Delineamentos Fatoriais Fracionários
com Dois Níveis
Nos experimentos fatoriais, o número de tratamentos aumenta rapidamente quando temos
muitos fatores em estudo. Por exemplo: 26 = 64 tratamentos, a divisão dos graus de liberdade é
dada por:
6 graus de liberdade para os efeitos principais
15 gruas de liberdade para as interações de 1a ordem (interações com dois fatores)
42 graus de liberdade para interações de 2a ordem ou de ordem superior
Se o pesquisador pode assumir que as interações de maior ordem (2a ordem ou acima) podem
ser desprezíveis, então, informações sobre os efeitos principais e interações de ordem menor
podem ser obtidas utilizando apenas uma fração do experimento fatorial completo.
Estes delineamentos estão entre os mais usados em projetos de desenvolvimento de produtos
e processos e, também, na melhoria de processos.
1
Principal uso: experimentos pilotos (screening experiments)  são experimentos, nos
quais, usamos muitos fatores, com o propósito de identificar aqueles com efeito
bastante grande. Geralmente são realizados numa etapa anterior ao experimento
definitivo. Os fatores identificados com efeito significante, são estudados num
experimento mais completo.
Três idéias básicas:
1) quando existem muitas variáveis, o processo ou o sistema é conduzido por alguns poucos
efeitos principais e interações de menor ordem;
2) A partir dos experimentos fatoriais fracionários podemos projetar experimentos mais
completos (maiores) dentro de um subconjunto de fatores significantes;
3) Pode-se combinar dois ou mais experimentos fracionários, sequencialmente e, assim,
estimar os efeitos e interações de interesse.
2
Exemplo: Validação de metodologia
ROBUSTEZ
De acordo com as recomendações do INMETRO para a realização do teste de Youden, as
variações analisadas foram dispostas em oito combinações de ensaio com as ordens
previamente definidas como mostra a Tabela.
Tabela. Fatores com as respectivas variações
Fator
Nominal
Variação
Massa da amostra
5g (A)
10g (a)
Utilização do vidro relógio
Com (B)
Sem (b)
Tempo de aquecimento
5 minutos (C)
10 minutos ( c)
Agitação
20x (D)
3x (d)
Vidraria
Conjunto 1 (E)
Conjunto 2 (e)
Tempo de repouso para leitura da absorbância
10 minutos (F)
2 horas (f)
Temperatura da Mufla
550ºC (G)
600ºC (g)
3
Fração 1/2 de um delineamento 2k
Vamos considerar o experimento fatorial: 23=8 tratamentos. Porém, só podemos realizar 4
tratamentos, assim, temos:
1
2 2 2
3
3
1
2
3 1
2k-p
2 4
2
onde k=3 e p=1
2
1
2
A tabela com sinais de + e - para o fatorial 23 é dada na tabela a seguir:
p
2
k
3
T rata m e n to s
a
b
c
ab c
ab
ac
bc
(1 )
I
+
+
+
+
+
+
+
+
T ab e la d e sina is + e - p ara o fato ria l 2
E fe ito s Fato ria is
A
B
C
AB
AC
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
-
4
+
C
+
a
-
A
B
-
+
5
Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para o nosso experimento.
Observe que o nosso fatorial fracionário 23-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a
coluna ABC. Então ABC é chamado de GERADOR da fração.
Observe que, para a fração escolhida, temos:
I=ABC
denominada de RELAÇÃO DE DEFINIÇÃO (DEFINIDORA).
Em geral, a relação de definição, sempre será o conjunto de todas as colunas que são iguais a
coluna identidade I. No exemplo, temos uma só coluna.
Observando-se a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos
principais de A, B e C, são:
lA 
1
2
( a  b  c  abc )
lB 
1
2
(  a  b  c  abc )
lC 
1
2
(  a  b  c  abc )
6
Observamos, também, que as combinações lineares para estimar os efeitos das interações
com dois fatores são:
Observamos, que:
l BC 
1
2
( a  b  c  abc )
l AC 
1
2
(  a  b  c  abc )
l AB 
1
2
(  a  b  c  abc )
l A  l BC
l B  l AC
lC  l AB
Na realidade, estamos estimando: A+BC; B+AC; C+AB
Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de ASSOCIADOS (ALIASES).
Portanto, A e BC são associados, e assim por diante. Notação:
l A  A  BC ; l B  B  AC ; lC  C  AB
A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC.
Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os associados para aquele
efeito. No exemplo, o associado do efeito A é:
A.I=A.ABC=A2BC=A0BC=BC
A=BC
(Dois módulo
dois=0)
7
De forma similar, encontramos:
B.I=B.ABC=AB2C=AB0C=AC
B=AC
e
C.I=C.ABC=ABC2=ABC0=AB
C=AB
Esta fração, com I=+ABC, é denominada de fração principal.
A fração 1/2 complementar, é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc. A relação de
definição para esta fração é:
I=-ABC
As combinações lineares, para esta fração, são:
l A  A  BC ; l B  B  AC ; l C  C  AB
'
'
'
Assim, quando nós estimamos A,B e C, com esta fração, nós realmente estamos estimando:
A-BC; B-AC; C-AB
8
Se, após executarmos uma fração do experimento, executarmos a outra fração do
experimento, teremos os 8 tratamentos. Agora, podemos estimar todos os efeitos. Isto é feito
através da adição e subtração das combinações lineares dos efeitos das frações individuais.
Por exemplo:
1
2
(lA  lA ) 
1
2
( A  BC  A  BC )  A
1
2
(lA  lA ) 
1
2
( A  BC  A  BC )  BC
'
'
E, assim, para os demais efeitos.
A resolução de um delineamento
1- Resolução III. Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito
principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e
interações com dois fatores podem estar associadas entre elas.
2- Resolução IV. Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito
principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão
associadas entre elas.
3- Resolução V. Os efeitos principais ou interações com dois fatores não estão associados
com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois
fatores estão associadas com interações de três fatores.
9
Em geral, a resolução de um delineamento fatorial fracionário com dois níveis é igual ao
menor número de letras em qualquer palavra na relação definidora. Quanto maior a
resolução, mais fácil é a interpretação dos dados.
Construção das frações 1/2.
Para ilustrar a técnica do fracionamento (1/2 dos tratamentos), de resolução máxima, em
experimentos fatoriais 2k, vamos considerar um experimento com k=5 fatores.
1) escrever um fatorial completo (delineamento básico), com 2 k-1 tratamentos. No
exemplo, temos 25-1 = 24 (nos fatores A, B, C e D) = 16 tratamentos, sem repetição.
Trat
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
A
+
+
+
+
+
+
+
+
B
+
+
+
+
+
+
+
+
C
+
+
+
+
+
+
+
+
D
+
+
+
+
+
+
+
+
E=ABCD
+
+
+
+
+
+
+
+
Tratamentos Resultados
e
8
a
9
b
34
abe
52
c
16
ace
22
bce
45
abc
60
d
6
ade
10
bde
30
abd
50
cde
15
acd
21
bcd
44
abcde
63
10
2) Adicionar uma coluna para o fator E. Vamos identificar os seus sinais de + e - com os sinais
de + e - da interação ABCD (ABC...(K-1)),portanto, E=ABCD. A fração alternativa pode ser
obtida fazendo-se E=-ABCD.
3) A relação de definição é dada por: I=ABCDE. De modo geral I=ABC...K.
Cada um dos efeitos principais terá uma interação de terceira ordem (4 fatores) como associado, e
cada interação de primeira ordem (2 fatores) estará associada à uma de segunda ordem ( 3
fatores). Dessa maneira, o delineamento é de resolução V, e espera-se que este tipo de ensaio, dê
informações satisfatórias com relação aos efeitos principais e interações de primeira ordem.
Exemplo: (Montgomery, fourth edition, página 378)[arquivo:
filtrationrateexperiment2na4menos1.sas]. Sobre a produção de um produto químico em um
recipiente sob pressão. É um experimento fatorial 24, com uma repetição, onde os fatores são: A=
Temperatura B= Pressão; C= Concentração de formaldeído; D= taxa de agitação.
Vamos usar o delineamento 24-1, com relação de definição I=ABCD, com esta escolha do gerador
(D=ABC) vamos conseguir um delineamento com a maior resolução possível (IV).
O delineamento é mostrado na tabela a seguir.
11
4-1
E xperim e ntos
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
D elinea m e nto 2 co m co ntraste de finiçã o I= A B C D
3
Fa toria l 2 co m p leto
T rata m e ntos
D=ABC
C
B
A
(1)
ad
+
+
bd
+
+
ab
+
+
cd
+
+
ac
+
+
bc
+
+
abcd
+
+
+
+
T a xa
45
100
45
65
75
60
80
96
Cada efeito principal é associado com uma interação de três fatores, por exemplo,
AI=A(ABCD)=A2BCD=BCD. Interações com dois fatores estão associados com outras interações de
dois fatores, por exemplo: AB.ABCD=A2B2CD=CD.
