O que você deve saber sobre
introdução à teoria dos conjuntos
e conjuntos numéricos
As noções de conjunto e as diferentes formas de representá-lo são fundamentais para a
formalização da Matemática. Por meio da linguagem e das operações entre conjuntos, podem-se
resolver problemas do campo da Álgebra e da Estatística.
Na Matemática, o termo conjunto refere-se a uma coleção de objetos com características semelhantes que, por
isso, podem ser reunidos em um grupo.
Representação
Um conjunto pode ser representado por uma amostra de
seus elementos, com base na qual é possível descrever todos os demais – ou, então, por uma frase que indique alguma característica comum a todos eles.
Relações binárias
A relação que se pode estabelecer entre elementos e
conjuntos é a de pertinência: diz-se que um elemento pertence a dado conjunto se dele fizer parte. Utilizam-se os
símbolos  (pertence) e  (não pertence) para representar esse tipo de relação.
A continência é uma relação binária entre conjuntos, semelhante à pertinência. Diz-se que um conjunto A está contido
em outro conjunto B se todos os elementos de A também
pertencem a B. Utilizam-se os símbolos  (está contido) e 
(não está contido) para representar essa relação.
Dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos.
Representação tabular
Os elementos do conjunto são representados entre chaves.
Representação por diagrama
Representam-se os elementos do conjunto por um modelo chamado Diagrama de Venn.
Representação por propriedade
Os elementos do conjunto são indicados pela descrição
de uma propriedade que é comum a todos eles.
Exemplos
Seguem três representações possíveis para um mesmo
conjunto A:
• na forma tabular:
A 5 {0, 2, 4, 6, 8}
• pelo Diagrama de Venn:
A
Observação: Para o conjunto vazio, utiliza-se a notação  ou { }. A notação {} representa um conjunto
unitário cujo único elemento é o conjunto vazio.
4
8
6
Alguns tipos de conjuntos
Finito é um conjunto cuja quantidade de elementos é
limitada.
Infinito é um conjunto cuja quantidade de elementos é
ilimitada.
Universo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um sistema em estudo.
Unitário é um conjunto que possui um único elemento.
Vazio é um conjunto que não possui elementos.
2
0
• pela descrição de uma propriedade que determina seus
elementos:
A 5 {x | x é um número par menor que 10}
III. Subconjuntos
Um conjunto A é denominado subconjunto de B se, e somente se, todos os elementos de A pertencerem a B. Nesse
caso, pode-se dizer também que A está contido em B (A  B).
Também pode-se dizer que B contém A (B  A).
B
II. Formas de representação
O nome de um conjunto qualquer será indicado por uma
letra maiúscula.
Um conjunto pode ser representado de três maneiras diferentes, de acordo com as condições ou as necessidades
para representá-lo.
2
A
C
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I. Conceitos básicos
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Quantidade de subconjuntos
de um conjunto finito
Com base em duas propriedades que envolvem os conjuntos, é possível calcular, pela combinação de seus elementos, a quantidade de subconjuntos que um dado
conjunto pode formar.
As propriedades são:
P1: todo conjunto é subconjunto de si mesmo (A  A).
P2: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (  A, A).
Com base nessas propriedades, pode-se afirmar que:
• o conjunto vazio tem 1 subconjunto:  (ou ele mesmo);
• o conjunto unitário tem 2 subconjuntos:  e ele mesmo;
• um conjunto com dois elementos a e b tem quatro subconjuntos: ; {a}; {b}; e ele mesmo;
• um conjunto com três elementos a, b e c tem oito subconjuntos: ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; e ele mesmo.
Assim:
Quantidade
de elementos
Quantidade
de subconjuntos
0
1 = 20
1
2 = 21
2
4 = 22
3
8 = 23
...
...
n
n
2
Observando a tabela, pode-se generalizar e escrever
que um conjunto A qualquer, com n elementos, contém
2n subconjuntos.
IV. Complementar de um conjunto
Quando se tem um conjunto A contido em B, o complementar de A em relação a B é o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem a A, sendo indicado por:
Se A  B ] CAB 5 {x | x  B e x  A}
A região colorida indica os elementos de B que não pertencem ao conjunto A, ou seja, o complementar de A em
relação a B.
