IFPB- CAMPUS CAJAZEIRAS
PROFª. Maria José (Mazé)
A aritmética é um ramo da matemática que lida com as
propriedades elementares das operações com números.
O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos
números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados
com a primalidade, a divisibilidade e a solução de equações em
inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste
estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o
teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas.
Onde e quando esta fantástica aventura da inteligência
Humana começou?
Não sabemos de nada, um fato é certo: houve tempo em que o
Ser humano não sabia contar.
Inúmeras hordas “primitivas” se encontram, ainda hoje, nesse
“grau zero” quanto ao conhecimento dos números. É, por
exemplo, o caso dos zulus e dos pigmeus, da áfrica, dos aranda
e dos kamilarai, da Austrália, dos aborígines das ilhas Murray e
dos botocudos, do Brasil.
Eles só conhecem dois “nomes de números”, um para a unidade
e um outro para o par. Dentro deles, os melhores em aritméticas
chegam a exprimir os números 3 e 4 articulando algo como:
dois-um, dois-dois.
Mas, não avançam mais.
A imprecisão, a confusão: empregam palavras ou expressão
que poderíamos traduzir por muitos, vários, uma multidão.
Para eles é difícil imaginar um número superior ou igual a 5.
O número é “sentido” de modo um tanto qualitativo, um pouco
como percebemos um cheiro, uma cor, um ruído, etc.
As possibilidades numéricas dessas hordas se reduzes a esta
espécie de capacidade natural – percepção direta do número.
O homem das épocas mais remotas desta história devia também
ser incapaz de conceber os números em si mesmos.
Nosso ancestral remoto devia no máximo poder estabelecer uma
diferença nítida entre a unidade, o par e a pluralidade.
Um e dois são os primeiros conceitos numéricos inteligíveis pelo
ser humano. O Um é o homem ativo, associado à obra da
criação. É ele próprio no seio de um grupo social e sua própria
solidão face à vida e à morte. É também o símbolo do homem em
pé, o único ser vivo dotado desta capacidade, como também do
falo ereto que distingue o homem da mulher.
O Dois, a dualidade do feminino e do masculino, à simetria
aparente do corpo humano. É o símbolo da oposição, da
complementaridade, da divisão, da rivalidade, do conflito ou do
antagonismo. E se manifesta, por exemplo, na ideia da vida e da
morte, do bem e do mal, do verdadeiro e do falso etc.
Inúmeras línguas e escritas, antigas ou modernas, trazem as
marcas evidentes destas limitações primitivas. A começar,
evidentemente, por esta distinção gramatical que vários povos
fizeram (ou ainda fazem) entre o singular, o dual e o plural.
Assim, em grego antigo, ho lukos significa “o lobo”, to luko, “os
dois lobos” e hoi lukoi, “os lobos”. Em árabe moderno, empregase igualmente a forma rajulun para “um homem”,rajulani para
“dois homens” e rijalun para “homens”.
Nas inscrições pictóricas do Egito dos faraó conhecemos uma
“ortografia” que consistia em repetir três vezes um mesmo
hieróglifo (ou ainda em acrescentar três pequenos traços
verticais à imagem correspondente): não apenas para figurar
três exemplares do ser ou do objeto assim representado, mas
também para indicar o seu plural.
Em chinês antigo, exprimia-se a ideia de “floresta” repetindo três
vezes o pictograma de uma árvore, e a ideia de “multidão”
reproduzindo três vezes a imagem de um ser humano.
Na língua dos sumérios, os termos empregados para 1, 2 e 3
eram, respectivamente, gesh, min e esh. O primeiro significava
também “o homem, o macho, o membro viril”, e o segundo tinha
como sentido suplementar “a mulher”; quanto ao termo esh
(três), ele tinha também o sentido de “muitos” e servia
normalmente como sufixo verbal para marcar o plural (mais ou
menos como o “s” português).
Existe na língua francesa uma aproximação evidente entre a
palavra trois (três), o advérbio très (“muito”, que marca, para um
adjetivo ou advérbio, uma intensidade elevada a seu mais alto
grau) e a preposição de origem latina trans, que significa
especificamente “além de”. Em francês antigo, o termo tres era
empregado como preposição, com o sentido de “até”, e o verbo
transir significava “falecer” (no sentido de “ir para o alem”).
Em latim, a palavra tres (três) e o prefixo trans evidentemente
tinham o mesmo radical, enquanto ter servia não só para indicar
o sentido de “três vezes” mas também a ideia de uma certa
pluralidade.
