )
hkgtJ
-
~
Y -g
{
c: g
Y-Y
""'
L...J
p=O
2 aP 8[al...a2P-2
cg
[b1...b2p-2bjcjRb1b2
ala2 . .. Rb2P-3b2P-2
a2p-3a2p-2 + 2 a Y-Y
m-l
""' 2 a 8[al'..a2P-2cj
L...J
P [b1...b2p-2 bj
p=O
uma vez que a e ap são constantes
e
a Rblb2.
a(ahkgtJ.. ) {
ala2
v=g não
.. Rb2P-3b2p-2
a2p-3a2p-2'
}
}
(3.2.15)
depende das derivadas de gaboNote que,
pela contagem dos índices de Ra'bd,a derivada parcial está atuando em p componentes
do tensor de Riemann. Então
m-l
ahkAij = c: g ""' 2 p a
y-Y
L...J
p=O
8[al...a2P-2cj
p
[bl...b2p-2bj
a
a(a
hkgtJ
.. )
{R
blb2
ala2
}R
b3b4
a3a4
...
Rb2P-3b2P-2
a2p-3a2p-2
.
(3.2.16)
29
Usando agora a identidade
a(aa
)
hkgij
R a1a2
b1b2 -- 9b1u 9b2t Dhkij
a1a2ut
(3.2.17)
onde,
(3.2.18)
D'iÍtC:= ~ ((j'i(j~+ (j:(jf) ((jj (j~+ (j~(j1) ,
simplificamos (3.2.16) para
m-l
ahk Aij
c]R b3b4 ...
= V~-yg '"~ 2 P a P (j[a1...a2P-2
[b1...b2p-2 b]
a3a4
p=O
Rb2P-3b2P-2 gj2t g 11u
a2p-3a2p-2
Dhhj
'1'2ut
.
(3.2.19)
tomando agora a sua derivada covariante,
m-l
=
\7 h (ahk Aij)
~
-g '"
~
V
(j[a1...a2P-2c] \7
P [b1...b2p-2 b]
h
p=O
m-l
~
-
2 Pa
V -g
'"
~
p=O
{R a3a4
b3b4
...
Rb2P-3b2P-2
a2p-3a2p-2
}gj2t g11
\7
2 p (p - 1) ap (j[a1...a2P-2c]
R b3b4 R bsb6
[b1...b2p-2
b] h { a3a4 } asa6' . .
9 i2t 9 j1 u Dhkij
i1i2ut,
u
D~~ij
'1'2ut
Rb2P-3b2P-2
a2p-3a2p-2'
(3.2.20)
podemos ver pelo somatório entre (j e V R que temos uma identidade de Bianchi, e por
ISSO
\7 h (ahk Aij)
(3.2.21 )
= O.
Se escrevermos
B~li.2 ~(j[a1'..a2P-2c] R b3b4...
J1J2 - V -g [b1...b2p-2
b] a3a4
Rb2P-3b2P-2
a2p-3a2p-2'
(3.2.22)
então simplificamos (3.2.15) para
m-l
ahk Aij
= V~-y g '"~ 2.p a P Bijrs'
g
ru
g st
D~?cd
'Jut ,
(3.2.23)
p=O
e então
m-l
Rbkda
-
(acd A ab)
~
V -g
'"
~
2 par B rsij 9 ru 9 st D abcd
R bkda
ijut
p=O
m-l
-
ye:g
L:
(3.2.24)
3p ap B;~ RJ;s ,
p=O
onde usamos a seguinte indentidade,
B ij
ru
9
rs
st
9
abcd
- 3 B ic R
nijut
R
bkda -"2
rs
ik
rs
(3.2.25)
.
Com (3.2.21) e (3.2.24) podemos reescrever (3.2.13) para
Ei
c
=
~
(ji L: - ~R
2
3
=
_(ji L: 2 c
c
1
m-l
'"
~
(aiIAhk )
kclh
2 p a Bai R rs
P
p=O
rs
a
m-l
-
~
V -y g
'" a
{
~
p=O
p
c] Rhb2
. ..
((jic éa1...a2P-2
[b1...b2p-2b]
a1a2
- 2 P (j[ia2...a2p-2 c] Rb1 b2 ...
[h ...b2p-2 b]
ca2
Rb2P-3 b2p-2
a2p-3a2p-2
Rb2P-3b2P-2 +
a2p-3a2p-2
)+a
cSi
c'
}
(3.2.26)
30
ou, simplificando
as expressões com os deltas,
m-I
E~
J
=
c::-,.
V -g
"a
L...t
{ p=O
J[i.al...a2P-2
c]Rblb2
P (jb1...b2p-2 b]
ala2
. .. Rb2P-3b2P-2 + a Ji.
a2p-3a2p-2
(3.2.27)
J'
}
ou seja, E; = v=g X;, o que demonstra o teorema e prova que a densidade Lagrangeana
associada com o tensor (3.2.4) é a equação (3.2.10).
O
O tensor (3.2.4) representa uma generalização 1)-dimensional do tensor de Einstein. De fato, se reduzirmos
(3.2.4) para 1)
Xab
= agab
= 4,
(3.2.28)
- aI Gab,
onde Gab Rab-(1/2) gabR é o tensor de Einstein. Assim podemos identificar a = -2 A
e aI = -1 e então recuperar a relatividade geral. Contudo, para 1) > 4 as demais
constantes ap não poderão ser determinadas a partir de primeiros princípios, sendo
necessário um método geral para a determinação de todas estas constantes. Para que
possamos determinar as equações de campo e então dar um sentido dinâmico à teoria
de Lovelock, é necessário incorporar o equivalente ao tensor de energia-momento,
de
modo que
Xab = o:Qab,
(3.2.29)
onde Q ab é o equivalente em 1) dimensões do tensor de energia- momento, e a constante
de acoplamento o: é arbitrária, exceto que para 1) = 4 ela deve se reduzir para o valor
usual da constante gravitacional na relatividade geral.
As equações (3.2.29) formam as equações de campo da teoria de Lovelock. Da
mesma maneira que na relatividade geral, o tensor Q ab deve ser fornecido pela variação
de uma Lagrangeana .em que descreve os campos materiais.
Incorporando esta Lagrangeana em (3.2.10), poderemos definir então a generalização 1)-dimensional da ação
de Einstein-Hilbert,
s=
f
L
=f
c::-,.
V -yg
{
~I
c]Rblb2
. .. Rb2P-3b2P-2
+ 2a
L...t 2 a P J[al...a2P-2
[b1...b2p-2 b]
ala2
a2p-3a2p-2
P=O
onde Sm é uma ação fenomenológica
3.3. Classes características
que descreve as fontes macroscópicas
}
+ sm
(3.2.30)
materiais.
e continuação dimensional
Mostraremos agora como a Lagrangeana e as equações de campo de Lovelock se enquadram também no formalismo de primeira ordem. Neste formalismo considera-se
como campos fundamentais, ao invés das componentes do tensor métrico gOl.{3,
as 1)adas ea e as conexões de spin ú.)ab.
Vamos considerar
um espaço-tempo
1)-dimensional
M.
Em cada ponto de M
existe um conjunto de 1) campos vetoriais ortonormais {e~ (x)} que definem um referenciallocal de Lorentz tangente a este ponto. Nesta seção os índices latinos denotam
cada um dos 1) vetores ea, e os índices gregos J1 as diferentes componentes de cada ea
no espaço-tempo M. Os campos vetoriais satisfazem as seguintes relações de ortonormalidade
a
b
"labeJ.Ley =
eaJ.Leby =
g J.LY
gJ.LY
nab
O"
31
onde '/}abé a métrica de Minkowski do referencial de Lorentz e g/l-Vé a métrica do espaçotempo curvo M. Podemos então definir um conjunto de l-formas ea e conexões l-forma
wab por
ea =
ea/l-dx/l-
wab =
(3.3.1)
(3.3.2)
_wba = w:bdx/l-,
onde as l-formas ea estão associadas com as translações internas e wab com as V rotações
internas do grupo de Lorentz 50 (V - 1,1) (ou seja, estamos falando do grupo inomogêneo de Lorentz ou grupo de Poincaré, onde as l-formas ea e wab são o seus campos
de gauge). A conexão wab obedece à equação de estrutura de Cartan
(3.3.3)
-Rab = dwab - w~ 1\ wcb,
onde Rab é a curvatura
2-forma, definida em termos do tensor de Riemann
meio de
R~~ por
1
(3.3.4)
Rab = -2 R~~ dx/l- 1\ dxv .
Como conseqüência
de (3.3.3), a curvatura
2-forma obedece às identidades
D 1\ Rab = O
de Bianchi
(3.3.5)
onde a derivada covariante exterior D é definida por
D 1\ Rab = dRab - w~ 1\ Rcb - w~ 1\ Rcb - w~ 1\ Rac.
(3.3.6)
Também assumiremos que a conexão seja métrica, o que significa que wab é uma função
de e~ através do requerimento de que a derivada covariante para e~ seja zero:
D 1\ ea = dea - wb 1\ eb = O,
(3.3.7)
o que por sua vez implica que a torção é nula.
Estamos interessados na construção de uma possível Lagrangeana gravitacional
em V dimensões. Iremos começar pela procura da V-forma mais geral construída com
a curvatura 2-forma Rab e as l-formas ea junto com suas derivadas,
I'
J
- R
ala2'\""\
1\
1\
R a2p-la2p'\
1\
E al ".a2p
.
(3.3.8)
Vamos supor que V ~ 2p, (p ~ O). Então Eal...a2p é uma (V - 2p) forma que possivelmente irá depender de ea e de suas derivadas, além de tensores invariantes no referencial
local de Lorentz, tais como '/}abe fal...av' Para que (3.3.8) seja invariante pelo grupo
de Lorentz , Eal...a2p deve se transformar como um tensor sobre rotações no referencial
local. Portanto as dependências de E sobre as derivadas de e devem ser através das
componentes do tensor de curvatura. Podemos então separar E como
E al...a2p -- E al...a2pa2p+l...av
ea2p+l '1\\ ...
1\ e av ,
(3.3.9)
onde Eal...a2pa2p+l"'avé um tensor invariante pelo grupo de Lorentz 50 (V - 1,1). Uma
vez que este tensor é invariante por rotações e também por translações, a sua derivada
covariante é nula, (pois ela divide-se em uma parte translacional e rotacional, sendo esta
última através do parâmetro wab). Tomando a derivada covariante de (3.3.9) teremos
então
D 1\ Eal '..a2p =
O.