As estimativas dos efeitos, por exemplo, para lA, é dada por:
lA 
1
4
(  45  100  45  65  75  60  80  96 )  19 ,00  A  BCD
A tabela a seguir mostra as estimativas dos efeitos e a estrutura dos associados.
12
E stim ativas
L A = 19,00
A ssoc iados
L A A + B C D
L B = 1,50
L B B + A C D
L C = 14,00
L C C + A B D
L D = 16,50
L D D + A B C
L A B = -1,00
L AB A B + C D
L A C = -18,50
L AC A C + B D
L A D = 19,00
L AD A D + B C
Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o
fator B, não é significativo, vamos desconsiderá-lo da análise.
13
.Pode-se verificar o efeito das interações na figura abaixo.
75
96
80
60
+
(C)
45
100
45
-
Temperatura (A)
+
65
-
+
(D)
14
Podemos ajustar um modelo de regressão para fazer predições dentro da faixa de pesquisa. O
modelo é dado por:
yˆ  ˆ 0  ˆ1 x 1  ˆ 3 x 3  ˆ 4 x 4  ˆ13 x 1 x 3  ˆ14 x 1 x 4
Onde: xi são variáveis codificadas (-1 xi  1) e os ’s são os parâmetros do modelo e que
devem ser estimados. O modelo de regressão estimado é dado por:
yˆ  70 ,75  9 ,5 x1  7 ,0 x 3  8 , 25 x 4  (  9 , 25 ) x1 x 3  9 ,5 x1 x 4
O intercepto é a média geral de todas as respostas. Na página seguinte ver superfície de
resposta.
Estimação do valor da taxa: temperatura = 1, concentração = -1 e agitação = 1.
ŷ  70 ,75  9 ,5 . 1  7 ,0 .  1  8 ,25 . 1  (  9 ,25 ). 1 .  1  9 ,5 . 1 . 1  100 ,25
15
Pressão = 1 e formaldeído = 1
16
Exemplo: [arquivo: example9_2process_improvement.sas] para o fatorial 25, vamos dar nomes
aos fatores: A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de
potássio; D=níveis de fermento; E=níveis de água.
O resultados a seguir foram obtidos através do SAS Software. Pode-se observar na tabela que
os maiores coeficientes de regressão foram obtidos para os efeitos: A, B, C e AB. O gráfico
normal de probabilidades para as estimativas dos efeitos mostra que os efeitos de A, B , C e
AB, são os maiores. Lembre-se, que esses efeitos, na verdade, estão estimando:
A+BCDE, B+ACDE, C+ABDE e AB+CDE
Entretanto, parece ser, de bom senso, que interações com 3 fatores e maiores são desprezíveis
e, concluímos, que apenas os efeitos de A, B, C e AB, são importantes.
17
Parameter
Degrees
of
Freedom
INTERCEPT
A
B
C
D
E
B*A
C*A
C*B
D*A
D*B
D*C
E*A
E*B
E*C
E*D
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Parameter
Estimate
30.312500
5.562500
16.937500
5.437500
-0.437500
0.312500
3.437500
0.187500
0.312500
0.562500
-0.062500
0.437500
0.562500
-0.062500
0.187500
-0.687500
EFEITO
A
B
C
D
E
AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE
ESTIMADO
11.125
33.875
10.875
-0.875
0.625
6.875
0.375
1.125
1.125
0.625
-0.125
-0.125
0.875
0.375
-1.375
18
Plot of VI*X$EFEITO.
2.0
1.5
R
A
N
K
1.0
F
O
R
0.5
V
A 0.0
R
I
A
B
L -0.5
E
X
-1.0
-1.5
-2.0
Symbol points to label.
‚
‚
ˆ
‚
‚
‚
> B
‚
ˆ
‚
‚
‚
> A
‚
ˆ
‚
> C
‚
‚
> AB
‚
ˆ
‚
AE 2 AD
‚
‚
> CD
‚
ˆ
‚
BC 2 E
‚
‚
‚
CE 2 AC
ˆ
‚
‚
‚
BE 2 BD
‚
ˆ
‚
‚
> D
‚
‚
ˆ
‚
‚
> DE
‚
‚
ˆ
‚
Šƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒ
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
X
19
A tabela a seguir apresenta a análise de variância com os efeitos importantes.
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: YIELD
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
4
5747.25000000
1436.81250000
560.71
0.0001
Error
11
28.18750000
Corrected Total
15
5775.43750000
R-Square
Source
A
B
C
A*B
C.V.
