Geometria em 4 dimensões
Tensores
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Espaço de Minkowski e Transformações de Lorentz
4 dimensões – 3 coordenadas espaciais x = (x 1, x 2, x 3 ) e uma coordenada
temporal x 0 ≡ ct . Os quatro números x µ ; µ = 0, 1, 2, 3 formam o
quadrivetor x:
µ
0 1 2
3
x
= (x , x , x , x )
• Índices gregos sub ou sobrescritos denotam índices que vão de 0 a 3.
µ
O espaço de todos os pontos x
é chamado de espaço de Minkowski e
(em ausência da gravidade) é um bom candidato para o Universo.
Define-se a distância nesse espaço utilizando-se a métrica: a distância
entre dois pontos x µ e y µ é:
3
s 2 (x, y ) = (x 0 − y 0 )2 − ∑ (x i − y i )2
Ou, em termos de diferenciais
µ
µ
i =1
x − y → dx :
ds 2 = (dx 0 )2 − (dx idx i )
Reescrevendo em termos de uma métrica:
ds 2 = dx µdx νgµν
Onde a convenção de somatória é que todo índice grego repetido soma de
0 a 3.
Tensores
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O tensor métrico
gµν pode ser escrito, portanto, como:
g µν
É convenção usar
gµν
ou
1 0
0
0 


 0 −1 0
0 


=
 0 0 −1 0 


0
0
0
−
1


−g µν
como a métrica. No último caso,
ds 2 = dx idx i − (dx 0 )2
Para a escolha que fizemos, intervalos do tipo tempo tem ds 2 > 0 e intervalos
do tipo espaço tem ds 2 < 0 . Esta é a chamada métrica de West Coast, e é
utilizada por J.D. Jackson.
A outra escolha inverte os sinais de eventos do tipo espaço e tempo e é
conhecida como a métrica de East Coast.
As Transformações de Lorentz (T.L.) tem o mesmo papel com respeito ao tensor
métrico g
que as rotações em espaços Euclidianos tridimensionais.
µν
As T.L. foram definidas para deixar
por T.L.
Tensores
ds 2
inalterado em referenciais associados
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Escrevendo
Onde
Λµν
x 'µ = Λµ νx ν
é a matriz usual das Transformações de Lorentz:
Λµ ν
 cosh φ − sinh φ

 − sinh φ cosh φ
= 

0
0


0
0
0 0 

0 0 

1 0 

0 1 
Aqui usamos a notação de rapidez (cosh φ ≡ γ; sin φ ≡ βγ ) e a T.L.
particular que escrevemos corresponde de uma mudança de um referencial K
para outro K’ se movendo com velocidade +βc na direção x 1 .
A invariância de ds 2 coloca uma restrição fundamental em Λµ :
ν
(ds ')2 = (ds )2
gµλdx 'µ dx 'λ = g νσdx νdx σ
g µλ Λµ ν Λλ σdx νdx σ = g νσdx νdx σ
O que requer
Λµ ν Λλ σgµλ = g νσ
Isso é o análogo de Rij Rik = δjk , e diz que as T.L. são ortogonais com
respeito à métrica g como as rotações são ortogonais com respeito à
métrica δ .
Tensores
30
Note que as rotações são um subconjunto das Transformações de Lorentz. Uma
rotação mistura as coordenadas espaciais mas deixa a coordenada temporal
sozinha:
0
0
dx ' = dx
dx 'i = Ri jdx j
Como R deixa a distância Euclidiana inalterada, a expressão preserva ds 2 .
T.L. que transformam para um referencial em movimento sem rotação são
chamadas de boost.
No quadriespaço uma rotação em torno do eixo x 3 é escrita como:
1
0
0
0 