(3.3.10)
32
Formando a ação a partir de (3.3.8), teremos
(3.3.11)
s= J l,
cuja variação é dada por
ós = J
1\
. ..
+
pó [Rala2]
{Rala2
R a2p-l
1\
a2p
]+
1\ Ó [Eal...a2P
...
1\ Ra3a4 1\
1\
1\ Eal...a2P} ,(3.3.12)
Ra2P-la2P
contudo
óRab =
ó (dwab - w~ 1\ wCb)
-
(3.3.13)
D (ówab) .
Com (3.3.5), (3.3.10) e (3.3.13) a variação (3.3.12) é dada por
ós=
J {Rala2
1\
...
1\ Ra2P-la2P óEal...a2p +
-p D 1\ (ÓWala2 1\ Ra3a4 ...
Ra2P-la2P 1\ Eal...a2P)}
.
(3.3.14)
o último termo da equação acima pode ser transformado em uma integral de superfície
através do teorema de Stokes [30],
[ dw = [ w,
Jp
Jap
(3.3.15)
onde P é uma região do espaço-tempo M, e 8P é o seu contorno. Isto é permitido
porque a derivada covariante no segundo membro de (3.3.14) está atuando sobre um
escalar, e neste caso pode-se trocar D pela derivada exterior ordinária d. Portanto nós
teremos
ós =
i
1\ ...1\
Rala2
No caso particular
Ra2P-la2P
óEal...a2p
em que V
+ {integral de superfície sobre 8P} . (3.3.16)
= 2p,
as l-formas
ea não aparecem
em (3.3.9).
A variação de (3.3.16) com respeito às l-formas ea é então identicamente nula. Isto
significa que neste caso S depende apenas das propiedades topológicas no interior de P.
Se P não possuir nenhum contorno, S é uma função apenas de sua topologia. S é então
uma espécie de invariante topológico, ou mais precisamente, uma classe característica.
Precisamos agora determinar a forma explícita de Eal...a2P. Existem duas possibilidades: (i) E pode ser o produto simetrizado de V /2 métricas de Minkowski e (ii)
E pode ser a densidade de Levi-Civita E. No caso (i) V deve ser um número par. É
mostrado em [31] que V tem que obedecer à relação V = 2p, em cujo caso S é um
invariante topológico conhecido por classe de Pontrjagin. Este tipo de invariante não
aparece na teoria de Lovelock e por isso não mais o mencionaremos.
No caso (ii) V
pode ser tanto par quanto ímpar. A relação (3.3.9) é dada por
E al"'a2p = fal"'a2pa2p+l...a1)
ea2p+l1\ . . . 1\ e a1),
(3.3.17)
e com isso a ação (3.3.8) é dada por
S
=
i
fal...a1)
Rala2
1\
...
1\
Ra2p-la2p
1\
ea2p+l
1\
...
1\
ea1)
.
(3.3.18)
33
Quando V = 2p o integrando de (3.3.18) é independente
de ea e por isso se torna um
invariante topológico, chamado de classe de Euler, ou característica de Euler. Podemos
agora supor que V > 2p em (3.3.18). Neste caso os Índices varrem um intervalo maior
e as l-formas ea aparecem na ação. Para V > 2p a equação (3.3.18) deixa de ser um invariante topológico e passa a ser chamado de continuação dimensional da característica
de Euler V = 2p. Portanto teremos o seguinte resultado: para qualquer dimensão V
dada, podemos considerar uma ação gravitacional dada pela soma das continuações
dimensionais das classes de Euler provenientes de todas as dimensões pares abaixo de
V, pesadas por coeficientes arbitrários ap,
[(1'-1)/2]
S
L
= K,
1P
ap
p=O
Eal"'av
Ral
a2
A ... A
Ra2p-l
a2p
A
A
ea2p+l
A eav ,
'"
(3.3.19)
apropiadamente
normalizada pela constante de acoplamento K, da teoria.
A ação
(3.3.18) é precisamente idêntica à ação de Lovelock (3.2.10), embora esteja escrita em
um outro formalismo matemático.
Incorporando à ação (3.3.19) uma ação Sm que
descreve as fontes materiais, teremos então a generalização dimensional da ação de
Einstein- Hilbert,
[(1'-1)/2]
S
= K,
L
ap
p=o
1p
Eal",av
A ... A Ra2p-la2p A ea2p+l A ... A eav +Sm'
Rala2
(3.3.20)
As equações de campo são obtidas pela variação de (3.3.20) com respeito às l-formas ea
(a variação com respeito às conexões iJ.)abé identicamente nula, pois estamos assumindo
que a torção é zero)
[(1'- )/2]
liS
=
K,
-
-
L
p=o
[(1'-1)/2]
ap
L
ap
p=o
ea2p+l
A
'"
1p
Eal,..av
li [Rala2
.... A
A
(V - 2p) 1p Eal..'aV [Rala2
A eaV-l] A lieav +liSm.
Precisamos agora encontrar
liSm cx eav, ou seja,
Ra2p-la2p
A ... A
A
ea2p+l
Ra2p-la2p
A ... A
J Qav
+ Sm]
A
(3.3.21)
o valor da variação de Sm. Necessariamente
liSm =
eav
A eav ,
devemos ter
(3.3.22)
onde Qa é uma (V - l)-forma correspondente ao tensor de energia-momento. Levando
(3.3.22) na equação (3.3.21), e impondo que a variação da ação seja nula, obtemos as
equações de campo da teoria de Lovelock
[(1'-1)/2]
-K,
L
p=o
ap
(V - 2p) Eal,..avRala2 A ... A Ra2p-la2p A ea2p+lA ... A eaV-l = Qav ,
(3.3.23)
onde Q a é definida por
Qa =
1
(V-I)!
Tal
c
a'-al'..aVe
al
"
1\...AeV,
a
(3.3.24)
Aqui, Tb é O tensor de energia-momento. Note que as equações (3.3.23) são de segunda
ordem para ea (através de Rab). Note que as constantes ap e K,são arbitrárias, exceto
34
que para 1) = 4 elas devem se reduzir para os seus valores usuais, dados pela relatividade
geral. Como um exemplo, vamos mostrar que (3.3.23) se reduz de fato para as equações
de Einstein. Para 1) = 4 teremos
al
a2
- 2 K,tala2aad [2 ao e 1\ e
onde
-
Q d -,
+ aI Rala2 ] 1\
e
aa
= Q d,
(3.3.25)
1 al
a2 1\ aa 1\ a4
T
e
e.
3. d tala2aaa4e
(3.3.26)
N a linguagem tensorial usual, esta expressão pode ser reduzida para [32]
-K,
[aI
al a2
R /-IV
+ 2 ao
al
aa
a2
e/-l ev
]
/-IVOI{3
-
eOl tala2aad t
-,
1 T al
3. d
/-IVOI{3
tal/-lVOIt
,
(3.3.27)
ou,
[
K, a Ral a2 e[/-Iv{3] + 2 a eal ea2 e[/-Iv{3]
I
/-IV
[ala2d]
O /-I V
[ala2d]
] = Ta
da'
e{3
(3.3.28)
onde
[~ {3] -
e[ala2d] -
Com isto, simplificamos
(
e/-l
al
/-I
eval
V
e{3
al
{3
eaJ
ed
ea;
ed
e~
ed
)
.
(3.3.28) para
K, [aI (R~ - ~ e~R) + 2 ao e~] = Tf .
Multiplicando
(3.3.29)
(3.3.30)
a equação acima por e~, teremos finalmente,
K, [G~
+ 2 A <5$]= T;; ,
onde deveremos ter K,= 1/87rG,ao = A e aI ~ 1.
(3.3.31)
Capítulo
4
Colapso em dimensões ímpares
4.1. Introdução
A importância teórica do estudo da gravitação em baixas dimensões vem das simplificações operacionais que uma ou duas dimensões a menos no espaço-tempo provocam
na teoria. Mesmo que estejamos trabalhando em modelos irreais para a natureza,
várias das mais importantes características e conseqüências da teoria da relatividade
geral se mantém em baixas dimensões. Por exemplo, Baiíados, Teitelboim e Zanelli
(BTZ) demonstraram, ao contrário da crença então vigente [33, 34], que a relatividade
geral com constante cosmológica em três dimensões possui buracos negros [35]. Estas soluções apresentam muita das características encontradas em quatro dimensões,
tais como o surgimento de buracos negros a partir de um colapso gravitacional [36] e
propriedades termodinâmicas de buracos negros também bem definidas [37].
A partir das semelhanças conceituais da relatividade em três e quatro dimensões e
das simplificações introduzidas nestes modelos, temos um cenário bastante interessante
para o estudo de problemas fundamentais ainda não resolvidos, como a gravitação
quântica [38]. Além disso, existem sistemas que realmente estão confinados a se mover
em dimensões mais baixas, como cordas e paredes cósmicas [39]. Soluções de buracos
negros em três dimensões e suas conexões com a relatividade geral em quatro dimensões
foram encontradas em [40, 41].
Uma vez que a ação de Lovelock representa a teoria gravitacional que extende
naturalmente a relatividade geral para dimensões 1) 2: 3, é bastante interessante estudar a maneira pela qual estas soluções em baixas dimensões seriam extendidas para
dimensões mais altas.
4.2. A escolha dos coeficientes
Dada apenas a ação de Lovelock (3.2.30), ainda não podemos descrever de uma forma
razoável a física da teoria sem antes termos uma maneira de definir o conjunto de
constantes indeterminadas ap (ver a equação (3.3.23)). Neste trabalho usaremos as
constantes determinadas em [11]. Ali, todo o conjunto de constantes foi parametrizado
em função da constante de Newton e da constante cosmológica. Para que isto fosse
possível, foi necessário extender o grupo de simetria usual da relatividade geral - o
35
36
grupo de Lorentz SO (D - 1,1) - para um grupo maior, o grupo de anti-de Sitter
SO (D - 1,2).
Em dimensões ímpares, é possível construir uma Lagrangeana invariante pelo
grupo de anti-de Sitter, sendo que esta Lagrangeana é a forma de Chern-Simons associada com a densidade de Euler de uma dimensão acima de D. Podemos achar uma
construção similar à ação de Chern-Simons em 3 dimensões. Vamos considerar a densidade de Euler uma dimensão acima de D. Esta densidade é uma forma exata e pode
ser escrita como
c
-
RAI
A
c..2n-l\,tAI...A2n
onde ÊlAB é a curvatura
A2
A
A
/\.../\
R' A2n-1
A2n -
Ar
- d /\J..-2n-l,
2-forma de anti-de Sitter, construída
(4.2.1)
a partir da conexão WAB
de S O (D - 1, 2) por
ÊlAB =
dWAB+ wg
A WCB.