2.56250000
Root MSE
YIELD Mean
0.995119
5.280927
1.60078106
30.31250000
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
1
1
1
495.06250000
4590.06250000
473.06250000
189.06250000
495.06250000
4590.06250000
473.06250000
189.06250000
193.20
1791.24
184.61
73.78
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
20
A distribuição é
aleatória em torno
de zero.
Segue aproximadamente a
distribuição normal.
21
Verificando-se o gráfico da interação A x B, conclui-se que a maior produção é obtida nos
níveis altos de A e de B.
B+
Produção
63
B-
6
Baixo
Alto
A
22
Fração 1/4 de um delineamento 2k
Estes experimentos contém 2k-2=2k2-2=2k/22=2k/4 tratamentos. São chamados de fatoriais
fracionários 2k-2.
Construção: vamos através de um exemplo ilustrar a construção desses fatoriais fracionários.
Vamos considerar um fatorial fracionário 26-2.
1) Inicialmente, vamos escrever um fatorial completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-2=4 (ver
tabela na próxima página).
2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada de interações com os primeiros k-2 fatores.
Assim os fracionários (1/4)2k, tem dois geradores. Suponha que escolhemos I=ACDF e
I=BCDE como geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE é ABEF; portanto, a
relação de definição completa é dada por:
I=ACDF=BCDE=ABEF
portanto, este delineamento é de resolução 4. Os associados, para qualquer efeito, é obtido
multiplicando-se este fator por cada palavra da relação de definição. Por exemplo, para o
efeito A, temos: A=CDF=ABCDE=BEF (cada fator tem 3 associados).
Os efeitos principais estão associados com interações de três e cinco fatores, ao passo que
interações com dois fatores estão associados com interações de dois fatores ou mais. Portanto,
quando estimamos A, na verdade estamos estimando, A+CDF+ABCDE+BEF. Se as interações
triplas ou de maior ordem são desprezíveis, então este delineamento dá estimativas dos efeitos
23
principais.
6 -2
C onstrução de um fatorial fracionário 2 , de resolução IV , com relação definição: I= A C D F I= B C D E
4
F atorial 2 com pleto
E xperim entos
A
B
C
D
E = B C D F = A C D C om binações P roteínas
1
(1)
6
2
+
+
af
10
3
+
+
be
32
4
+
+
+
+
abef
60
5
+
+
+
cef
4
6
+
+
+
ace
15
7
+
+
+
bcf
26
8
+
+
+
abc
60
9
+
+
+
def
8
10
+
+
+
ade
12
11
+
+
+
bdf
34
12
+
+
+
abd
60
13
+
+
cd
16
14
+
+
+
+
acdf
5
15
+
+
+
+
bcde
37
16
+
+
+
+
+
+
abcdef
52
Exemplo de fatorial 26 [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4.sas]; vamos estudar mais
um fator no experimento anterior: A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura;
C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E= água; F=leite em pó. Vamos supor
que o pesquisador usou as 16 combinações da tabela acima.
24
0 = A*B*E*F = A*C*D*F = B*C*D*E
A = B*E*F = C*D*F = A*B*C*D*E
B = A*E*F = C*D*E = A*B*C*D*F
C = A*D*F = B*D*E = A*B*C*E*F
D = A*C*F = B*C*E = A*B*D*E*F
E = A*B*F = B*C*D = A*C*D*E*F
F = A*B*E = A*C*D = B*C*D*E*F
A*B = E*F = A*C*D*E = B*C*D*F
A*C = D*F = A*B*D*E = B*C*E*F
A*D = C*F = A*B*C*E = B*D*E*F
A*E = B*F = A*B*C*D = C*D*E*F
A*F = B*E = C*D = A*B*C*D*E*F
B*C = D*E = A*B*D*F = A*C*E*F
B*D = C*E = A*B*C*F = A*D*E*F
A*B*C = A*D*E = B*D*F = C*E*F
A*B*D = A*C*E = B*C*F = D*E*F
Parameter
Regression
Coefficient
EFEITO
INTERCEPT
A
B
C
D
E
F
B*A+E*F
C*A+D*F
C*B+D*E
D*A+C*F
D*B+C*E
E*A+B*F
F*A+B*E
27.312500
0.687500
-0.437500
17.812500
6.937500
0.187500
0.062500
-0.062500
-0.062500
-0.937500
-2.687500
-0.812500
0.312500
5.937500
A
B
C
D
E
F
AB
AC
AD
AE
AF
BC
BD
Estimativa
1.375
-0.875
35.625
13.875
0.375
0.125
-0.125
-0.125
-5.375
0.625
11.875
-1.875
-1.625
25
Os maiores efeitos são:
C(Bromato de potássio),
D(Fermento) e A*F(Farelo de
aveia*leite em pó). Como a
interação A*F foi significativa,
para manter o princípio da
hierarquia, recomenda-se
incluir no modelo de regressão
os efeitos de A e de F.