 0 cos θ sin θ 0 

Λµ ν (ROT ) = 
 0 − sin θ cos θ 0 


 0
0
0
1 
A T.L. mais geral possível sempre pode ser escrita como uma rotação seguida
de um boost seguido de uma nova rotação.
As reflexões também estão inclusas entre as T.L., e são diferenciadas das
outras por terem det Λ = −1. Em 4 dimensões, introduz-se também reflexão no
tempo. Uma reversão temporal pura tem det Λ = −1 e uma reflexão nas 4
coordenadas tem det Λ = 1 . Uma T.L. própria é aquela que não tem reflexões
no espaço e/ou tempo, já que para uma T.L. própria (exceto no caso x µ = −x µ )
det Λ = 1. As T.L. impróprias incluem reflexões e reversões temporais e tem
det Λ = −1 , com exceção do caso já citado, que tem o determinante positivo.
Tensores
Quadrivetores e Tensores
µ
Quadrivetor: qualquer conjunto de 4 números v que, sob Transformações
de Lorentz, se transforma como a coordenada diferencial dx µ :
dx 'µ = Λµνdx ν
v 'µ = Λµν v ν
– Exemplos:
Quadrimomento: p = (E / c, P )
Quadricorrente: J = (cρ, J )
Potenciais Eletromagnéticos: A = (φ / c, A)
Um quadrivetor é definido em analogia a tensores no espaço tridimensional.
Seja T µν um quadritensor, então, no referencial transformado:
T 'µν = Λµ σ Λν τT στ
As componentes de um quadritensor ou quadrivetor se misturam umas com as
outras exatamente como vetores e tensores ordinários o fazem sob rotações.
Tensores
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Índices Covariantes e Contravariantes
Como no caso de 3 dimensões, podemos formar tensores de ordens mais
baixas contraindo com o tensor métrico.
– Exemplo:
Considere os quadritensores de ordem 2:S µν e T λσ.
Então V µσ = S µν g νλT λσ é um tensor de ordem 2 novamente.
Prova:
V 'µσ = S 'µν g νλT 'λσ
= Λµ αΛνβS αβg νλ Λλ γ Λσ τT γτ
= Λµ αΛσ τ (Λν β Λλ γg νλ )S αβT γτ
g βγ
= ΛµαΛσ τV ατ
Tensores
33
Notação de contração com a métrica
acordo com as regras:
g µν
: Introduzindo os índices subescritos de
vµ = g µν v ν
Tαβ = g αγT γβ
T α1 ...β...αn = g βx T
α1...αj ...αn
j
O único efeito computacional de “abaixar um índice” é introduzir um pacote de
sinais menos. Se
v µ = (v 0 , v 1, v 2 , v 3 )
Então
vµ = (v 0 , −v 1, −v 2, −v 3 )
– Exemplo:
O produto de dois quadrivetores não muda sob T.L.:
µ ν
ν
0 0
g µν w v ≡ wν v = w v − w ⋅ v
Definindo g αβ = g αβ ⇒ g αβg αγ = δαγ
com
δαγ
matriz unitária 4x4.
⇒ g λµvµ = g λµg µν v ν = δλ ν v ν = vλ
Tensores
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Pode-se, agora, abaixar e levantar índices à vontade.
– Exemplo:
T µ ν = g µαg νβTαβ
β
Se Tα está na forma:
Tα
β
T 0 T j 
 0
0 

= 0
Ti Ti j 
aqui j e I vão de 0 a 3: uma notação compacta
para essa matriz 4x4.
Então:
T αβ
 T 0 −T j 
 0
0 

=
−Ti 0 Ti j 
Um vetor com índice acima é chamado de vetor contravariante. Com índice
abaixo, é chamado de covariante.
O mesmo se aplica para tensores: T µν é contravariante e Tµν é covariante.
Um tensor com alguns índices acima e outros abaixo é chamado de tensor
misto.
Tensores
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Ao discutir rotações, definimos vetores contravariantes como aqueles que
transformam como coordenadas diferenciais:
∂x 'i
vj
∂xj
vi ' =
E vetores covariantes como aqueles que se transformam como gradientes:
wi ' =
∂x j
∂x 'i
wj
Estudando Relatividade Especial, definimos vetor contravariante como aqueles
que se transformam sob L.T. como as coordenadas diferenciais:
v 'µ = Λµ ν v ν
Vetores covariantes foram definidos pela relação:
vµ = g µν v ν
Agora mostraremos que as definições são equivalentes.
Da definição das T.L.,
µ
Λ
ν
=
∂x 'µ
∂x ν
µ
⇒ v' =
∂x 'µ
∂x ν
vν
A correspondência seria completa se mostrássemos que:
v 'µ =
Para mostrá-la, multiplicando
ν
→ g νλvλ :
Tensores v
∂x ν
µ
∂x '
vν
por g σµ e somando em µ , e substituindo
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 ∂x 'µ 
 g νλv
g σµv ' = v 'σ = g σµ 
λ
 ∂x ν 
µ
Começando com
µ
λ
Λ ν Λ σgµλ = g νσ
e lembrando que
∂ x 'µ ∂ x 'λ
∂x
Multiplicando por
∂x 'µ
τ
∂x '
=
∂x
∂x
σ
Λ
ν
≡
∂x 'µ
∂x
ν
:
g µλ = g νσ
∂x ν 1 e usando a regra da cadeia para derivadas parciais:
∂x 'τ 2
∂x 'µ ∂x ν
ν
ν
µ
τ
∂x '
=δ
µ
τ
para obter
∂x 'λ
∂x
Finalmente, multiplicando ambos os lados por
∂x α
τ
∂x '
=g
ασ
∂x 'λ
∂x
σ
σ
g τλ = g νσ
∂x ν
∂x 'τ
g ασ e somando em σ :
g τλ
Que é justamente o que gostaríamos de provar, se renomearmos os índices
α → λ; τ → σ; σ → ν; λ → µ
Tensores
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Resumindo e Recapitulando…
– Vetores Contravariantes:
Transformam sob T.L. como coordenadas diferenciais:
µ
µ
ν
v ' = Λ νv =
∂x 'µ
∂x ν
vν
– Vetores Covariantes:
Transformam sob T.L. da maneira oposta:
v 'µ = g µσ Λσ ν g νλvλ = Λµλvλ =
– Abaixando e Levantando Índices:
∂x λ
µ
∂x '
vλ
Vetores covariantes e contravariantes são relacionados através do tensor
métrico:
vµ = g µν v ν
vλ = g λµvµ
– Contração:
Índices relacionados pelo tensor g µν não mais se transformam:
T µν g νλS λα = T µνSν α ≡ W µα
Tensores
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Gradiente em Relatividade Especial
O protótipo do vetor covariante é o gradiente de um escalar. Considere
onde
x
µ
∂φ
∂x µ
= (x , +x ) é a coordenada do vetor contravariante. Considere dois
0
referenciais S e S’ relacionados por T.L. e use a regra da cadeia:
 ∂x µ  ∂φ