(4.2.2)
Os índices latinos capitais vão de O até 2n. A forma (4.2.1) não pode ser usada como
uma Lagrangeana em dimensões pares porque ela é uma derivada total, mas L2n-l é uma
Lagrangeana em D = 2n-1 dimensões [11]. Para comparar (4.2.1) com a ação (3.2.30),
precisamos decompor WAB no grupo de Lorentz, i.e., em suas translações internas ea
e D rotações internas wab, já que (3.2.30) está dada em termos destas quantidades. A
decomposição da conexão W é dada por
W AB -e assim a curvatura
wab
-ea
,
(4.2.3)
~[2 ea A eb '
(4.2.4)
b
e
(
O
)
2-forma é dada por
Êlab= Rab +
onde [ é um fator de escala relacionado com 'a constante cosmológica por [
Levando (4.2.4) em (4.2.1) teremos a seguinte Lagrangeana
=
-1/ A2.
n-l
L2n-l = I\, L: ap tal...avRaIa2
A
p=O
... A Ra2p-Ia2p A
ea2p+1
A
'"
A eav,
(4.2.5)
onde os coeficientes ap são dados por
n- 1
I\,
a
p
e a constante
de acoplamento
=
D - 2p
(
p
é convenientemente
)
[-1J+2p
(4.2.6)
definida como
(D - 2) [1J-2.
1\,= 167rGn
4.3. Soluções exteriores
,
(4.2.7)
de vácuo
No vácuo, todas as componentes do tensor de energia-momento são nulas, e então, pela
definição da (D - l)-forma de energia-momento (3.3.24), as equações de campo (3.3.23)
são dadas por
-I\,
Lp
ap
(D - 2p) tal...av Rala2 A ... A Ra2p-la2p A ea2p+lA ... A eaV-l = O. (4.3.1)
37
Levando os coeficientes (4.2.6) e a constante K,(4.2.7) na equação acima, temos
(R
ala2
+ l -2 eal 1\e a2 ) 1\ ... 1\(R a2n-3a2n-2
Vamos considerar agora um espaço-tempo
mos escrever sua métrica como sendo
+ l-2 ea2n-3
1\e
a2n-2
= O.
)t ala2...a2n-l
estático e esfericamente
simétrico.
Podere-
(4.3.3)
= -l(r +) dt~ + g-2(r+) dr~ + r~ do1-2'
ds~
(4.3.2)
onde t e r são as coordenada temporal e radial, e dO~-2 é o elemento de linha de uma
(V - 2)-esfera unitária. O subscrito + indica que estamos tratando da solução exterior.
Com a métrica (4.3.3) e equações (4.3.2), Bailados, Teitelboim e Zanelli determinaram
a seguinte solução exata para V = 2n - 1 [11]
ds2+
= -
[1- (M + l)l/(n-l) + (r+/l)2] dt~ +
dr~
2
2
+ 1 - (M + 1)1/(n-l) + (r +/l)2 + r +dOV-2
(4.3.4)
Estas soluções descrevem buracos negros. Mostraremos que (4.3.4) também representam
a solução de vácuo exterior para uma nuvem de poeira em contração (ou expansão) na
teoria de Lovelock, generalizando o trabalho apresentado por [36].
4.4.
Solução
interior
de matéria
O espaço-tempo exterior é modelado por uma nuvem de poeira em colapso (ou em
expansão), descrita pela métrica de Friedmann-Robertson-Walker
em V dimensões
2
ds
2
=
-di
dr2
2 d r\2
2
+ a (t) [ 1 - k r2 + r HV-2]
(4.4.1)
.
As coordenadas t e r são coordenadas comóveis (nós omitiremos o subscrito - indicando
uma solução interior). A constante k pode tomar os valores k = O,:f:1. O tensor de
energia-momento para um fluido perfeito é dado por
(4.4.2)
To:{3 = (p + p) Uo:U{3+ p go:{3,
onde p é a densidade de energia, p é a pressão e U é a V-velocidade
métrica (4.4.1), as curvaturas 2-forma Rab são dadas por
do fluido. Dada a
1 d2a
Rab
1/:"
= :'
[k
= ( ~ dt2 )
+ (~: r]
ea /\ eb para a ou b iguais a zero
e' 11e' para a e b diferentes de zero
Dadas as curvaturas 2-forma acima,
tetrada, são dadas por
R oiO'~
as componentes
= -aa ,
(4.4.3)
(4.4.4)
do tensor de Riemann, em base
.
á2 + k
R~.hl - a2
(4.4.5)
38
enquanto
que as componentes
do tensor de Ricci são
ii
ii
= -(1> - 1) -,
a
Roo
0,2+ k
(4.4.6)
Ri = -a + (1>- 2)- a2
onde i é um índice fixo (sem convenção de soma) que pode assumir 1> - 1 valores. O
escalar de curvatura é dado então por
=
R
7]00Roo + . . . + 7]avavRavav
= (V -1) [2 ~ + (V
o invariante
(4.4.7)
,
- 2) O,2a~k]
Rab Rab por
ab
R
2
Rab=-(V-I)
..
e finalmente o escalar de Kretschmann
R abcd
..
2
a
C;) +(V-I)
2
.2
a
a
[ ~+(V-2)
a2
+k]
(4.4.8)
'
RabcdRabcdpor
2
.2
2
ii
Rabcd= (1>- 1) [( ~) +
( a a~ k)
]
(4.4.9)
.
Uma vez que as curvaturas (4.4.3) e (4.4.4) são distinguidas umas das outras pelo
fato de possuirem ou não um índice zero, poderemos separar as equações de campo
[(V-l)/2]
-I>,
L
(V-2p)
Qp
t':al"av Rala2 /\ .. /\ Ra2p-la2p /\ ea2p+l /\.. /\ eaV-l = Qav,
(4.4.10)
p=O
em duas equações independentes, de acordo com o valor do índice livre aI': uma na
qual aI' = O e outra na qual aI' =J. o. No primeiro caso (aI' = O) todos os outros
índices aj, (j = 1,..., V-I)
necessariamente serão diferentes de zero, uma vez que
t':al"'O...O
= o. Assim todas as curvaturas 2-forma serão do tipo (4.4.4). Temos assim
- (V - I)! ~
~
(V - 2p) {:,
<>p
[k+
(:; r] r e1
11
e'
11
...
11
e"-1
= Qo.
(4.4.11)
A partir da definição de Qa,
Q
-
O -
1
T.al
(1> - I)!
a2
/\ ...
/\ eav
O t':ala2,..aVe
=
rg el /\ ... /\ eV-l
-
-p e
1 1\
1\
1\".
1\ e
V-I
(4.4.12)
.
Portanto, nossa primeira equação de campo é dada por
k + O,2
(
(V-I)!~Qp(V-2p)
a2
)
P
(4.4.13)
=p.
No segundo caso (aI' =J.O) o índice zero é livre para estar tanto nas curvaturas 2-forma
quanto nas l-formas ea. Uma vez que o somatório se extende para os 2p índices em Rab
e 1> - 1 - 2p índices das l-formas, teremos
..
-(V-2)!I>,
L
p
Qp
(V-2p)
{
2p~
k+
(
P-l
k+
'2
a2a
)
'el/\e2/\"'/\eV-l=Qi,
+(V-2p-I)
(
P
'2
a2a
)
}
.
(4.4.14)
39
onde i é um índice fixo diferente de zero. Note que a equação acima na verdade é um
conjunto de V-I
equações, uma para cada valor possível de i. Devido às equações
(4.4.3) e (4.4.4) é que todas estas equações são idênticas entre si. A(V - 1)-forma de
energia-momento é dada por
1
Q. t
-
T al
(V-I)!
-
a2
/\
i fala2...aVe
p el /\ ...
av
/\
...
e
(4.4.15)
/\ e1'-l .
Levando (4.4.15) na equação (4.4.14) teremos a nossa segunda equação de campo
k + . 2 p-l
( a2a )
(V-2)!;;=O:p(V-2p)
..
k + .2
a2a ) =p.
( 2p~-(V-2p-l)
(4.4.16)
De um modo alternativo, podemos rearranjar (4.4.13) e (4.4.16) para um novo sistema
de equações. Somando (4.4.13) e (4.4.16) e derivando (4.4.13) teremos
d'
dT
-B -
(V -
~ + -k = p + P
a
a2
()
á
1)B (~ )
k
[ - a2
(4.4.17)
á
d
.
(
(4.4.18)
+ dT ~)] = p,
onde
P-l
á2+ k
B = (V
-
(
2)1;;= O:p2p(V - 2p)
a2
)
(4.4.19)
.
As equações (4.4.17) e (4.4.18) implicam em uma lei de conservação entre p(t) e
a(t). Levando (4.4.18) em (4.4.17) teremos
+ p) ~a = O.
P+ (V - l)(p
(4.4.20)
Uma vez que estamos considerando uma nuvem de poeira, nossa equação de estado é
dada por p = O. Então podemos integrar a equação (4.4.20) para
p
onde po e ao são constantes
(4.4.21)
= po (:0) 1'-1 ,
de integração.
Inserindo o valor das constantes O:p(4.2.6) e K,(4.2.7) na equação (4.4.13), teremos
(V - 1)1 (V - 2)
167r G [2
Lp [ ~P -
n- 1
1
(
)
p
o:p
]
= p,
(4.4.22)
onde
o:
Mas
n-l
L
p
1
-
[ p-l
n- 1
(
(4.4.23)
= [2 (k:2 á2) .
o:P
)
p
]
=-
1
n-l
(1 +o:n-l ) '
(4.4.24)
e com isto a equação (4.4.22) é igual a
á2
= -k
-
~ 2+
ao
2
([ ) ( [ )
87rGpo[2
[ (V
- 2)! (V - 2) ]
2/(1'-1)
,
(4.4.25)
40
onde foi utilizada
a equação (4.4.21). Chamando
2/(1)-1)
871"
G po f2
C = -k + [ (1)- 2)' (1) - 2)]
(4.4.26)
,
reescrevemos a equação (4.4.25) para
(4.4.27)
ã2=-(yr+C,
cuja solução é dada por
a(t)=lvCsin(b-Í)
Tomando a
= ao quando
a(t)
(4.4.28)
.
t = O, podemos reescrever a solução acima para
=
ao cos
(7)+ J (lJC?
