EQUILÍBRIO DINÂMICO DE UMA MASSA
EM TRANSLAÇÃO - 2º Lei de Newton
s

I
F j  mI  a
j 1
s

I
Fj  mI   I a A  I  ^ I rAB  I  ^  I  ^ I rAB   2I  ^ I v Rel  I a Rel 
j 1
FA-476 DINÂMICA
EQUILÍBRIO DINÂMICO DE UMA MASSA
EM ROTAÇÃO - Lei de Euler
QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR
I
H A I i ^  I J i   I i ^ mi I Vi 
H A    I i ^ mi I Vi 
n
I
i l
FA-476 DINÂMICA
H A    I i ^ mi I Vi 
n
I
i l
Vi IVA  I ^ I i  IVRel
I
VRel
I
d
 B i 
 T
dt
T
d
 B i   0
dt
Vi  IVA  I  ^ I i
I
FA-476 DINÂMICA
H A    I  i ^ mi  IVA  I  ^ I  i 
n
I
i 1
Expandindo a soma :
I
I
H A    I i ^ mi I VA     I i ^ mi  I  ^ I i 
n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
H A    I i mi ^ IVA    I i ^ mi  I  ^ I i 
n
  I i
i 1
mi  

I
*
m

Centro de m assa
FA-476 DINÂMICA
n
*
H

m


^ IVA    I i ^ mi  I  ^ I i 
I
A
I
i 1
m  I  ^ IVA  0
*
n
I
H A    I i ^ mi  I  ^ I i 
i 1
FA-476 DINÂMICA
n
I
H A   I  i ^  I  ^ I  i   mi
i 1
Vetor quantidade de movimento angular representado na base Bn
n
Bn
H A   Bn  i ^  Bn  ^ Bn  i   mi
i 1
FA-476 DINÂMICA
n
Bn
H A   Bn  i ^  Bn  ^ Bn  i   mi
i 1
 x (t ) 




y
(
t
)


I
i
 z (t ) 


e
 (t )





(
t
)


I
 (t )


I
x
 


r

 y
Bn i
Bn
z
 
e
 x 
 


 y 
Bn
 
 z
H A   I r ^  I  ^ I r  dm
FA-476 DINÂMICA
I
Bn
H A   I r ^  I  ^ I r  dm
H A   Bn r ^  Bn  ^
  x  in
jn
 