= 
 ∂x 'µ  ∂x µ
∂φ
∂x µ
Comparando com
σ
νλ
v 'µ = gµσ Λ ν g vλ =
Λµλvλ
∂φ é covariante e o escrevemos como:
∂x µ
 ∂φ
∂φ

∂ µφ ≡
∂x µ
=
∂x λ
µ
∂x '
vλ
conclui-se que

=
, ∇φ 
 ∂x µ

Podemos definir uma derivada contravariante diferenciando com respeito às
coordenadas covariantes:

 ∂φ
∂φ
∂ φ≡
= 
, −∇φ 
 ∂x µ

∂x µ
µ
Tensores
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Invariantes em Relatividade Especial
Qualquer objeto totalmente contraído é um invariante (i.e., um escalar) sob
Transformações de Lorentz. Introduzimos contração usando o tensor métrico,
mas podemos usar levantamento e abaixamento de índices para tornar mais
simples:
• contrar dois índices = levantar um, diminuir o outro e somar.
– Exemplo:
Tαβ
e
S γδ são dois tensores, um tensor de ordem dois pode ser formado pela
contração:
Tαβs βα = TαβS γδg βγ
Um escalar pode ser formado contraindo ainda α e δ :
TαβS βα = escalar = TαβS γδg βγg αδ
Para provar que é um escalar, faça T.L. em ambos os lados:
Tαβ 'S αβ ' = Λαγ Λβ δ Λµ αΛν βTγδS µν
= (Λαγ Λµα )(Λβ δ Λν β )TγδS µν
= δµ γ δν δTγδS µν = TµνS µν
Tensores
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Alguns Invariantes Importantes:
– O produto escalar de dois vetores:
v µwµ = (v 0w0 + v 1w1 + v 2w2 + v 3w3 )
= (v 0w 0 − v 1w 1 − v 2w 2 − v 3w 3 )
0 0
= (v w − v ⋅ w )
– O traço do produto de dois tensores:
(F ⋅ G ) = FµνG µν = F µνG λσg µλg νσ
– A quadridivergência:
O sinal menos que causa problemas: Considere um vetor contravariante
v µ = (v 0, v ). Então ∂ µv µ é um invariante.
Mas
 ∂v µ 
µ
∂ µv = 
, ∇ ⋅ v 
 µ

 ∂x

Note a diferença:
wµv
µ
0 0
= (w v − w ⋅ v )
Esse sinal menos é essencial no entendimento das propriedades de
transformações de muitos objetos em eletromagnetismo.
Tensores
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Propriedades das Transformações de Lorentz
–εµνλσ é o análogo de εijk .
ε0123 = 1 e troca de sinal sob qualquer
permutação de seus índices. Fica
+1 sob permutações cíclicas e é nulo se dois índices são iguais.
εµνλσ é um pseudotensor de ordem 4 e é numericamente o mesmo em
todos os sistemas de coordenadas. Explicitamente:
εµνλσ = Λαµ Λβ ν Λγλ Λδ σ (det Λ)ε αβγδ ;
ε0123 = −ε0123 = −1
– O elemento de volume d 4x .
d 4x ≡ dx 0dx 1dx 2dx 3 é invariante, mas um pseudoescalar:
d 4x ' = (det Λ)d 4x
– O quadrirotacional.
O objeto ∂ µvν − ∂ ν vµ = Fµν onde
antisimétrico de ordem 2.
vµ
é um vetor covariante, é um tensor
Fµν ' = ΛµαΛν βFαβ
Tensores
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