Comentários:
* Fazer estudo das interações (gráficos)
Fatoriais fracionários
2k-p
* fazer gráficos de resíduos versus fatores
(ver variabilidade)
Quando usamos a fração 1/(2p), temos um experimento com 2k-p tratamentos e o experimento é
denominado de fatorial fracionário 2k-p.
- Necessita-se de p geradores independentes
- A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2p-p-1
interações.
A estrutura de associados pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pela relação de
definição.
26
Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2k-p, de tal forma que
efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse.
Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior
resolução possível.
Montgomery, 1997, página 398-400, apresenta uma série de experimentos fatoriais fracionários
2k-p para k15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta sugestões de geradores os quais resultam
num delineamento de maior resolução possível.
Uso de blocos nos fatoriais fracionários
Algumas vezes, nos fatoriais fracionários necessita-se utilizar muitos tratamentos e não temos
material experimental homogêneo suficiente, ou seja, as unidades experimentais são
heterogêneas. Nestas situações podemos confundir, geralmente interações desprezíveis podem ser
confundidas com blocos, ou seja, não sabemos se o que estamos testando é efeito de blocos ou
dos efeitos.
O apêndice Tabela XII, Montgomery, 1997, página 683-699, contém projetos de blocos para
diversos fatoriais fracionários.
27
Exemplo [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4.sas]: para ilustrar a técnica de
confundimento, vamos usar o fatorial fracionário 26-2, de resolução IV, com relação de
definição I=ACDF=BCDE=ABEF. Este delineamento contém 16 tratamentos. Vamos fazer
o experimento com dois blocos de 8 tratamentos cada. Vamos precisar selecionar uma
interação para confundir com blocos, examinando a estrutura de associados, observamos
que existem dois conjuntos de associados que envolvem interações com 3 fatores. Vamos
selecionar a interação ABC para confundir com blocos.
6 -2
C o nstru ção d e u m fato ria l fr ac io nár io 2 ,
d e reso lu ção IV , co m re lação d e fin iç ão :
I= A C D F I= B C D E
E xp er im e nto s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
C o m b in açõ es
(1 )
af
be
a b ef
cef
a ce
b cf
abc
d ef
ade
bdf
abd
cd
a cd f
b cd e
a b cd ef
S ina is
+
+
+
+
+
+
+
+
Bloco I
(1)
Bloco II
af
abef
be
ace
cef
bcf
abc
def
ade
abd
bdf
acdf
cd
bcde
abcdef
Podemos usar o método da geometria finita
para fazer o confundimento:
L   1 x1   2 x 2   3 x 3  0 (mod 2 );
L   1 x1   2 x 2   3 x 3  1(mod 2 );
28
Delineamentos de resolução III
Vamos tratar, através de um exemplo, do uso seqüencial de delineamentos fatoriais fracionários,
pois eles representam economia e eficiência na experimentação.
É possível construir experimentos fatoriais fracionários de resolução III para estudar k=N-1
fatores em apenas N combinações (tratamentos) ou realizações, onde N é um múltiplo de 4. Por
exemplo, 4 realizações para 3 fatores, 8 realizações para k=7 e 16 realizações para 15 fatores.
Se k=N-1 o fatorial fracionário é dito saturado.
Fatorial fracionário 27-4 de resolução III
Construção:
1) escrever um delineamento completo básico para o fatorial 27-4=23=8 realizações em A, B e C;
2) vamos associar os níveis dos outros 4 fatores com as interações dos três fatores originais (A,B e
C) do seguinte modo: D=AB, E=AC, F=BC, G=ABC;
3) os geradores são: I=ABD, I=ACE, I=BCF, I=ABCG;
4) a relação de definição é obtida multiplicando-se os geradores dois a dois, três a três e quatro a
quatro. Daí obtemos:
I=ABD=ACE=BCF=ABCG=BCDE=ACDF=CDG=ABEF=BEG=AFG=DEF=ADEG=CEFG=
BDFG=ABCDEFG
29
Nome da tabela: professor.
