8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade
p”.
Ex.:
(a) $ ^[_[pSDtVGD(XURSD`
o conjunto A é formado por todos os
países da Europa
(b) % ^[_[pPDPtIHUR`
o conjunto B é formado por todos os
mamíferos
5HODomRGH3HUWLQrQFLD
Nos exemplos:
$ ^DHLRX`
%
^ 12 34 `
note que X é elemento do conjunto $ e não é elemento do conjunto %. Tais fatos serão
respectivamente indicados por:
X$ (lê-se “XSHUWHQFHD$”) e X% (lê-se “XQmRSHUWHQFHD%”)
De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:
 (pertence) e
 (não pertence)
7LSRVGH&RQMXQWR
4.1.
Conjunto unitário
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Ex.:
(a) & ^`
4.2.
(b) % ^[_[pHVWUHODGRVLVWHPDVRODU`
Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por
‡ ou { }.
Ex.:
D' ^[_[ptPSDUHP~OWLSORGH` ‡
E( ^[_[pFRPSXWDGRUVHPPHPyULD` ^`
2
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
4.3.
Conjunto finito
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus
elementos.
Ex.:
D% ^`
E' ^[_[pEUDVLOHLUR`
F + ^[_[pMRJDGRUGDVHOHomREUDVLOHLUDGHIXWHERO`
4.4.
Conjunto infinito
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais
chegaremos ao “fim” da contagem.
Ex.:
D1 ^`RX^Q`
E$ ^[1_[pSDU` ^`
&RQMXQWRV,JXDLV
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A
é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da
palavra “reta”: B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos
elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é
igual a B, escrevemos A z B (lê-se “A é diferente de B”).
&RQMXQWR8QLYHUVR8
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem WRGRV os elementos
desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se
deseja trabalhar.
Ex.: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto
universo considerado.
x
x
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta
o conjunto solução 6 ^`
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais SDUHV, teremos como
conjunto solução 6 ^`
6XEFRQMXQWR
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo
elemento de A pertence a B.
3
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Indica-se que A é subconjunto de B por: A  B (lê-se “A está contido em B”), ou
ainda, por B Š A (lê-se “B contém A”).
$%œ^[$[%`
Ex.:
(a) Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos
de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das
mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.
(b) ^ 2 5 3 `  ^ 2 5 3 8 9 `
(c) ^ 69 7 5 ` Š ^ 9 6 `
(d) ^ 2 8 `  ^ 2 8 `
3URSULHGDGHV
1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ‡$$
Ex.:
D ‡  ^ 12 3 ` E ‡  ‡ 2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si
mesmo:
$$$
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
$ Œ % , (lê-se “$não está contido em %”)
Ex.:
(a) ^DEF`Œ^DEG`
1RWDV
1 – A relação de inclusão () é usada H[FOXVLYDPHQWH para relacionar um subconjunto
B com um conjunto A que contém B: %$
2 – A relação de pertinência () é usada H[FOXVLYDPHQWH para relacionar um elemento x
com um conjunto A que possui x como elemento: x  A.
4
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
&RQMXQWRFXMRVHOHPHQWRVVmRFRQMXQWRV
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por exemplo, o
conjunto:
3 ^‡^D`^E`^DE``
Nesse caso, ‡ é elemento de P e, portanto, escrevemos ‡  P e não ‡  P. O mesmo
ocorre com os outros elementos:
^D`3^E`3^DE`3
Vejamos alguns subconjuntos de P:
^‡`3^^D``3^^DE``3^^D`^E``3
&RQMXQWRGDV3DUWHVGHXP&RQMXQWR
Considere o conjunto $ ^`. Vamos escrever os subconjuntos de A:
x
x
x
com nenhum elemento: ‡
com um elemento: ^`^`
com dois elementos: ^`
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, e indica-se por 3$ (lê-se P de A)
ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Ex.:
(a) No exemplo acima,
3$ ^‡^`^`^``
(b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
3% ^‡^P`^Q`^S`^PQ`^PS`^QS`^PQS``
Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos
P(A) com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. No segundo exemplo (b), B
tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. De um modo geral, se um
conjunto A tem Q elementos, o números de elementos de P(A) é Q.
Ex.: Se $ ^`, então 3$ terá 25 = 32 elementos.
Nota:
Na formação de um subconjunto de A, para cada um de seus elementos há duas
possibilidades: ou o elemento considerado pertencerá ao conjunto a ser formado ou não.