(7) .
- -:~ sin
(4.4.29)
A solução (4.4.29) é válida para qualquer valor de k e para qualquer dimensão 1) Ímpar.
Uma vez que a solução a(t) deve ser real, deveremos ter sempre a seguinte condição
(l vC) 2 -
a~
(4.4.30)
2:o.
Sujeita a esta condição a solução (4.4.29) sempre colapsará para a(te)
própio finito te, que é dado por
ao
tt = arctan
(-
j
(1 JC)
.
2
= Oem um
tempo
(4.4.31)
- ai)
4.5. Condições de junção
Agora vamos juntar os espaço-tempos exterior e interior achados nas seções anteriores.
As condições de junção são dadas por [20]
ds2
]
+ E
K~iJ] E
onde KaiJ é a curvatura
=
ds2
=
K:iJ] E
]
(4.5.1)
- E
(4.5.2)
extrÍnseca [21],
:!:
:!:
~2 -y
u x:!:
:!:
~ (
-y ux:!:
~ Ó
ux:!:
KaiJ = -n-y oçaoçiJ - n-y f(ó oÇa oçiJ '
(4.5.3)
e n~ são as componentes do vetor normal à L;. Os subscritos :f: representam as quantidades tomadas no espaço-tempo exterior e interior. Ambas a métrica e a curvatura
extrÍnseca em (4.5.1)- (4.5.2) são determinadas em L;. A métrica intrínseca à L; é escrita
como
ds~
= -dr2 + R2(r) dn;-2.
(4.5.4)
onde r é o tempo própio em L; e dn~-2 indica o elemento de linha em uma 1) - 2-esfera
unitária.
41
A equação da superfície da ~ da nuvem nas coordenadas do espaço-tempo
é dada por
f(r+,t+) = r+ - [r+ (t+)]~ .
exterior
(4.5.5)
O vetor normal à esta superfície (gradiente da superfície) é então
af
ax,+
=N
.
- dr~ 1 ... O
( dt+' ,
onde N é uma constante de normalização,
determinada
af
gOl{3
(4.5.6)
) ,
por meio de
af
. ---rJ = 1 .
aX'+ aX+
(4.5.7)
Usando as componentes de gOl{3da métrica (4.3.4) e do gradiente (4.5.6), chegamos à
seguinte relação para N,
2
N
'2
[A
1'2
'2
t+ - A r +] = t+ '
(4.5.8)
onde
A = 1- (M + l)l/(n-l) + (r:
r
'
(4.5.9)
onde x
dx/dT.Usando as condições de junção (4.5.1), a métrica (4.5.4) e a métrica
exterior (4.3.4) obteremos
r+=R(T),
(4.5.10)
além disso, isolando dT na métrica (4.3.4)
[1- (M + 1)1/(n-l)+ (r+/l)2] i~- [1- (M + 1)1/(n-l)+ (r+/l)2r1 r~ = 1 , (4.5.11)
onde ambas as equações são determinadas em~. Daqui para diante, nós usualmente
omitiremos o subscrito ~ para denotar uma medida na superfície. Levando (4.5.11)
em (4.5.8), simplificamos a constante de normalização N para N = i+. Assim o vetor
unitário normal é dado por
nt = (-r+,i+,O,...,O).
(4.5.12)
Isolando i+ em (4.5.11) e usando (4.5.10) nós acharemos
dt+ -
h
J[ 1 - (M + 1)1/(n-l)+ (R/l)2] + R2
-
(4.5.13)
[1- (M + 1)n:l + (R/l)2]
A única componente da curvatura extrínseca que utilizaremos será a componente
Kto. A partir da definição (4.5.3) temos
K:t,
= [1- (M + I)' (.-1)+ ("7 r] Ri+
(4.5.14)
Usando (4.5.13) em (4.5.14) nós então temos
Kto = R
[1 - (M + 1)'/(n-1)+
(~) '] + R'.
(4.5.15)
42
No espaço-tempo
interior, a equação da superfície ~ da nuvem é dada por
f (r, t) = r - rI:;.
(4.5.16)
Não há depenência temporal em rI:; porque r é uma coordenada comóvel. O vetor
normal à superfície é dado por
=N
âf
âx-a
.
- drI:; 1 ... O
( dt+ ' ,
) ,
(4.5.17)
onde N é uma constante de normalização cujo valor é determinado, como anteriormente,
por
gaf3
âf . âf
âX+ âX~
= 1.
(4.5.18)
Usando as componentes de gaf3 da métrica interior (4.3.4) e do vetor (4.5.17), temos
que a constante N é dada por
N =
a(t)
.
(4.5.19)
VI - k rI:;
Assim, o vetor unitário normal é dado por
n;=
( O,V1 -a k r2 ,0,...,0 )
.
(4.5.20)
Usando a condição de junção (4.5.1) junto com as métricas (4.3.4) e (4.5.4), teremos
= t
a(t)rI:; = R.
r
(4.5.21)
(4.5.22)
A componente Kte da curvatura extrínseca (4.5.3) é dada por
Kiõ = R(r)
VI -
(4.5.23)
k (rI:;)2 .
Usando agora a segunda condição de junção (4.5.2) junto com (4.5.15) e (4.5.23) temos
R2 +
(~) 2 + k
(4.5.24)
(rI:;)2 = (M + 1)1/(n-1)
Multiplicando a equação (4.4.25) por (rI:;)2,
R2
=
e comparando
-(rI:;)2 k-
R
Ro
2
2/(D-1)
87rGpoL2
[ (V
- 2)! (V - 2) ]
,
(4.5.25)
agora as equações (4.5.24) e (4.5.25), nós temos
1
M
Para V
+
(I ) ( I )
2
= 3, esta
D-3
= (T)
[
87rGPo
(aorI:;)D-1
(V -
2)!(V - 2) ]
-l.
expressão para a massa concorda com [36].
(4.5.26)
43
4.6.
Formação
de buracos
negros
Nesta seção iremos mostrar como ocorre a formação de buracos negros em 3 dimensões,
seguindo o trabalho de [36]. Este estudo está sendo generalizado para qualquer dimensão
ímpar [42]. Em três dimensões, a solução (4.4.16) para o fator de escala a é dada por
a(t)
= ao cos (D + aosin (D
(4.6.1)
'
onde
ao =
j aõ (8 7rG f2 -
(4.6.2)
1) - k i2 .
A nuvem de poeira sempre colapsará para a(te)
=
O em um tempo própio finito
te, dado por
te = - arctan
desde que a seguinte condição se verifique
(4.6.3)
(~:)
(4.6.4)
a~ (8 7rG i2 - 1) - k z2 ~ O.
No espaço-tempo exterior, todas as componentes do tensor energia-momento são
nulas. Então, conforme a solução (4.3.4), para 3 dimensões o espaço-tempo exterior é
descrito pela seguinte métrica
2
ds+=onde M é a massa-energia
riores a superfície
[(r+li)
2
2
dr~
]
-M dt++(r+li)2-M+r+dn,
2
da nuvem. Conforme a seção anterior, nas coordenadas
da nuvem está localizada
interiores, em a( t) rE
2
em r +
= R, enquanto
(4.6.5)
exte-
que nas coordenadas
= R.
Impondo as condições de junção (4.5.1), temos uma relação entre a coordenada
temporal exterior t+ e o tempo própio medido na superfície da nuvem, t,
dt+ - j[(RIi)2 - M] + R2
dt [(RIi)2 - M]
(4.6.6)
A expressão para a massa da nuvem vem pela equação (4.5.26). Ela é dada por
M
= 8 7r G po a~r~
(4.6.7)
- 1.
Como a massa M deve ser positiva, o colapso só ocorrerá para um po suficientemente
grande. Se po :::; 1/(87r G aõ r~;) a nuvem colapsará para um a singularidade cônica no
espaço de anti-de Sitter.
nuvem
quando
Se po > 1/(87rGaõrt),
o raio for R
tH
-
i
= i VM
então o horizonte de eventos cruza a
em um tempo
= 2 arctan brE + VIIb2rt + aõ(rEIi)2 - Ai
[
(rEli) ao+ VM
]
'
(4.6.8)
onde
b=/87rGpoaÕ-k-(~Or.
(4.6.9)
Note que este tempo tH é também o tempo de formação do horizonte aparente tAH,
já que foi calculado na superfície da nuvem (ver o capítulo 5 para mais detalhes).
44
Então, o tempo necessário para cruzar o horizonte de eventos no ponto de vista de um
observador comóvel com superfície da estrela é finito. Por outro lado, um fóton emitido
da superfície da estrela em um tempo t+ obedece à seguinte equação
dR -dt+
r+
(l )
2-
M,
(4.6.10)
e chega em um ponto R' em um tempo
,
t+
=
t+ +
-
t+ -
i
R'
dt
-=!:.dR
rI;a(t)dR
1
arctanh
M/f2
fMjl2
IR'
R
[
M f2 ] rI;a(t)
(4.6.11 )
Da equação acima, temos que t~ -+ 00 quando r~a(t) -+ VM f2, de modo que o colapso
para o horizonte de eventos parece levar um tempo infinito para um observador externo.
O intervalo de tempo comóvel dt entre a emissão de dois fótons sucessivos é igual
ao comprimento de onda). da radiação que seria emitida sem a presença de um campo
gravitacional. O intervalo dt~ entre a chegada destes fótons é o comprimento observado
N. Então o desvio para o vermelho da luz emitida pela superfície da nuvem é
dt'
1
dt
VI - kr~ + r~ á
z=--=t-l=
-1,
(4.6.12)
e r~á(th) = -VI - k r~, de modo que z -+ 00 quando t+ -+ 00. Assim a intensidade da
luz emitida pela nuvem irá tender a zero, na medida em que o desvio para o vermelho
diverge para o infinito. Estas propiedades.. são inteiramente análogas ao colapso de
Oppenheimer-Snyder
em quatro dimensões (veja o capítulo 2).
Capítulo
5
Colapso em dimensões pares
5.1. Introdução
A teoria da relatividade geral prevê a existência de buracos negros em nosso universo.
A sua relevância provem de seu inevitável surgimento no colapso gravitacional completo
de objetos astrofísicos, como foi mostrado por Oppenheimer e Snyder [15] e detalhado
no capítulo 2.
V árias soluções estáticas e cosmológicas dentro da teoria de Lovelock foram
achadas [43]. Dentro do contexto restrito de [11], onde o conjunto completo de constantes é parametrizado
por apenas duas, soluções de buracos de vermes [47] e de
buracos negros [11] foram determinados tanto para dimensões pares quanto impares.