F ato rial 2
R ealização
1
2
3
4
5
6
7
8
7 -4
, reso lu ção III co m g erado res I= A B D , I= A C E , I= B C F , e I= A B C G
D elin eam ento b ásico
A
B
C
D=AB E=AC F=BC G=ABC
+
+
+
d ef
+
+
+
a fg
+
+
+
b eg
+
+
+
a bd
+
+
+
cdg
+
+
+
a ce
+
+
+
b cf
+
+
+
+
+
+
+
a bcd efg
30
5) para encontrar os associados para qualquer efeito, multiplicar o efeito por cada palavra
da relação definidora. Por exemplo, os associados para B, são:
B=AD=ABCE=CF=ACG=CDE=ABCDF=BCDG=AEF=EG=ABFG=BDEF=ABDEG=
BCEFG=DFG=ACDEFG
Este delineamento tem (1/16)27=8 tratamentos. É de resolução III, pois a menor “palavra” da
relação definidora tem 3 letras. Qualquer um dos 16 diferentes delineamentos podem ser
construídos usando-se geradores com um dos 16 possíveis arranjos em I= ±ABD, I= ±ACE, I=
±BCF, I= ±ABCG. Nesse delineamento foi escolhido os sinais positivos dos geradores (fração
principal).
Os 7 graus de liberdade podem ser usados para estimar os 7 efeitos principais. Cada um desses
efeitos tem 15 associados; entretanto, se nós assumirmos que interações de 3 fatores ou de ordem
maior são desprezíveis, então considerável simplificação ocorre na estrutura dos associados.
Fazendo esta suposição, cada combinação linear associada com os 7 efeitos principais nesse
delineamento estimam os efeitos principais e três interações duplas:
l A  A  BD  CE  FG
l B  B  AD  CF  EG
l C  C  AE  BF  DG
l D  D  AB  CG  EF
Lembrete: fazer algumas
interpretações, gráficos.
l E  E  AC  BG  DF
l F  F  BC  AG  DE
l G  G  CD  BE  AF
Apêndice tabela XII(h)
31
Construção de delineamentos de resolução III para estudos com menos do que 7 fatores
em 8 realizações
Podemos usar o fatorial fracionário 27-4, de resolução III.
Exemplo: desejamos fazer um estudo com 6 fatores em 8 realizações. Para gerar
este delineamento simplesmente, eliminamos qualquer coluna da tabela do fatorial
27-4, de resolução III, por exemplo, a coluna do fator G. Assim temos o
delineamento:
6-3
Fa toria l 2 , reso lução III co m ge radores I= A B D , I= A C E , I= B C F
D elinea m e nto bás ico
R ealização
A
B
C
D = A B E = A C F= B C
1
+
+
+
def
2
+
+
af
3
+
+
be
4
+
+
+
abd
5
+
+
cd
6
+
+
+
ace
7
+
+
+
bcf
8
+
+
+
+
+
+
abcd
ef
32
A relação definidora para o delineamento 26-3, de resolução III, é a mesma do delineamento 27-4
com qualquer “palavra” que contenha a letra G sendo eliminada. Assim, a relação definidora,
fica:
I=ABD=ACE=BCF=BCDE=ACDF=ABEF=DEF
Realização sequencial de frações para separar efeitos – Fold Over
Combinando-se delineamentos fatoriais fracionários nos quais certos sinais são trocados (nos
geradores), podemos sistematicamente isolar efeitos de grande interesse. Este tipo de experimento é
chamado Fold over do delineamento original
Exemplo: voltamos a considerar o delineamento 27-4, de resolução III. Suponha que, junto com
a fração principal, uma segunda fração do delineamento foi utilizada com os sinais trocados na
coluna para o fator D. Isto é, a coluna para D é dada por:
-++--++Na fração principal a coluna D tem sinais: + - - + + - - +.
Os efeitos que podem ser estimados nesta segunda fração são (assumindo que interações de três
fatores ou maior não são significativas):
l A  A  BD  CE  FG
l B  B  AD  CF  EG
l C  C  AE  BF  DG
l D  D  AB  CG  EF
'
'
'
'
i . e ., l D   D  AB  CG  EF
l E  E  AC  BG  DF
'
l F  F  BC  AG  DE
'
'
l G  G  CD  BE  AF
'
33
Agora, a partir das duas combinações lineares dos efeitos
obtemos,
1
2
( li  li )
1
2
( li  li )
'
'
i
1 / 2 ( li  li )
A
B
C
D
E
F
G
A + C E + FG
B + C F+ E G
C+AE+BF
D
E+AC+BG
F+ B C + A G
G+BE+AF
'
1 / 2 ( li  li )
'
BD
AD
DG
AB+CG+EF
DF
DE
CD
Assim, isolamos o efeito principal de D e todas as suas interações de dois fatores. Em geral, se nós
adicionamos a um fatorial fracionário de resolução III ou maior, mais uma fração com os sinais
trocados de um único fator, então, o delineamento combinado produzirá estimativas do efeito
principal deste fator e de todas as suas interações duplas.
