CONJUNTOS
Noções básicas
 Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma
Torcedores do Ceilândia
BIRY SARKYS
BIRY SARKYS
turma torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia.
BIRY SARKYS
Torcedores do Gama
Torcedores do Brasiliense
Noções básicas
 Conjunto dos números pares:
BIRY SARKYS
0, 2, 4, 6, 8, ...
 Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica
natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.
Elementos de um conjunto
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 2, 5 e 10.
Então:
1
∊A
3
∉A
1 pertence a A
3 não pertence a A
Representação de um conjunto
O conjunto A é formado pelos elementos: 1, 3, 5, 7 e 9.
Podemos representá-lo:
 enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9}
 considerando uma propriedade que todos os elementos do
conjunto, e somente eles, verificam:
A = {xx é um número ímpar menor que 10}
 desenhando uma figura:
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos, A e B, são iguais (A = B) se A tem os mesmos
elementos de B.
Exemplo
 O conjunto A contém os números
naturais menores que 5.
A=B
 O conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4}
Igualdade de conjuntos
Quando um conjunto tem ao menos um elemento diferente dos
elementos de outro conjunto, dizemos que os conjuntos são
diferentes.
Exemplo
 X = {0, 2, 3, 4, ...}
X ≠ Y (X é diferente de Y)
 Y = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto universo
Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado
por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.
Vamos resolver a equação x² = 4:
 se U = ℕ:
x=2
uma solução
 se U = ℤ:
x = –2 ou
x=2
duas soluções
Conjunto unitário e conjunto vazio
Conjunto unitário é o conjunto formado por um único
elemento.
Exemplo
C = {xx é um número natural primo par} = {2}
Conjunto vazio, cuja notação é  ou {}, é o conjunto que
não tem elementos.
Exemplo
B = {xx é um número primo par maior que 5} = 
Subconjuntos de um conjunto
Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se,
todos os elementos de A pertencem a B e também que A é parte
A = {1, 2, 3, 4}
14243
de B.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ⊂ B ou B ⊃ A
Subconjuntos de um conjunto
Se um conjunto A não é subconjunto de B, dizemos
A = {1, 2, 3, 7}
1442443
que A não está contido em B.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C = {0}
A ⊄B
C ⊄B
C ⊄A
Subconjuntos de um conjunto
Observações
 O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
 Todo conjunto está contido nele mesmo.
 Se A  B e B  A, então o conjunto A é igual a B.
EXEMPLOS
1. Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c},
classificar cada sentença como verdadeira ou falsa.
a) A  C
b) B  A
c) C  A
d) C  B
Resolução
a) Verdadeira. Todos os elementos de C pertencem a A.
b) Verdadeira. O elemento d de B não pertence a A.
c) Falsa. O elemento a pertence a A e não a C.
d) Falsa. O elemento b pertence a C e não a B.
EXEMPLOS
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
a) X  B
Resolução
a) Se X  B, então X é um subconjunto de B. Logo, há
mais de um conjunto X que obedece a essa condição.
Poderíamos ter, por exemplo: X = , uma vez que o
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
X = {1}; ou X = {1, 2}, entre outros.
EXEMPLOS
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
b) B  X
Resolução
b) Se B  X, então B é um subconjunto de X. Logo,
poderemos determinar infinitos exemplos para X,
desde que os elementos 1, 2 e 3 pertençam ao
conjunto X. Como exemplo, temos:
X = {0, 1, 2, 3} ou X = {0, 1, 2, 3, 4}
EXEMPLOS
2. Considerando o conjunto B = {1, 2, 3}, dar um
exemplo de um conjunto X, em cada caso.
c) X  B e B  X
Resolução
c) Se X  B e B  X, então o conjunto X é igual a B.
Logo, só existe uma possibilidade: X = {1, 2, 3}
EXEMPLOS
3. Quais os subconjuntos (elementos do conjunto das partes) do
conjunto:
a) X = {2, 4}
P(X)   0 , 2, 4, 2, 4
b) Y = {1, 3, 5}
P(Y)   0 , 1, 3, 5,1, 3, 1, 5, 3, 5, 1, 3, 5
c) W = {3}
P( W)   0 , 1
d) S = { }
P( W )   0 
Conclui-se que:
• Se n(X) = 0, então n(P(X)) = 1.
• Se n(X) = 1, então n(P(X)) = 2.
• Se n(X) = 2, então n(P(X)) = 4.
• Se n(X) = 3, então n(P(X)) = 8.
• ...
• Se n(X) = a, então n(P(X)) = 2a
EXEMPLOS
4. Dado um conjunto com 256 subconjuntos e (x + 3)
elementos. Determine o valor de x. X = 5
Se 2n(x)  n(P(x ))  2 (x  3)  256  2 (x  3)  2 8
x38  x 5
5. Se o número de elementos do conjunto das partes do conjunto
A é 1024, calcule o número de elementos de A.
10 elementos
2n(x)  1024  2n(x)  210  n(x)  10