Em inglês (arcaíco), a palavra thrice - “três vezes” e “vários”,
three (três), throng (multidão) e through (através) têm
visivelmente a mesma raiz etimológica.
Desde a noite dos tempos o numero 3 foi sinônimo de
pluralidade, de multidão, de amontoado, de além, e constituiu,
conseqüentemente, uma espécie de limite impossível de
conceber ou precisar. O que significa que, no espírito do
homem, a invenção dos números fez uma primeira pausa no 2
...
O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de
contar objetos e seres.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram
usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num
osso...
Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até
dar origem ao número.
Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de
números.
.
Até ao final da história saberá em que época e porque é que o
homem inventou cada um desses números.
O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da
História do Homem. Desde as épocas mais remotas, têm
chegado até nós vestígios que provam a sua importância. Hoje,
os números estão presentes em qualquer atividade do Homem,
desde a mais simples até à mais complexa.
Contar terá sido a primeira “atividade” matemática da
Humanidade. À medida que o Homem evoluiu, a Matemática
foi sendo necessária: ... nas paredes das cavernas; aparecem
desenhos de animais e traços a indicar contagens (cada traço
representa uma coisa. animal, seta, ...).
Para registar os animais mortos numa
caçada, eles limitavam-se a fazer
marcas
numa
vara.
A escrita ainda não tinha sido criada..
Um
pescador,
por
exemplo,
costumava levar consigo um osso de
lobo. A cada peixe que conseguia tirar
da água, fazia um risco no osso.
O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã
bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia
as ovelhas, guardando-as dentro de uma cerca. Mas como
controlar
o
rebanho?
O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi
contar
as
ovelhas
com
pedras.
Assim:
Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra.
No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado,
ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se
após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma
pedra.
Esse pastor jamais poderia imaginar que
milhares de anos mais tarde, haveria um
ramo da Matemática chamado Cálculo,
que em latim quer dizer contas com
pedras.
Foi contando objetos com outros objetos
que a humanidade começou a construir o
conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco,
por exemplo, estaria sempre ligado a
alguma coisa concreta: cinco
dedos,
cinco peixes, cinco bastões,
cinco
animais, e assim por diante.
A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.
Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em
grupos
de
cinco.
Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos,
traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda,
também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade
comum de infinitas coleções de objetos: representa a
quantidade de elementos de um conjunto, não importando se
trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco
aparelhos
de
som.
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem
contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas
aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. A vida ia
ficando cada vez mais complexa. Os agricultores passaram a
produzir alimentos em quantidades superiores às suas
necessidades.
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita.
Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História
verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.
Para fazer os projetos de construção
das pirâmides e dos templos, o
número concreto não era nada prático
e também não ajudava muito na
resolução dos difíceis problemas
criados pelo desenvolvimento da
indústria e do comércio.
Foi partindo dessa necessidade
imediata que estudiosos do Antigo
Egito passaram a representar a
quantidade de objetos de uma
colecção através de desenhos – os
símbolos
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o
desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para
obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por
meio de símbolos.
3+5=8
Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para
representar os números?
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súbdito
chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu
ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde
que a do faraó: provavelmente era um escriba.
Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do
Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes.
Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80
problemas, todos resolvidos.
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o
sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos
hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do
Egito – no século XVIII também foi muito útil.

Os números no antigo Egito eram assim escritos:
Todos os outros números eram escritos
combinando os números-chave.
Ao escrever os números, os egípcios não
se preocupavam com a ordem dos
símbolos.
Observe no desenho que apesar de a
ordem dos símbolos não ser a mesma, os
três garotos do Antigo.
Na região do atual Iraque, desenvolveram-se vários povos,
como sumérios, assírios e babilônios. Estes povos sucederamse na região e fundiram suas culturas de tal forma que serão
tratados aqui genericamente como mesopotâmicos.
O sistema mesopotâmico lembra o dos egípcios, mas apenas
no início. A diferença pode ser vista a seguir, a partir do número
60:
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem
dúvida a mais importante.
Foi em Roma que se desenvolveu e aperfeiçoou o número
concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
Como foi que os romanos conseguiram isso?
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos
novos para representar os números; usaram as próprias letras
do alfabeto.
I V X LC D M
Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o
seu sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete
números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos
povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar
intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para
representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma
das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática:
O sistema de numeração decimal.
Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever,
os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indoarábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso
sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com
isso?
E por que é que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
chamam-se algarismos?
IFRAH, G. Os números – a história de uma grande
invenção, 2ª. edição. Globo, 1994.
EVES, H. Introdução à história da matemática, 3ª. Edição.
Unicamp, 2002.
OBRIGADA