Como na relatividade geral os buracos negros surgem como o estado final do colapso
gravitacional, é importante saber se na teoria de Lovelock as soluções de buracos negros também surgem, como na relatividade geral, a partir de um colapso gravitacional.
Investigaremos este problema aqui. Este capítulo é basedo em [44].
5.2. A escolha dos coeficientes
No capítulo anterior foi mostrado que a maneira de determinar os coeficientes O:pfoi
através de uma imersão do grupo de Lorentz 50 (D - 1,1) em um grupo maior, o
grupo de anti-de Sitter 50 (D - 1,2). Entretanto, para dimensões pares D = 2n, (n =
2,3, . o.) não é possível construir um princípio de ação não trivial que seja invariante por
50 (D - 1,2). É necessário quebrar a simetria para o grupo de Lorentz, e assim teremos
uma teoria na qual há uma separação das Lagrangeanas em duas classes distintas:
Lagrangeanas para dimensões pares e Lagrangeanas para dimensões ímpares [11].
Para dimensões pares, D = 2n, podemos escolher a seguinte Lagrangeana
r
-
,(.,2n -
'"
RAA1A2 1\" R'A3A4"1\ ... 1\" R'Av-1Av Q A1A2o..Av
(5.2.1)
com Ai, A2 = 0,1,. . . , D sendo os índices de anti-de Sitter. ÊlA1A2é a curvatura 2-forma
de anti-de Sitter, construída a partir da conexão WA1A2 do grupo 50(D - 1,2),
ÊlA1A2= dWA1A2
+ wc11
45
A WCA2
,
(5.2.2)
46
onde Q é um tensor sobre 50 (D - 1,2). A única maneira simples de obter uma variação
não trivial na ação é quebrando a simetria para o grupo de Lorentz [45]. O tensor Q é
então escolhido para ser um tensor invariante apenas pelo grupo de Lorentz, i.e.,
QAIA2"'A'))
={
Ai = ai, (i=1,...,D)
tal "'a'))
para
O
caso contrário
(5.2.3)
Decompondo como no capítulo anterior a conexão W AB nas translações
nas D rotações internas wab do grupo de Lorentz, vem
wab
WAB =
Nesta separação
a curvatura
-ea
(5.2.4)
) .
O
eb
ea e
2-forma RAB passa a ser escrita como
RAB
onde Ta
curvatura
(
internas
+ [-2ea
Rab
=
(
1\ eb
(5.2.5)
_~a)
Tb
=
dea + wl: 1\ eb é a torção 2-forma (que estamos considerando nula). A
de anti-de Sitter Rab é dada então em termos da curvatura de Lorentz Rab
por
R ab= R ab +
A
onde [ é um fator de escala relacionado
.!.-
a
[2 e
A
b
(5.2.6)
1\ e ,
com a constante
cosmológica por [
=
-1/A2.
Usando (5.2.5) na Lagrangeana (5.2.1), podemos escrevê-Ia na seguinte forma
r
"-'2n
- K,
-
ala2
(R
+
.!.- e al
A ea2
[2
1\
)
A ...
A
1\
1\
+
a'))-la'))
(R
.!.- ea'))-l
[2
1\
ea'))
)
t
ala2"'a'))'
(527
)
..
Esta Lagrangeana é o análogo gravitacional da teoria eletrodinâmica de Born-Infeld
[12]. Podemos então retirar o valor dos coeficientes O:pcomparando (5.2.7) com a ação
de Lovelock
[(1'-1)/2]
5
=f
1:,1'
L
= K,
p=O
o:p
1P
tal'..a')) Rala2 1\...1\
Ra2p-Ia2p 1\ ea2p+1 1\...1\
ea')),
(5.2.8)
onde teremos então
-
o:p -
K,
n
(
p
)
[-V+2p
,
(5.2.9)
onde por conveniência podemos escolher a constante K,como
K,=
5.3.
Soluções
exteriores
[1'-2
32 7r G n
(5.2.10)
'
de vácuo
No vácuo todas as componentes do tensor de energia-momento
as equações de campo são dadas por
-K,
Lp o:p (1) -
2p) tal"'a')) Rala2
1\ ...
1\ Ra2p-Ia2p
1\ ea2P+1 1\
são nulas, de modo que
...
1\ ea'))-l =
O. (5.3.1)
47
Levando os coeficientes ap e a constante ~ dados em (5.2.8) e (5.2.9) na equação (5.3.1),
teremos, para dimensões pares (V = 2n)
(Rala2 + L-2 eal 1\ ea2) 1\ . . . 1\ (Ra2n-3a2n-2+ L-2 ea2n-3 1\ ea2n-2) 1\ ea2n-l tala2...a2n= O.
(5.3.2)
Vamos considerar agora um espaço-tempo estático e esfericamente simétrico.
Poderemos escrever sua métrica como sendo
ds~
= -l(1'
+) dt~
+ g-2(1' +) d1'~ + 1'~ dn1-2,
(5.3.3)
onde t e r são as coordenada temporal e radial, e dn~-2 é o elemento de linha de uma
(V - 2)-esfera unitária. O subscrito + indica que estamos tratando da solução exterior.
Com a métrica (5.3.3) e equações (5.3.2), Baiíados, Teitelboim e Zanelli determinaram
a seguinte solução exata para V = 2n [11]
2
L
ds+=-
2
[1-(2M/1'+)n-l+(1'+/L)
2
] dt++
d1'~
2
1
1-
(2M/1'+)n-l
2
+1'+dnD-2'
+ (1'+/L)2
(5.3.4)
Estas soluções descrevem buracos negros. Mostraremos que (5.3.4) também representam
a solução de vácuo exterior para uma nuvem de poeira em contração (ou expansão) na
teoria de Lovelock.
5.4. Solução interior de matéria
Como no capítulo anterior, o espaço-tempo exterior é modelado por uma nuvem de
poeira em colapso (ou em expansão), descrita pela métrica de Friedmann-RobertsonWalker em V = 2n dimensões
.
ds2
= -dt2
+ a2 (t )
d1'2
[ 1 - k1'2
+ 1'2dn2
D-2 ]
.
(5.4.1)
As coordenadas t e r são coordenadas comóveis (nós omitiremos o subscrito - indicando
uma solução interior). A constante k pode tomar os valores k = 0,:1:1. O tensor de
energia-momento para um fluido perfeito é dado por
TO/{3 =
(5.4.2)
(p + p) UO/ U{3 + P gO/{3,
como no capítulo anterior. Os cálculos e os resultados para os invariantes de curvatura
e para as equações de movimento são idênticos aos do capítulo anterior, desde a equação
(4.4.3) até à equação (4.4.21), e por isso não a repetiremos aqui.
Inserindo o valor das constantes
(V - I)!
(V-I)!
167rGf2
LP
ap (5.2.9) e ~ (5.2.10) na equação (4.4.13),
n
LD-2
(
[ 327rGn
1
~;;:[
P
)
L-D+2P (V - 2 )
]
P
k + à2 P -
(
a2
)
-p
n
( p ) (n-p)aP
]
=p,
(5.4.3)
onde
a=L2
k+à2
( a2 ) .
(5.4.4)
48
Mas,
;
~ [~ ( )
Usando esta informação
na equação (5.4.3), ficaremos com
~ 2+ ~
integral
2
(l ) (l )
õ? = -k que é a primeira
(5.4.5)
(n - p) ap] = (1 + a r-I.
ao
167rz2GPo
( )
[ (V-I)!
2/(D-2)
D-l
(5.4.6)
'
]
a
das equações de campo.
Em geral não é possível uma solução analítica exata para (5.4.6) para k = 0,:1::1.
Entranto, restringindo para V = 4, naturalmente iremos obter os modelos de Lemaitre,
no qual os universos aberto e fechado de Friedmann são um caso particular para l -1- 00.
Para k = -1 e V i= 4 existe uma solução especial com nenhum conteúdo material,
tomado no limite l -1- 00 e dada por
(5.4.7)
a (t) = :l::t
O e para o sinal + toma-se O < t < 00.
Não existem singularidades nesta solução já que, como pode-se mostrar, os escalares de
curvatura são nulos. Esta solução indica que os termos de ordem mais alta na curvatura
onde
para
o sinal
-
toma-se
<
-00
t
<
na ação de Lovelock, atuam, em certo sentido, como termos materiais
O caso marginalmente
Para k = O teremos
.2
a
ligado, k = O, permite
a
2
uma segunda integral
2
a
) ()
[ a2(D-l)/(D-2'
onde
B
=
167r G
[ (V
D-l
- 1)! poao
1
(l ) f dt -- f
-
que pode ser integrada
obtemos
1
-
()
l
da
(D-2)/2
2
l ]
(5.4.9)
.
origem da contagem do tempo.
a
=
167r
ao { (V-I)'
. Gpol
= a(D-l)/(D-2).
1
--
2
a
{[ 167rGpo (l )
sm
(ao)
a equação
V -1
[ -- V-2
t
(-
acima,
l
(5.4.10)
} '
]
definir
C1
(5.4.11)
= -to, a
temos
1/(D-l)
to
-
Integrando
I/(D-2)
D-l
Podemos simplesmente
Reagrupando
2 . D-2
(5.4.10)
vi B2/(D-2) - a2(D-l)/(D-2) ,
(V-I)!
onde to é uma constante de integração.
com a sepa-
al/(D-2)
com a troca de variável x
V-2.
(t - to) = arcsm
. V-I
(5.4.6).
(5.4.8)
]
Temos então uma equação diferencial separável de 1~ ordem. Procedendo
ração, chegamos a
-
de
B
= - (T + T
-
[46].
)] }
.
(5.4.12)
onde to fornece o tempo no qual a = O, e sem perda de generalidade, podemos colocar
to = O. Nós tomaremos -7r < t < o. Para -7r < t < 7r/2 a nuvem está expandindo.
Para -7r/2 < t < Oa nuvem está colapsando.
49
Levando (5.4.12) em (4.4.21) obteremos a evolução da densidade no modelo de
poeira para k = O.
p(t)
~ 2 sin-{V-2)
= (D
- 1)1
1671"G
L
- D- 1
()
D-2
[
!
( L)]
.
(5.4.13)
Os escalares de curvatura (4.4.7)-(4.4.9) e a densidade (5.4.13) divergem em t
(representando
laridade) .
o aparecimento
da densidade) e t
= O (indicando
Podemos agora tomar o limite onde a constante
Expandindo (5.4.12) em potências de (l/L)
~
(ao)
V-I
~
G po L2
1671"
(D - I)!