y
Bn H A     y ^  x
z x
y
 
Bn
r  dm
kn 

 z   dx dy dz

z 
FA-476 DINÂMICA
  x  in
jn
 
y
Bn H A     y ^  x
z x
y
 
Bn
H A  
z
y
kn 

 z   dx dy dz

z 
in
jn
kn
x
y
z
 y z   z x  x z 

y
x
 x y 

  dx dy dz

 y 2 x  xy y  z 2 x  xz z

2
2
H


yx


x


z
 y  xz z
Bn
A
x
y
 
  zx  x 2  zy  y 2
x
z
y
z


 dx dy dz

FA-476 DINÂMICA


  dx dy dz

 y 2 x  xy y  z 2 x  xz z

2
2
H


yx


x


z
 y  xz z
Bn
A
x
y
 
  zx  x 2  zy  y 2
x
z
y
z




 y2  z2

Bn H A     yx
  zx




2
2

y

z
dx dy dz


Bn H A      yx dx dy dz

   zx dx dy dz
x
 xy
2
 z2
 xz   x 
 
 yz   y  dx dy dz

x 2  y 2  

 z


 zy

  xz dx dy dz   x 
 
2
2
 x  z dx dy dz   yz dx dy dz   y 
 
2
2
  zy dx dy dz
x

y
dx
dy
dz
  z 

  xy dx dy dz


FA-476 DINÂMICA




2
2

y

z
dx dy dz


Bn H A      yx dx dy dz

   zx dx dy dz
 I xx

Bn H A    I yx
  I zx

 I xy
 I yy
 I zy
  xz dx dy dz   x 
 
2
2
 x  z dx dy dz   yz dx dy dz   y 
 
2
2
  zy dx dy dz
x

y
dx
dy
dz
  z 

  xy dx dy dz


 I xz   x 
 
 I yz   y  

 I zz  

 z
FA-476 DINÂMICA

Bn

H A  I I A  Bn 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR
Bn
I 
Bn A

Bn
m
*
Bn  A 
VA 
Bn
H A Bn I A  Bn   m 
Bn
 ^ BnVA
*
A
Tensor de inércia do corpo, calculado em relação ao ponto “A”
(ponto em torno do qual se calcula a somatória de momentos). Este
tensor é descrito em um sistema se referência móvel “Bn” solidário
ao corpo.
Vetor velocidade angular absoluta do corpo, representada no
sistema móvel “Bn”.
Massa Total do Corpo.
Vetor com origem no ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular, (origem A na base local), e fim
no centro de massa do corpo. Sua representação é feita na base
móvel “Bn”.
Velocidade linear absoluta do ponto em torno de qual se calcula a
FA-476angular
DINÂMICA
quantidade de movimento
do corpo, representado na base
móvel “Bn”.
EULER
n
d
M A   Bn H A  Bn  A ^ Bn H A

Bn
dt
i 1
d
 Bn I A  Bn   m 

Bn M A 
dt
i 1
n
*


Bn A ^ BnVA 
 Bn  A ^  Bn I A  Bn   m 
FA-476 DINÂMICA
*


Bn A ^ BnVA
EULER
n
d
 Bn H A 

Bn M A 
dt
i 1
Bn
H A Bn I A  Bn   m 
n
d

Bn M A 
dt
i 1

Bn
I  Bn   m 
Bn A
FA-476 DINÂMICA
 ^ BnVA
Bn
*
A
 ^ BnVA  
*
A
n
d

Bn M A 
dt
i 1
n
 Bn M A 
i 1

Bn I A  Bn   m 
*

Bn A ^ BnVA  
d
 Bn I A  Bn   Bn I A d  Bn    d mBn  *A ^ BnVA  m d
dt
dt
dt
dt
 m Bn  *A ^
d
 BnVA 
dt
FA-476 DINÂMICA

Bn
 *A ^ BnVA 
n
 Bn M A 
i 1
d
 Bn I A  Bn   Bn I A d  Bn    d mBn  *A ^ BnVA  m d
dt
dt
dt
dt
 m Bn  *A ^
Bn
 *A ^ BnVA 
d
 Bn  A*   0
dt
d
 BnVA 
dt
d
m   0
dt
d
 Bn I A   0
dt

n
d
 BnVA   Bn a A
dt
d
 Bn  

Bn M A  Bn I A
dt
i 1
FA-476 DINÂMICA
EULER
s
d
*




M

I




^
I



m


^ Bn a A

Bn
Ai
Bn A
Bn
Bn
Bn A Bn
Bn
dt
i j
s

Bn
M Ai 
i j
I 
Bn A
d
 Bn   
dt
Somatória dos momentos provocados pelas forças “s” (externas e
de reação) em relação ao ponto “A”, representadas no sistema
solidário ao corpo.
Tensor de inércia do corpo, calculado em relação ao ponto “A”
(ponto em torno do qual se calcula a somatória de momentos). Este
tensor é descrito em um sistema se referência móvel “Bn” solidário
ao corpo.
Derivada do vetor de velocidade angular absoluta do corpo, quando
se está representado no sistema móvel “Bn”. Logo, se a velocidade
angular absoluta do corpo Bn e da base “Bn”, Bn, forem
diferentes, este vetor não coincide com a aceleração angular
absoluta do corpo.
FA-476 DINÂMICA
EULER ( GERAL)
s
d
*
 Bn   Bn  ^  Bn I A Bn    m Bn  A ^ Bn a A

Bn M Ai  Bn I A 
dt
i j
Bn

m
Bn  A 
*
Bn
aA 
Vetor de velocidade angular absoluta da base “Bn” representado
no sistema móvel “Bn”.
Massa Total do Corpo.
Vetor com origem no ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular, (origem A na base local), e fim
no centro de massa do corpo. Sua representação é feita na base
móvel “Bn”.
Aceleração linear absoluta do ponto em torno do qual se calcula a
quantidade de movimento angular do corpo e, também, realiza-se a
somatória de momentos. Sua representação é feita na base móvel
“Bn”.
FA-476 DINÂMICA