Observação: A condição necessária e suficiente para
que exista CAB é que A  B. Caso contrário, diz-se que
não existe o complementar do conjunto A em relação
ao conjunto B.
V. Operações entre conjuntos
União de A e B
Essas operações têm como resultado um conjunto C formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto
A ou ao conjunto B. Em linguagem matemática:
C 5 A  B 5 {x | x  A ou x  B}
A operação de união está relacionada à utilização da conjunção “ou” na linguagem matemática. Essa conjunção indica a ideia de alternância.
Assim, um elemento será resultado de uma operação de
união se pertencer apenas ao conjunto A, apenas ao conjunto B ou aos dois conjuntos simultaneamente.
Observação: No diagrama representado a seguir, o
conjunto A está contido no conjunto B:
B
A
AB5B
Nesse caso, a união dos conjuntos A e B é o próprio
conjunto B.
Intersecção de A e B
Essa intersecção tem como resultado um conjunto C formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B simultaneamente. Em linguagem matemática:
C 5 A  B 5 {x | x  A e x  B}
A operação de intersecção está relacionada à utilização
da conjunção “e” na linguagem matemática. Essa conjunção indica a ideia de simultaneidade.
Assim, um elemento será resultado de uma operação
de intersecção apenas se pertencer aos dois conjuntos ao
mesmo tempo.
Exemplo
No diagrama representado a seguir, os conjuntos A e B
não têm elementos em comum.
B
A
A
B
AB5
3
Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
O conjunto A está contido no conjunto B (A  B), pois todos os elementos de A pertencem a B. Nesse caso, A é um
dos subconjuntos do conjunto B.
O conjunto C não está contido no conjunto B (C  B), pois
nem todos os elementos de C pertencem a B. Nesse caso,
diz-se que C não é um subconjunto de B.
Observação: No diagrama representado a seguir, o
conjunto A está contido no conjunto B.
B
A
AB5A
Nesse caso, a intersecção dos conjuntos A e B é o próprio conjunto A.
Diferença de A e B
Tem como resultado um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
A
B
C 5 A 2 B 5 {x | x  A e x  B}
Observação: Nas operações de união e intersecção, é
válida a propriedade comutativa, ou seja:
AB5BA
AB5BA
Já na operação de diferença, essa propriedade não
é válida, ou seja:
A2BB2A
VI. Número de elementos das
operações entre conjuntos
Em muitos casos, não estamos diretamente interessados
nos elementos que formam um conjunto, mas na quantidade de elementos que ele tem. Importa menos a identidade
dos elementos do que quantos deles pertencem a um conjunto ou a uma categoria. As operações de união e intersecção têm efeitos diferentes na contagem dos elementos.
Sendo os conjuntos A e B, e n(A) e n(B), respectivamente,
o número de elementos em A e B, tem-se:
1. n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B)
2. n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B)
3. n(A 2 B) 5 n(A) 2 n(A  B)
VII. Conjuntos numéricos
a) Conjunto dos números naturais:
N 5 {0, 1, 2, 3, ...}
b) Conjunto dos números inteiros:
Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
4
c) Conjunto dos números racionais:
a
Q 5 {x | x 5 , com a, b  Z e b  0}
b
d) Conjunto dos números irracionais (I):
É o complementar do conjunto dos números racionais
em relação ao conjunto dos números reais.
Assim, é um subconjunto do conjunto dos números reais,
formado por todos os números que não são racionais e
que, portanto, não podem ser expressos na forma de uma
fração com numerador e denominador inteiros.
e) Conjunto dos números reais (R):
É formado pela união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.
f) Conjunto dos números complexos (C ):
É formado pela união dos conjuntos dos números reais e
dos números que possuem parte imaginária.