Assim, um subconjunto estará determinado quando escolhermos para cada elemento de
A uma das possibilidades, sim (S) ou não (N). Escolhida a alternativa S, o elemento
5
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
fará parte do subconjunto a ser formado. Escolhida a alternativa N, o elemento não fará
parte do subconjunto. Teremos então os seguintes subconjuntos para $ ^DEF`
D
E
F
VXEFRQMXQWR
S
S
S
S
N
N
N
N
S
S
N
N
S
S
N
N
S
N
S
N
S
N
S
N
{a, b, c}
{a, b}
{a, c}
{a}
{b, c}
{b}
{c}
‡
Na última coluna, se encontram todos os subconjuntos de A. Como A tem 3 elementos,
então possui 8 subconjuntos e P(A) terá, portanto, 8 elementos.
2SHUDo}HVFRP&RQMXQWRV
10.1.
Intersecção de conjuntos (ˆ)
Dados dois conjuntos A e B, chama-se LQWHUVHFomRGH$FRP% ao conjunto formado
pelos elementos comuns ao conjunto A H ao conjunto B.
A intersecção entre A e B é indicada por $ ˆ % (lê-se ”A intersecção B”). Em
símbolos, define-se:
$ˆ% ^[_[$H[%`
$ˆ% ^[WDOTXH[SHUWHQFHD$H[SHUWHQFHD%`
Ex.:
D$ ^`
% ^`
$ˆ% ^`
E$ ^`
% ^`
$ˆ% ^` $
F $ ^`
% ^`
$ˆ% ‡
Propriedades da intersecção de conjuntos:
6
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
B  A œ A ˆ B = B, A, B
A ˆ B = B ˆ A, A, B
(A ˆ B ) ˆ C = A ˆ (B ˆ C), A , B , C
10.2.
União (ou Reunião) de conjuntos (‰)
Dados dois conjuntos A e B, chama-se XQLmRRX UHXQLmR GH $ FRP% ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A RX a B.
A união de A com B é indicada por $‰% (lê-se ”A união B”). Em símbolos, definese:
$‰% ^[_[$RX[%`
$‰% ^[WDOTXH[SHUWHQFHD$RX[SHUWHQFHD%`
Ex.:
D$ ^`
% ^`
$‰% ^}
E$ ^`
% ^`
$‰% ^` %
F $ ^`
% ^`
$‰% ^`
Propriedades da união de conjuntos:
B  A œ A ‰ B = A, A, B
I I .
A ‰ B = B ‰ A, A, B
(A ‰ B ) ‰ C = A ‰ (B ‰ C), A , B , C
I .
10.3.
I I I .
Diferença de conjuntos ()
Dados dois conjuntos A e B, chama-se GLIHUHQoD HQWUH $ H % ao conjunto formado
pelos elementos de A e que QmR pertençam a B.
A diferença entre A e B é indicada por $ % (lê-se ”A menos B”). Em símbolos,
define-se:
$% ^[_[$H[%`
$% ^[WDOTXH[SHUWHQFHD$H[QmRSHUWHQFHD%`
7
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Ex.:
D$ ^`
% ^`
$±% ^`
%±$ ^`
E$ ^`
% ^`
$±% ^` ‡
%±$ ^`
F $ ^`
% ^`
$±% ^` $
%±$ ^` %
Propriedades da diferença de conjuntos:
I .
I I .
I I I .
10.4.
%  $ œ % $ ‡, $, %
$ ˆ % ‡ œ % $ %, $, %
$ z % œ ( $ % ) z ( % $), $, %
Conjunto complementar (&)
Se A e B são conjuntos tais que $  %, então a diferença B – A é chamada
FRPSOHPHQWDUGH$HP%.
O complementar de A em B é indicado por & %$ (lê-se “complementar de A em B). Em
símbolos, define-se:
& %$
% $ {[ | [  % H [  $} RQGH $  % Ex.:
D$ ^`
% ^`
&RPR $ Π% HQWmRQmRH[LVWH & %$ E$ ^`
% ^`
Existe & %$ , pois $%. & %$
^ 2 4 6 `
Nota: Complementar de um conjunto A em relação a um conjunto universo
Quando tivermos um conjunto universo previamente fixado, indicaremos o
complementar de A em relação a U simplesmente por A’ (ou A ) no lugar de &8$ .
8
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Propriedades do complementar:
I.
II.
III.
IV.
& $$ ‡ , $
& $‡ $, $
( $ ‰ % )’ $’ˆ % ’, $, %
( $ ˆ % )’ $’‰ % ’, $, %
Nota: As propriedades III. e IV. são conhecidas como “leis de De Morgan”.
Referências:
1. PAIVA, Manoel, 0DWHPiWLFD, vol. 1, São Paulo: Moderna, 1a ed., 1999.
2. BIANCHINI, Edwaldo, PACCOLA, Herval, 0DWHPiWLFD, vol. 1, São Paulo:
Moderna, 2a ed., 1996.
9