O número natural
Página 1 de 15
2 O número natural
Os egípcios criam os símbolos
Contando com os egípcios
O papiro da Matemática egípcia
A técnica de calcular dos egípcios
Descobrindo a fração
As complicadas frações egípcias
Contando com os romanos
O sistema de numeração romano
Os milhares
Afinal os nossos números
Os árabes divulgam ao mundo os números hindus
Os números racionais
Os egípcios criam os símbolos
Por volta do ano
4.000 a.C., algumas
comunidades primitivas
aprenderam a usar
ferramentas e armas de
bronze. Aldeias situadas
às margens de rios
transformaram-se em
cidades. A vida ia ficando
cada vez mais complexa.
Novas atividades iam
surgindo, graças
sobretudo ao
desenvolvimento do
comércio.
Os agricultores
passaram a produzir
alimentos em quantidades
superiores às suas
necessidades. Com isso
algumas pessoas puderam
se dedicar a outras
atividades, tornando-se
artesãos, comerciantes,
sacerdotes,
administradores.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 2 de 15
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da
Pré-História e o começo da História.
Os grandes
progressos que
marcaram o fim
da Pré-História
verificaram-se com
muita intensidade
e rapidez no
Egito.
Você
certamente já
ouviu falar nas
pirâmides do
Egito.
Para fazer os
projetos de
construção das
pirâmides e dos
templos, o número
concreto não era
nada prático. Ele
também não
ajudava muito na
resolução dos
difíceis problemas
criados pelo
desenvolvimento
da indústria e do
comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em
um osso?
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito
passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de
desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o
desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8
bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3+5=8
Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso
não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram
os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 3 de 15
Contando com os egípcios
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito
chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais
humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais
conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele
é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro
Ahmes é um
antigo manual de
matemática.
Contém 80
problemas, todos
resolvido. A
maioria
envolvendo
assuntos do diaa-dia, como o
preço do pão, a
armazenagem de
grãos de trigo, a
alimentação do
gado.
Observando e
estudando como
eram efetuados
os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de
numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições
sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi
muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 4 de 15
100.000 1.000.000
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1
unidade:
Um osso de calcanhar invertido
representava o número 10:
Um laço valia 100 unidades:
Uma flor de lótus valia 1.000:
Um dedo dobrado valia 10.000:
Com um girino os egípcios
representavam 100.000 unidades:
Uma figura ajoelhada, talvez
representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos
algarismos é muito importante.
Se tomarmos um número, como por exemplo:
256
e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números
completamente diferentes:
265 526 562 625 652
Ao escrever os números, os
egípcios não se preocupavam com
a ordem dos símbolos. Observe no
desenho que apesar de a ordem
dos símbolos não ser a mesma, os
três garotos do Antigo Egito estão
escrevendo o mesmo número:
45
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 5 de 15
Os papiros da Matemática egípcia
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se
baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente
5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um
antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também
como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de
Londres.
O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8
cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não
se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam
efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as
operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.
Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser
adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
+9
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a
muliplicação:
Número de parcelas
1
2
4
8
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
Resultado
9
18
36
72
2/8/2008
O número natural
Página 6 de 15
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a
soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13
O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta
três colunas:
9 + 36 + 72 = 117
Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos
com números inteiros.
Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes.
Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó
mandava funcionários examinarem e determinarem por medida
a extensão exata da perda.”
Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca
de 2.300 anos.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
Uma vez
por ano, na
época das
cheias, as
águas do Nilo
sobem muitos
metros acima
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 7 de 15
de seu leito
normal,
inundando
uma vasta
região ao
longo de suas
margens.
Quando as
águas baixam,
deixam
descobertas
uma estreita
faixa de terras
férteis,
prontas para
o cultivo.
Desde a
Antigüidade,
as águas do
Nilo fertilizam
os campos,
beneficiando a
agricultura do
Egito. Foi nas
terras férteis
do vale deste
rio que se
desenvolveu a
civilização
egípcia.
Cada
metro de terra
era precioso e
tinha de ser
muito bem
cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores
privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo
começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que
cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição.
Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas
encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela
unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem
conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida
escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do
terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 8 de 15
número fracionário.
Para representar os números fracionários, usavam frações.
As complicadas frações egípcias
Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da
unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com
numerador igual a 1.
Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado
sobre o denominador.
As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de
numerador 1.
Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações,
porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita
freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles
que envolviam números fracionários eram muito complicados.
Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio
sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer
um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma
dificuldade.
Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de
numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o
sistema de numeração romano.
Contando com os romanos
De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a
mais importante.
Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até
ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes
enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos.
Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde
nas campanhas de conquistas de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a
península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte
de África.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 9 de 15
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo
e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas
luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite
romana.
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o
número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
Como foi que os romanos conseguiram isso?
O sistema de numeração romano
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para
representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L
C D M
Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu
sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 10 de 15
D valia 500.
M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam
os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes
do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus
valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o cartaz,
ficamos sabendo que o
exercíto de Roma fez
numa certa época MCDV
prisioneiros de guerra.
Para ler um número como
MCDV, veja os cálculos
que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra
de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 11 de 15
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
Os milhares
Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra
M.
Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
E os números maiores que 3.000?
Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam
um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas
ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar
intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os
números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais
notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de
numeração decimal.
Afinal os nossos números
No século VI foram fundados na Síria alguns
centros de cultura grega. Consistiam numa espécie
de clube onde os sócios se reuniam para discutir
exclusivamente a arte e a cultura vindas da
Grécia.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 12 de 15
Ao participar de uma conferência num destes
clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt,
profundamente irritado com o fato de as pessoas
elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos,
explodiu dizendo:
“Existem outros povos que também sabem alguma coisa!
Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos.
São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos
são feitos por apenas nove sinais!”.
A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais
importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a
invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia –
um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas
foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal
qual o conhecemos hoje estava completo.
Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos
criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de
numeração, o que os árabes têm a ver com isso?
E por que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
são chamados de algarismos?
Os árabes divulgam ao mundo
os números hindus
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 13 de 15
Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum alRaschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma
noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum alRaschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras
de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos
foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum alRahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em
todos os ramos do saber do que eu”.
Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o
maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios
muçulmanos da época.
Entre eles estava o mais
brilhante matemático árabe de todos
os tempos: al-Khowarizmi.
Estudando os livros de
Matemática vindos da Índia e
traduzidos para a língua árabe, alKhowarizmi surpreendeu-se a
princípio com aqueles estranhos
símbolos que incluíam um ovo de
ganso!
Logo, al-Khowarizmi
compreendeu o tesouro que os
matemáticos hindus haviam
descobertos. Com aquele sistema de
numeração, todos os cálculos seriam
feitos de um modo mais rápido e
seguro. Era impossível imaginar a
enorme importância que essa
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
Página 14 de 15
descoberta teria para o
desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um
livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes
como funcionavam os dez símbolos hindus.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram
conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a
notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus.
Daí o nome algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados
para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema
de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.
Os números racionais
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer
número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98
1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar
as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais.
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números
fracionários.
Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por
meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos
egípcios.
O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois
números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números
inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de
dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
A descoberta de números racionais foi um grande passo para o
desenvolvimento da Matemática.
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
2/8/2008
O número natural
http://usuarios.upf.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
Página 15 de 15
2/8/2008