Assim, são estabelecidas as seguintes relações entre os
conjuntos numéricos:
• NZQRC
• QI5R
• QI5
Eis a representação desses conjuntos numéricos por
Diagrama de Venn:
C
R
Z
N
I
Q
VIII. Intervalos reais
Um problema que surge quando se trabalha no âmbito
do conjunto dos números reais é descrever todos os valores reais contidos no intervalo de 0 a 1, por exemplo. Isso
não reside no fato de que são infinitos em quantidade, pois
os conjuntos numéricos listados anteriormente também o
são, mas no fato de serem não enumeráveis, isto é, de não
poderem ser postos em correspondência biunívoca com
os números naturais.
Utilização dos colchetes
Pode-se representar o intervalo dado utilizando o símbolo dos colchetes. Escreve-se B 5 [0, 1].
Nessa notação, o valor à esquerda é o limite inferior do intervalo e o valor à direita, o limite superior.
Os colchetes voltados para dentro indicam que os valores
dos limites também são elementos do intervalo.
Agora, observe o conjunto C 5 ]0, 1]. O colchete voltado para fora, à esquerda, indica que o zero não faz parte do conjunto,
mas apenas os valores maiores que zero e menores ou iguais a 1,
já que o colchete da direita está voltado para dentro.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Nesse caso, a intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto vazio. Esses dois conjuntos serão chamados disjuntos.
É outra forma de representação muito conveniente, pois
por meio dela pode-se visualizar a continuidade de um
conjunto numérico. Assim, o conjunto B citado pode ser
representado da seguinte forma:
B
1
0
Observe que as bolinhas fechadas em ambas as extremidades do intervalo indicam que os valores extremos, reunidos
com os pontos intermediários, pertencem ao conjunto B.
Veja abaixo a representação do conjunto C citado:
IX. Operações entre
intervalos reais
Podem-se calcular graficamente operações entre conjuntos de intervalos numéricos.
Exemplos
Considere dois intervalos reais A 5 [22, 5[ e B 5 [4, 7] para calcular as operações descritas a seguir.
1) A  B
A
C
1
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Nesse caso, a bolinha aberta, à esquerda, indica que esse extremo não pertence ao intervalo; a bolinha fechada, à
direita, indica que o outro extremo pertence ao intervalo.
O conjunto C é formado por esse ponto e os demais são representados pelo segmento de reta na cor azul.
A tabela a seguir resume todas as relações que podem
ser estabelecidas a partir de um ou dois números reais a e
b quaisquer, tal que a , b.
{x  R | a < x < b}
{x  R | a , x , b}
{x  R | a < x , b}
{x  R | a , x < b}
{x  R | x > a}
{x  R | x . a}
{x  R | x < a}
{x  R | x , a}
R
Símbolo
5
B
0
Subconjunto
de R
1
0
2
Nome
Intervalo
[a, b]
fechado de
extremos a e b
Intervalo
]a, b[
aberto de
extremos a e b
Intervalo
fechado à
esquerda e
[a, b[
aberto à direita
de extremos
aeb
Intervalo
aberto à
esquerda
]a, b]
e fechado
à direita de
extremos a e b
Intervalo
ilimitado
[a, 1∞)
fechado à
esquerda em a
Intervalo
ilimitado
]a, 1∞)
aberto à
esquerda em a
Intervalo
ilimitado
(2∞, a]
fechado à
direita em a
Intervalo
ilimitado
(2∞, a[
aberto à
direita em a
Intervalo
(2∞, 1∞) ilimitado de
2∞ a 1∞
Representação
no eixo real
a
b
a
b
AB
7
7
2
Portanto, A  B 5 [22, 7].
2) A  B
A
1
0
2
B
5
4
AB
7
4 5
Portanto, A  B 5 [4, 5[.
3) A 2 B
A
a
4
1
0
2
B
b
5
4
AB
7
4
2
Portanto, A 2 B 5 [–2, 4[.
a
b
4) B 2 A
A
2
0
1
B
a
4
BA
a
5
7
5
7
Portanto, B 2 A 5 [5, 7].
5) (A  B) 2 (A  B)
a
AB
a
7
2
AB
4
(A B) (A B)
2
4
5
5
7
Portanto, (A  B) 2 (A  B) 5 [22, 4[  [5, 7].
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Introdução à teoria dos conjuntos e conjuntos numéricos
Reta real