Agora, suponha que nós adicionamos uma segunda fração com os sinais trocados de todos os
fatores.Este procedimento o qual é denominado “full fold over” (Completamente dobrado ou
fracionado), quebra a associação entre efeitos principais e interações de dois fatores. Isto é, nós
podemos usar um delineamento combinado para estimar todos os efeitos principais, livres de
interação de dois fatores.
34
Exemplo:[arquivo: fatfracionario2na7menos4formulacaoqueijo.sas] um tecnólogo fez um
experimento para formular um queijo. Dentre diversas variáveis respostas, ele está
interessado em estudar a variável denominada sólidos totais. O pesquisador selecionou um
conjunto de sete fatores sobre os quais ele tem controle. Os fatores julgados importantes
pelo pesquisador são: A) extrato aquoso de soja, B) leite bovino, C) sal, D) ácido láctico, E)
tempo de acidificação da massa, F) temperatura da massa e G) Coalho. Dois níveis de cada
fator foram considerados. O pesquisador suspeita que apenas alguns fatores são
significantes e que interações de alta ordem são desprezíveis. Assim, o pesquisador decide
realizar um experimento piloto para identificar os fatores importantes e, então, concentrar
esforços nos fatores significativos. Ele usou as combinações de tratamentos de um 2 7-4, de
resolução III da tabela professor, em ordem aleatória, obtendo os seguintes valores de
sólidos totais:
7-4
Fa toria l 2 , reso lução III co m ge radores I= A B D , I= A C E , I= B C F, e I= A B C G
D elinea m e nto bás ico
R ealização
A
B
C
D = A B E = A C F= B C
G=ABC
S ó lidos
1
+
+
+
def
85,5
2
+
+
+
afg
75,1
3
+
+
+
beg
93,2
4
+
+
+
abd
145,4
5
+
+
+
cdg
83,7
6
+
+
+
ace
77,6
7
+
+
+
bcf
95,0
8
+
+
+
+
+
+
+
abcd 141,8
efg
35
Os valores estimados dos sete efeitos principais e seus associados são:
l A  20 , 63  A  BD  CE  FG
l B  38 , 38  B  AD  CF  EG
l C   0 , 28  C  AE  BF  DG
l D  28 ,88  D  AB  CG  EF
l E   0 , 28  E  AC  BG  DF
l F   0 , 63  F  BC  AG  DE
l G   2 , 43  G  CD  BE  AF
Por exemplo: l A 
1
4
  85 ,5
 75 ,1  93 ,2  145 ,4  83 ,7  77 ,6  95  141 ,8   20 ,63
Os três maiores efeitos são: lA, lB e lD. Portanto, os efeitos de A, B e D são significantes.
Entretanto, poderíamos interpretar que A,B e a interação AB, ou talvez, B,D e a interação BD,
ou, ainda, A,D e a interação AD são significativos.