-t
~
(L)
{D- 2
-71"
a formação da singu-
cosmológica é zero (L -+ 00).
~~
-
=
-t
( L )]
3 [D - 2
3
+O
~
5
(L) }
V-2
.
(5.4.14)
Chamando
=
a
1671"G
(5.4.15)
(D - I)! po
l =
simplificamos a aproximação
a
(~ = ~)
-
acima para
l
V-I
(ao)
(5.4.16)
t,
~ a L2 {
1 l
3
1
(l) - 3 (l) + O (T)
V-2
5
.
}
(5.4.17)
Para expandir a expressão acima, podemos usar o teorema do binômio,
n (n - 1)
.
(a+bt=an+nan-Ib+
2
an-2b2+...
(5.4.18)
Com isto, ficamos com
a
V-I
( )
ao
Para D
1
~ a
=4
{ [D-2
1
V-4
(T)
1 V-2
(T)
- 3 (D - 2) [D
teremos
3
a
(ao ) ~a
2 -4
:L2
{t
-3t
1
2
1
l V
+ "6(D - 2) (D - 3) [D+2 T + .. . } .
(5.4.19)
()
4
1
(T) +0 (T) +...
} .
(5.4.20)
Levando os valores de a (5.4.16) e l (5.4.16),
a
3
()
ao
~
871"G
3
:3
po [ 2"(-t)
2
]
1
onde a densidade vai como p "-' t-2.
'"
)
+ O (T + . . .
Quando D =1=
4 e L -+ 00 temos a = O, i.e., nenhuma
recuperamos o caso usual de Friedmann para k = O,
(:J
2
[~l3~ GP°t)'.
solução física.
(5.4.21)
Para L -+ 00
(5.4.22)
50
5.5.
Condições
de junção
Agora vamos juntar os espaço-tempos exterior e interior achados nas seções anteriores.
As condições de junção são dadas por [20]
ds2
]
+ E
K~t~
onde KaJ3é a curvatura
extrínseca
::!:
KaJ3
ds2
-]E
(5.5.1)
=
K;J3]E
(5.5.2)
[21],
~2
-
=
- -n'Y
'Y
u
::!:
~
x::!:
::!:
oçaofl -
'Y
[
~
ux::!:
í)
ux::!:
n'Y r[í) oÇa
oçJ3 '
(5.5.3)
e n; são as componentes do vetor normal à ~. Os subscritos::!: representam as quantidades tomadas no espaço-tempo exterior e interior. Ambas a métrica e a curvatura
extrínseca em (5.5.1)- (5.5.2) são determinadas em~. A métrica intrínseca à ~ é escrita
como
ds~
= -dr2 + R2(r) dn~-2'
(5.5.4)
onde r é o tempo próprio em ~ e dn~-2 indica o elemento de linha em uma V - 2-esfera
unitária.
A equação da superfície da ~ da nuvem nas coordenadas do espaço-tempo
é dada por
f(r+,t+)
= r+ - [r+(t+)]E .
exterior
(5.5.5)
O vetor normal à esta superfície (gradiente da superfície) é então
of
Ox+
=N .
(
- dr E 1 ...
.
dt+""
O
(5.5.6)
)
onde N é uma constante de normalização, determinada por meio de
af
g aJ3
ox+
.
afJ3 --
Ox+
1.
(5.5.7)
Usando as componentes de gaJ3da métrica (5.3.4) e do gradiente (5.5.6), chegamos à
seguinte relação para N,
2
N
'2
[A
1'2
'2
(5.5.8)
t+ - Ar +] = t+,
onde
2M
-
A=I-
(
l (n-l)
-
r+ )
+ -r+
l
2
( )
'
(5.5.9)
e além disso, x = dx/dr. Usando as condições de junção (5.5.1), a métrica (5.5.4) e a
métrica exterior (5.3.4) obteremos
r+=R(r),
(5.5.10)
além disso, isolando dr na métrica (5.3.4)
[1- (2M/r+)n:l + (r+/l)2] i~ - [1- (2M/r+)n:l + (r+/l)2rl r~ = 1 ,
(5.5.11)
onde ambas as equações são determinadas em~. Daqui para diante, nós usualmente
omitiremos o subscrito ~ para denotar uma medida na superfície. Levando (5.5.11)
51
em (5.5.8), simplificamos a constante de normalização
unitário normal é dado para
N para N
= i+.
Assim o vetor
dr+ dt+
+ n[ -
( - dr'
dr ,0,...,0
)
(5.5.12)
.
Isolando i+ em (5.5.11) e usando (5.5.10) nós acharemos
dt+
/[1-
d:; =
(2M/R)r?:::r+ (R/l)2] + R2
(5.5.13)
[1- (2M/R) n:l + (R/l)2]
A única componente da curvatura extrínseca que utilizaremos será a componente
Kte. A partir da definição (5.5.3) temos
1 (n-l)
2M
2
Kte= [ 1- ( r+ )
+
(r;)]
(5.5.14)
Ri+.
Usando (5.5.13) em (5.5.14) nós então temos
Kte = R
(R )
-
[
No espaço-tempo
n:l
2M
1-
R
+ 1
.
+R2
2
()
]
(5.5.15)
.
interior, a equação da superfície L; da nuvem é dada por
I (r, t)
= r - r~ .
(5.5.16)
Não há dependência temporal em r~ porque r é uma coordenada
normal à superfície é dado por
aI =N.
a x-a
_dr~ 1...0
( dt+ ' ,
onde N é uma constante de normalização
g a/3
.
ax+.
aI
/3
ax+
- 1
- .
O vetor
(5.5.17)
) ,
cujo valor é determinado
aI
comóvel.
por
(5.5.18)
Usando as componentes de ga/3 da métrica interior (5.4.1) e do vetor (5.5.17), temos
que a constante N é dada por
N a(t)
- VI - k r~ .
(5.5.19)
Assim, o vetor unitário normal é dado por
n;=
mos
( O, V1 -a k r2 ,0,...,0 )
.
(5.5.20)
Usando a condição de junção (5.5.1) junto com as métricas (5.4.1) e (5.5.4), tere-
r = t
a(t)r~ = R.
(5.5.21)
(5.5.22)
52
A componente Kte da curvatura extrÍnseca (5.5.3) é dada por
Kio
= R(r) VI-
(5.5.23)
k (r~)2 .
Usando agora a segunda condição de junção (5.5.2) junto com (5.5.15) e (5.5.23) temos
k2 +
(~) 2 + k
(r~)2
(5.5.24)
= (2:) 2/(V-2).
Multiplicando a equação (5.4.6) por (rE)2
.
R2
R
2
2
R
( ) + k (r~)2= ( [ )
+ T
167r [2 G po
[ (V - I)!
Ro
2/(V-2)
V-l
(R )
.
]
(5.5.25)
Comparando agora as equações (5.5.24) e (5.5.25) nós temos
1 V-4
M
= (Y)
8 7r
(5.5.26)
(V - 1)! GpoRg-1 ,
que é a massa da nuvem expressa em termos das constantes
expressão é válida para qualquer valor de k = 0,::1:1.
dadas no problema.
Esta
5.6. Formação de buracos negros
De modo a estudar a formação de buracos negros nesta teoria, nós trabalharemos com
a solução para k = O achada em (5.4.12). A métrica interior (5.4.1) é então reescrita
para
(5.6.1)
ds2 = -dt2 + a2 (t) (dr2 + r2 dn~-2) .
Para nossa conveniência, vamos reescrever (5.4.12) como
a-
2M V-2 . V-2
[
Sln
r~V-l
(
V - 1
- [ V - 2
t
(
1)])
V~l
'
(5.6.2)
onde usamos a equação (5.5.16) e Ro = aor~.
A métrica exterior é dada em (5.3.4), e como vimos na seção 4, é possível realizar
uma junção suave entre os dois espaço-tempos.
Nós assumiremos que o colapso gravitacional ocorre para -~ ~ t ~ o. O tempo
t = -~ marca o surgimento do colapso. Neste momento não há singularidades no
espaço-tempo, como os escalares de curvatura (4.4.7)-(4.4.9) e a densidade (5.4.13)
indica. De fato, a singularidade aparece apenas em t = O, onde todas as quantidades
divergem.
Para saber se há formação ou não de buracos negros, é necessário procurar pelo
aparecimento de um horizonte aparente e de um horizonte de eventos. O horizonte
aparente é definido em [22] como sendo o contorno da região de 2-esferas aprisionadas
no espaço-tempo.
Para achar este contorno no espaço-tempo interior procura-se por
2-esferas Y = a(t)r = consto cujos raios de luz emergentes possuam expansão nula, isto
é
VY.VY=O.
(5.6.3)
53
Usando a métrica (5.6.1) em (5.6.3) fornece
da(t)
[ dt ]
= ~.
2
(5.6.4)
r2
Usando (5.6.2) em (5.6.4) temos
([I' L2f/v-I r - (~) sin-I/V-I [~ = ~ Ce ~ t)) cos [~ = ~ Ce ~ t))
onde
I'
167r
=
V-I
(V - I)! G poao
.
(5.6.6)
Isolando r_, a equação para o horizonte aparente em coordenadas
então por
- LV-3 I/V-I sinI/V-I (u)
r-,
cos(u)
( I' )
onde
r = (5.6.5)
1,
V-I
comóveis é dada
(5.6.7)
t
I
u--V-2
(5.6.8)
.
( )
Podemos expressar a equação (5.6.7) em termos da variável m, definida por m
~
=
r-lI;
~
I/(V-I)
sinI/(V-I)(u)
(m )
=
(5.6.9)
cos(u)
onde
te
V-I
(
u-V-2
- t
L
= M/L,
).
(5.6.10)
Expandindo (5.6.9) em potências de (l/L),
r-
r-
>::::
LV-3
I/V-I
I/V-I
(T )
(u)
[
V-2
[1
LV-4
- V-I
>::::
[1 - 1/3! (u )2f/V-I
(
I'
)
I/V-I
t
- 1/2! (u)2]
[1 - 1/3! (u )2f/V-I
]
[1-1/2!(u)2]
(5.6.11)
,
onde para V = 4 e L -7 00 esta expressão se reduz para a expressão usual para o
horizonte aparente na métrica de Friedmann
t
Agora,
o horizonte
aparente
2M
= -~
( )
3
.
r3
rI;3
forma-se
primeiro
(5.6.12)
na superfície
rI;. Então,
para r
=
rI;, a equação (5.6.9) fornece o tempo t no qual o horizonte primeiro se forma. Por
outro lado, devemos ser capazes de achar o tempo de formação do horizonte aparente
na superfície L; através de uma equação em L;, equação (5.5.24). De fato, na junção
temos R = a(t)rI; (5.5.22). Então a partir da condição de junção (5.5.24) e equação
(5.6.4) nós temos o tempo que o horizonte aparente primeiro se forma quando
R
R [ 1+
2
(T)
(V-2)/2 ]
- 2M.
(5.6.13)
54
Usando (5.5.10) isto também fornece r + [1 + (r +ll)2rV-2)/2 = 2M. Para Friedmann
(I -+ 00 e 1) = 4) a expressão acima se reduz para r + = 2M, como esperado. Dividindo
a equação (5.6.13) por I e definindox = Rll nós temos
(V-2)/2
[
X 1 + X2
= 2m ,
]
(5.6.14)
onde m - Mil tal como acima. Agora o tempo de formação do horizonte aparente
pode ser achado através da equação
RAH
= a(tAH) r~
=
{2M lv-2 sinV-2 [-
~=~
C~H)] f/V-1
.
(5.6.15)
Em termos de x e m (5.6.15) se esceve
1) - 1
XAH
= { 2m sinv-2
[ -1)
- 2
t
1/(V-1)
( ~H)] }
.
(5.6.16)
Dada uma dimensão 1) e m podemos obter x através da equação (5.6.14). Então
a equação (5.6.16) fornece implicitamente tAH, o tempo da formação do horizonte
aparente na superfície~.
Para 1) = 6 e m = 1 nós achamos tAH = -0.531. Colocando este valor de volta na equação (5.6.9) podemos verificar que tudo está fechado.
O horizonte de eventos, sendo uma superfície esférica nula, é determinada através
dos raios de luz emergentes da métrica (5.6.1), i.e.,
dt
dr
(5.6.17)
= a(t).
A equação (5.6.17) pode ser colocada na seguinte forma integral,
r
1) - 2
r~ = -1)
1
-12m ( )
1/(V-1)
ful
du
lua sin(V-2)/(V-1)(u)'
(5.6.18)
u = - (1) - 1) I (1) - 2) (til) e m foram definidos acima. Agora, o tempo U1 é precisamente igual ao tempo de formação do horizonte aparente, desde que no vácuo ambos
concidem [19]. Temos então que integrar (5.6.18) para achar o tempo Uo no qual o
horizonte de eventos primeiro se forma, em r = O. Isto pode ser feito numericamente.
Para 1) = 6 e m = 1 temos to = -tuol = -1.571. Um gráfico em coordenadas comóveis
pode mostrar a evolução dos horizontes aparente e de eventos. Isto está feito nas figuras
(1)-(4), para 1) = 4,6,10 e 26 dimensões, respectivamente. Nestas figuras, temos o colapso de Oppenheimer-Snyder
em 1) dimensões em um espaço-tempo assintoticamente
anti-de Sitter. O interior da nuvem de poeira em coordenadas comóveis (r, t) preenche
todo o diagrama. O lado esquerdo representa o centro da nuvem em r = O, e o lado
direito a superfície da nuvem rlr~ = 1. A evolução do horizonte de eventos (linha
traçejada) e do horizonte aparente (linha contínua) estão desenhados. A singularidade
55
ocorre em t
= O.
D=4
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
'-
-0,8
+'
-1,0
-1,2
-1,4
,
,
/,
,
,,
,
,,
,,
/
,
,
,
,
,,
/
,
/
,,
,
,
/,
,,
,
,,
,,
-1,61-,,'"
0,2
0,0
0,4
0,6
0,8
1,0
r Ir I:
Figura
traçejada)
2: A evolução dos horizontes aparente (linha contínua) e de eventos (linha
em coordenadas
comóveis
para 'D
=4
dimensões.
Veja o texto para mais
detalhes.
D=6
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
---
-0,8
-1,0
-1,2
-1,4
,,
,,
,
,
,,
/
,,
,
,,
,,
/
,
,,
,
,/
,
,
,
,
/
,
,,
,,
-1,6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
r I rI:
Figura 3: A evolução dos horizontes aparente (linha contínua) e de eventos (linha
traçejada) em coordenadas comóveis para 'D = 6 dimensões. Veja o texto para mais
detalhes.
57
Por uma junção com o espaço-tempo exterior de vácuo, achamos o diagrama usual
de Penrose para o colapso gravitacional e formação de um buraco negro (figura 6).
singularidade
centro
da
nuvem
infinito
superficie
da
nuvem
Figura 6: Diagrama de Penrose para o colapso de Oppenheimer-Snyder em um espaço
assintoticamente
anti-de Sitter. Aqui, ha e he são os horizontes aparente e de eventos,
respectivamente.
Conel usões
Neste trabalho nós analizamos o colapso gravitacional do tipo Oppenheimer- Snyder
dentro da teoria de Lovelock, que é a extensão natural da relatividade geral em di-
mensões V
2::
3. Foi mostrado que, a partir de um conjunto restrito de coeficientes
de Lovelock, uma nuvem de poeira sem momento angular e carga elétrica, e definida
tanto em dimensões pares quanto Ímpares sofre um colapso gravitacional, formando
os horizontes de eventos e aparente e terminando em uma singularidade de curvatura.
Como no caso das soluções de buracos de vermes achadas em [47] quanto nas soluções
de buracos negros achadas em [11], as soluções de colapso estudadas aqui mostram
que algumas características importantes da relatividade geral clássica são preservadas
dentro do contexto mais geral da teoria de Lovelock.
59
Referências
[1] M. Kaku, Introduction to Superstrings, (Springer-Verlag, Nova Iorque, 1988). Para uma
interessante comparação, veja um diagrama similar em D. Z. Freedman e P. van
Nieuwenhuizen, Scientific American, 238, fevereiro de 1978.
[2] I. J. R. Aitkinson e A. J. G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, Graduate Series
in Physics, (Adam Hilger Ltd., Bristol, 1984).
[3] T. Kaluza, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse Kl (1921).
[4] O. Klein, Z. F. Physik 37, 895 (1926).
[5] M. J. Duff, Kaluza-Klein Theory in Perspective, gr-qcj9410046; A. SaIam e J. Strathdee,
Ann. Phys., 141 (1982).
[6] L. H. Ryder, Quantum Field Theory, (Cambridge University Press, Cambridge, 1987).
[7] P. van Nieuwenhuizen, Phys. Rep. 68, (1981); L. Castellani, R. D'Auria e P. Fré, Supergravity and Superstrings: a Geometric Perspective, (World Scientific, Cingapura,
1991).
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[41] J. P. S. Lemos e V. Zanchin, Phys. Rev. D, setembro 1996.
[42] A. Ilha e J. P. S. Lemos, em preparação.
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B268, 737 (1986); R. C. Myers, J. Simon, Phys. Rev. D 38, 2434 (1988). B. Whitt,
Phys. Rev. D 38, 3001 (1988); G. A. Marugán, Class. Quantum Grav. 8, 935 (1991).
63
[44] A. Ilha e J. P. S. Lemos, "Dimensionally Continued Oppenheimer- Snyder Gravitational
Collapse I: Solutions in Even Dimensions", gr-qcj9608004, submetido à Physical Review D.
[45] S.W. Mac Dowell e F. Mansouri, Phys.Rev.Lett. 38, 739 (1977).
[46] M. Farhoudi, "The Lovelock tensor as a generalized Einstein tensor", gr-qcj9511047.
[47] X. Li, Phys. Rev. D 50, 3787 (1994).
A pêndice A
Referências
selecionadas
sobre a
teoria de Lovelock
Aqui estão colocadas algumas referências conhecidas sobre determinados tópicos da
teoria de Lovelock e de suas aplicações. Estes tópicos foram escolhidos como sendo
a. Teoria de Lovelock
b. Soluções esfericamente
simétricas e de buracos negros
c. Soluções cosmológicas e de cordas cósmicas
d. Conexão da teoria de Lovelock com a teoria de cordas
Faremos agora uma descrição de cada um dos tópicos acima. É importante notar
que esta pequena compilação não pretende de modo algum ser completa em relação a
todas as referências sobre a teoria de Lovelock. Apenas foram selecionadas algumas das
referências das quais tinhamos conhecimento.
a. Teoria de Lovelock:
Neste tópico estão as referências sobre a teoria propiamente dita, i.e, o seu desenvolvimento matemático, os formalismos usados na teoria e
as análises sobre a teoria, na maioria dos casos sem tentar fazer uma escolha particular
dos coeficientes arbitrários {O:p}. Este é um tópico bastante amplo, e entre os artigos,
está o trabalho original de David Lovelock sobre a sua teoria [Ia]. Lovelock escreveu
o seu artigo no formalismo tensorial global em 1970. Em 1986, Claudio Teitelboim
e Jorge Zanelli [2a] reescreveram a teoria na sua formulação Hamiltoniana e fizeram
as primeiras conexões com a topologia, sendo que ambos os assuntos foram explicados com mais detalhes em um trabalho posterior [3a]. Teitelboim e Zanelli, desta vez
juntos com Marc Henneaux [4a], voltaram ao assunto da formulação Hamiltoniana em
1987, no VI SILARG, realizado no Rio de Janeiro, onde foi explicado alguns dos incovenientes da teoria, relacionados com a indeterminação da do sistema devido à existência
de potências da curvatura em ordem mais altas, e onde foi tentada uma solução usando
a mecânica quântica, via integrais de trajetória.
As implicações da gravitação e cosmologia quântica dentro do contexto da teoria
de Lovelock (TL) foram estudadas por Mena-Marugán em 1990 [5a], e a generalização da
TL para espaços com torsão não nula foi estabelicida por Alejandro Mardones e Zanelli
em 1991 [6a]. Máximo Bailados, Teitelboim e Zanelli (também conhecidos por BTZ)
65
66
em 1991 [7a] realizaram uma análize de vínculos da TL e mostraram algumas soluções
de buracos negros e cosmológicas em seu trabalho. Finalmente, em 1995, Farhoudi [8a,
9a], a partir de sua tese de doutorado, escreveu dois trabalhos sobre uma representação
alternativa do formalismo lagrangeano da T1.
Referências
[Ia] D. Lovelock, J. Math. Phys. 12, 498 (1970).