Para separar os efeitos principais e as interações com dois fatores, uma segunda fração é
realizada com todos os sinais trocados. Este delineamento “fold-over” é mostrado na tabela
seguinte, juntamente com os valores verificados no experimento:
36
S eg u n d a fração d o Fato ria l 2
R ealização
1
2
3
4
5
6
7
8
7 -4
, reso luçã o III co m gerad o res I= -A B D , I= -A C E , I= -B C F , e
I= A B C G
D elinea m e nto b ás ico
A
B
C
D = -A B E = -A C F= -B C G = A B C
S ó lid o s
+
+
+
+
a b cg
9 1 ,3
+
+
+
+
b cd e 1 3 6 ,7
+
+
+
+
acd f
8 2 ,4
+
+
+
+
cefg
7 3 ,4
+
+
+
+
ab ef
9 4 ,1
+
+
+
+
b d fg 1 4 3 ,8
+
+
+
+
ad eg
8 7 ,3
(1 )
7 1 ,9
Note que quando temos um delineamento “fold over” de resolução III, na verdade mudamos os
sinais dos geradores que tem um número ímpar de letras. Os efeitos estimados por esta fração
são:
l A   17 , 68  A  BD  CE  FG
l B  37 , 73  B  AD  CF  EG
l C   3, 33  C  AE  BF  DG
l D  29 ,88  D  AB  CG  EF
l E  0 ,53  E  AC  BG  DF
l F  1, 63  F  BC  AG  DE
'
'
'
'
'
'
l G  2 , 68  G  CD  BE  AF
'
37
Combinando-se as duas frações, obtemos as seguintes estimativas dos efeitos:
i
A
B
C
D
E
F
G
'
1/2(l i + l i )
A = 1,48
B = 38,05
C = -1,80
D = 29,38
E = 0,13
F = 0,50
G = 0,13
'
1/2(l i -l i )
B D + C E + F G = 19,15
A D + C F + E G = 0,33
A E = B F = D G = 1,53
A B + C G + E F = -0,50
A C + B G + D F = -0,40
B C + A G + D E = -1,53
C D + B E + A F = -2,55
Por exemplo, para B, na primeira fração, temos: (-85,5-75,1+93,2+145,4-83,777,6+95,0+141,8)/4= 38,38;
para B, na segunda fração, temos: (+91,3+136,7-82,4-73,4+94,1+143,8-87,3-71,9)/4=37,73
Os maiores efeitos são de B e D. Além disso, o terceiro maior efeito é devido a
BD+CE+FG, parece razoável atribuir essa significância à interação BD. O pesquisador
realiza um novo experimento com os fatores B e D, com os outros fatores, A,C,E e F
padronizados (nos níveis padrões).
38
A relação definidora para o delineamento “fold over”
Cada fração separada terá L+U palavras usadas como geradores: L palavras de mesmo sinal e U
palavras de sinais diferentes. O delineamento combinado terá (L+U-1) palavras usadas como
geradores. Estas serão as L palavras de mesmo sinal e as U-1 palavras consistindo de
independentes produtos pares das palavras de sinais diferentes.(produtos pares são palavras
tomadas duas a duas, quatro a quatro, e assim por diante.)
Exemplo: vamos considerar o delineamento para elaboração de um queijo; para a primeira fração,
os geradores são:
I=ABD, I=ACE, I=BCF, I=ABCG
e, para a segunda fração, os geradores são
I=-ABD,
I=-ACE,
I=-BCF
e I=ABCG
Observe que, na segunda fração, trocamos os sinais dos geradores com um número ímpar de
letras. Temos L=1 (I=ABCG, palavra de mesmo sinal nas duas frações como gerador), e U=3
(número de palavras com sinais diferentes nas duas frações). O delineamento combinado
teráI=ABCG ( a palavra de mesmo sinal) como gerador, e U-1=3-1=2 palavras que são produtos
pares independentes das palavras de sinais diferentes. Por exemplo, tomando I=ABD e I=ACE;
então I=(ABD)(ACE)=BCDE é um gerador do delineamento combinado. Tomando, I=ABD e
I=BCF, então, I=(ABD)(BCF)=ACDF é um gerador do delineamento combinado. A relação
definidora completa para o delineamento combinado é dada por:
39
I=ABCG=BCDE=ACDF=ADEG=BDFG=ABEF=CEFG
Delineamentos de resolução IV e V
As duas frações combinadas do fatorial fracionário 27-4, de resolução III, dado na seção anterior, fica
um 27-3, de resolução IV, isto é, os efeitos principais não estão associados com interações de dois
fatores e interações de dois fatores estão associadas com outras interações de dois fatores. Assim, se
interações triplas e de ordem maior são desprezíveis, os efeitos principais podem ser estimados
diretamente.
Qualquer 2k-p, de resolução IV, deve conter pelo menos 2K realizações (tratamentos). Delineamentos
de resolução IV que contém exatamente 2k realizações (tratamentos) são chamados de delineamento
mínimo (minimal design).
Para obter um delineamento fold over de resolução IV, fazer uma segunda fração na qual o sinal é
trocado para todo o gerador que tem um número par de letras. Para exemplificar vamos considerar o
fatorial fracionário 26-2, de resolução IV, usado anteriormente. Os geradores são:
I=ACDF,
I=BCDE.
I=-ABCE,
I=-BCDF.
A segunda fração usaria os geradores:
E o único gerador par o delineamento combinado seria :
I=ADEF.
Portanto, o delineamento continua de resolução IV. Entretanto, a estrutura dos associados é muito
mais simples do que o original. De fato, as interações de dois fatores que serão associadas são:
AD=EF, AE=DF e AF=DE.
40