[2a] C. Teitelboim e J. Zanelli, Class. Quantum Grav. 4, L125 (1987).
[3a] C. Teitelboim e J. Zanelli, in Constraint Theory and Relativistic Dynamics, editado por G. Longhi e L. Lussana (World Scientific, Cingapura, 1987).
[4a] M. Henneaux, C. Teitelboim e J. Zanelli, in Proceedings of Silarg VI, organizado
por M. Novello (World Scientific, Cingapura, 1988).
[5a] G. A. Mena Marugán, Phys. Rev. D 42, 2607 (1990).
[6a] A. Mardones e J. Zanelli, Class. Quantum Grav. 8, 1545 (1991).
[7a] M. Bailados, C. Teitelboim e J. Zanelli, in J. J. Giambiagi Festschrift, editado
por H. Falomir, R. E. Gamboa, P. Leal e F. A. Schaposnick, (World Scientific,
Cingapura, 1991).
[8a] M. Farhoudi, "Lovelock Tensor as a Generalized Einstein Tensor", gr-qc/9510060.
[9a] M. Farhoudi, "Classical Trace Anomaly", gr-qc/9511047.
b. Soluções esfericamente
simétricas
e de buracos
negros:
Uma das características mais notáveis da TL é que ela corresponde exatamente ao limite de baixas
energias de teorias de cordas. Isto influenciou uma onda de trabalhos sobre generalizações da RG, onde o termo de Gauss-Bonnet é adicionado na ação de Einstein-Hilbert.
Assim, D. Wiltshire [lb] provou a validade do teorema de Birkhoff na generalização
da teoria de Einstein-Maxwell.
James Wheeler [2b], em 1986, procurou por soluções
estáticas e esfericamente simétricas sem tentar definir as constantes O'p. Além disso, ele
também foi capaz de achar soluções cosmológicas homogêneas e isotrópicas com uma
fonte de fluido perfeito. Ainda em 1986 [3b], Wheeler determinou esta mesma classe
de soluções para espaços com torsão arbitrária. Suas conclusões foram de que todas as
soluções massivas assintoticamente planas possuem singularidades de curvatura. Neste
mesmo ano, Mignemi [4b], usou a TL em 1) = 6 dimensões (a generalização não trivial mais simples da RG) para estudar o espectro de massa e a estabilidade da teoria
quando acoplada ao campo de gauge de Maxwell, U(l). Em 1988, Brian Whitt [5b]
extendeu os trabalhos anteriores de Whiltshire e Wheeler ao considerar espaços- tempo
não estáticos.
O estudo da termodinâmica de buracos negros dimensionalmente continuados teve
um de seus trabalhos iniciais em 1988, quando Robert Myers e Jonathan Simon [6b] estudaram a termodinâmica destes buracos negros como um modelo para possíveis efeitos
de interações de ordems mais altas em campos gravitacionais intensos. Em 1994, BTZ
67
[7b] observaram que a entropia de buracos negros poderia ser derivada de uma maneira
mais simples a partir da TL. Neste mesmo ano, BTZ [9b] pela primeira vez determinaram soluções de buracos negros a partir de uma teoria restrita de Lovelock. A
partir desta escolha, cujas origens podem ser traçadas até [8b], a TL é naturalmente
definida em teorias para dimensões pares e ímpares. Além disso, uma escolha conveniente permite interpretações físicas mais naturais e diretas do que no caso contrário.
Neste trabalho foi usada a formulação Hamiltoniana para a obtenção das soluções e
para o cálculos das expressões explícitas para todos os parâmetros termodinâmicos de
um buraco negro. Baseado nesta definição para {O:p} Javier Muniain e Dardo Píriz
[10b] estudaram a ocorrência de transições de fase e a possibilidade de comportamento
crítico de buracos negros no início de 1995.
Finalmente, em 1995 Anderson Ilha e José Lemos, usando a mesma escolha de
coeficientes determinada por BTZ, iniciaram um estudo sobre como ocorreria a formação
de buracos negros a partir do modelo de colapso de Oppenheimer-Snyder
[11b - 15b].
A conclusão foi de que a formação ocorre de um modo inteiramente análogo ao modelo
de Oppenheimer-Snyder,
tanto para dimensões pares quanto ímpares.
Referências
[lb] D. L. Wiltshire, Phys. LeU. 169B, 36 (1986).
[2b] J. T. Wheeler, Nucl. Phys. B268, 737 (1986).
[3b] J. T. Wheeler, Nucl. Phys. B273, 732 (1986).
[4b] S. Mignemi, Mod. Phys. LeU. A 1, 337, (1986).
[5b] B. Whitt, Phys. Rev. D 38, 3000 (1988).
[6b] R. C. Myers e J. Z. Simon, Phys. Rev. D 38, 2434 (1988).
[7b] M. Baiíados, C. Teitelboim e J. Zanelli, "Black Hole Entropy and the Dimensional
Continuation of the Gauss-Bonnet Theorem", gr-qcj9309026.
[8b] M. Baiíados, "Black Holes in Einstein-Lovelock Theory", gr-qcj9309011.
[9b] M. Bailados, C. Teitelboim e J. Zanelli, Phys. Rev. D 49, 975 (1994).
[10b] J. P. Muniain e D. Píriz, Phys. Rev. D 53, 816 (1996).
[llb]
A. Ilha e J. P. S. Lemos, Boletim da Sociedade Astronômica Brasileira, 15, 37
(1995).
[12b] A. Ilha e J. P. S. Lemos, Resumos do XVII Encontro Nacional de Física de
Partículas e Campos, (1996).
[13b] A. Ilha e J. P. S. Lemos, Proceedings of the XVII Encontro Nacional de Física
de Partículas e Campos, editado por A. Silva, a aparecer em 1997.
[14b] A. Ilha e J. P. S. Lemos, "Dimensionally Continued Oppenheimer-Snyder Gravitational Collapse: Solutions in Even Dimensions", Phys. Rev. D, a aparecer.
gr-qcj9608004.
68
[15b] A. Ilha e J. P. S. Lemos, "Dimensionally Continued Oppenheimer-Snyder Gravitational Collapse: Solutions in Odd Dimensions", em preparação.
c. Soluções cosmológicas
e de cordas cósmicas:
Os primeiros trabalhos envolvendo soluções cosmológicas dentro da TL foram feitos dentro do contexto de teorias
do tipo Kaluza-Klein (KK). Um dos motivos disto ter ocorrido é a de que cosmologias
baseadas em KK fornecem uma explicação para a compactificação das D - 4 dimensões
extras: durante a fase em que KK dominava no universo, as dimensões usuais aumentavam enquanto que as dimensões extras decresciam, e com elas o volume médio do
universo. Pode-se então mostrar que isto significa um aumento na temperatura
do
universo, que por sua vez pode ser interpretado como um aumento da entropia das
dimensões em expansão. Assim, no iníco de 1986 Nathalie Deruelle e John Madore [lc]
propuseram uma lagrangeana gravitacional baseada na TL que não possuia constante
cosmológica. Alfredo Henriques [2c] usou o termo de Gauss-Bonnet (proveniente da
TL) na ação de Einstein-Hilbert dentro de KK para estudar suas soluções cosmológicas.
Ele descobriu reminiscências das soluções de Kasner, além de que o processo de compactificação é rápido demais para permitir uma produção de entropia em quantidades
suficientes. Um pouco mais tarde, Deruelle e Madore [3c] demostraram que, utilizando
lagrangeanas não lineares, tais como na TL, dentro de uma cosmologia KK, ocorre
o surgimento de uma espécie de "atrator", que leva as soluções para um universo de
Friedmann.
Utilizando a definição das constantes {ap} dada por BTZ, Xin-zhou Li [4c] em
1994 estudou algumas soluções do equivalente da equação de Friedmann para casos
específicos da constante de curvatura, em con~xão com buracos de vermes. No contexto
de cordas cósmicas, Mustapha Azreg-Ainou e Gerárd Clément [5c] em 1996 fizeram um
estudo sistemático de soluções cilindricamente simétricas (com quatro vetores de Killing
comutando-se: soluções de cordas cósmicas) à TL em D = 5 dentro de KK, onde novas
soluções foram encontradas.
Referências
[1c] N. Deruelle e J. Madore, Phys. LeU. 114A, 185 (1986).
[2c] A. B. Henriques, Nucl. Phys. B277, 621 (1986).
[3c] N. Deruelle e J. Madore, Mod. Phys. LeU. A1, 237 (1986).
[4c] X. Li, Phys. Rev. D 50, 3787 (1994). (1991).
[5c] M. Azreg-Ainou e G. Clément, "Kaluza-Klein and Gauss-Bonnet cosmic strings",
gr-qcj9603059.
d. Conexão da teoria de Lovelock com a teoria de cordas: A relação entre teoria
de cordas e a TL foi determinada pela primeira vez por Barton Zwiebach [ld] em 1985,
em um trabalho em que foi demostrado que a presença de potências de ordens mais
altas na curvatura na ação gravitacionalleva a uma teoria livre de fantasmas no limite
69
de baixas energias de teorias de cordas. Uma vez que termos deste tipo também são
fornecidos pela definição geral da ação da TL, estabeleceu-se assim uma conexão entre
estas duas teorias. Nesta época já se sabia que haveria um processo de compactificação
espontânea em teorias do tipo KK se na ação gravitacional fosem incorporados termos
em potências quadráticas na curvatura. Assim Folkert Müller-Hoissen [2d] procurou
por soluções em D dimensões deste esquema generalizado de KK. David Boulware e S.
Deser [3d] usando a sugestão de Zwiebach de que estas correções induzidas pela teoria
de cordas seriam na verdade dadas pelo termo de Gauss-Bonnet (veja o artigo de revisão
de Bruno Zumino [5d] a este respeito), demostraram que este modelo, ao contrário de
outros que implicam em combinações diferentes da curvatura na ação gravitacional, leva
a uma teoria viável da gravitação. Em 1987, Robert Myers [6d] estudou o problema de
valores de contorno associados a estas novas Lagrangeanas.
Referências
[ld] B. Zwiebach, Phys. Lett. 156B, 315 (1985).
[2d] F. Müller-Hoissen, Phys. Lett. 163B, 106 (1985).
[3d] D. G. Boulware e S. Deser, Phys. Rev. Lett. 55, 2656 (1985).
[4d] T. Regge, Phys. Rep. 137, 31 (1986).
[5d] B. Zumino, Phys. Rep. 137, 109 (1986).
[6d] R. C. Myers, Phys. Rev. D 36, 392 (1994).