COMENTÁRIO AFRM/RS 2012
ESTATÍSTICA
Prof. Sérgio Altenfelder
Comentário Geral: Prova muito difícil, muito fora dos padrões das provas do TCE
administração e Economia, praticamente só caiu teoria. Existem três questões (42, 45 e 47)
que devem ser anuladas, por tratarem de assuntos não abordados no edital, Espero que o
Bom senso prevalece por parte da banca e que estas questões sejam anuladas.
As questões 44, 48 e 50 são de assuntos não abordados em nosso curso. Amostragem, Séries
temporais integradas e Teste de Significância do coeficiente angular. Ainda bem que não caiu
outros assuntos não abordados em nosso curso. A tragédia poderia ser maior. Espero que com
as três questões fora do edital sejam anuladas para ajudar aqueles que não conseguiram fazer
o mínimo exigido na prova.
41 – Considere as afirmações abaixo:
I. O coeficiente de variação é a razão entre o variância (absoluta) e o quadrado da
média aritmética.
II. A variância é um número maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
III. A mediana é maior que o segundo quartil e menor que o terceiro quartil.
É correto afirmar que
(A) apenas a afirmativa I está correta.
(B) apenas a afirmativa II está correta.
(C) apenas a afirmativa III está correta.
(D) apenas as afirmativas I e II estão corretas.
(E) as afirmativas I, II e III estão incorretas.
Comentário: Questão Fácil. Assunto MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE.
I. O coeficiente de variação é a razão entre o variância (absoluta) e o quadrado da
média aritmética.
Errado. O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média
aritmética.
II. A variância é um número maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1.
Errado. A variância nunca poderá ser negativa e também não possui limites.
III. A mediana é maior que o segundo quartil e menor que o terceiro quartil.
Errado. A mediana é igual ao segundo quartil e menor que o terceiro quartil.
LETRA E
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42 - Considere X uma variável com distribuição uniforme no intervalo (2,4). A função
densidade de probabilidade da variável Y = 2X + 5 é:
(A) 1/2, no intervalo (2,4).
(B) 1/4, no intervalo (2,4).
(C) 1/2, no intervalo (9,13).
(D) 1/4, no intervalo (9,13).
(E) 1/3, no intervalo (9,13).
Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Fácil. Assunto
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME.
A probabilidade de uma distribuição uniforme é dado pela fórmula
1
, onde b é o maior
ba
valor do intervalo em estudo e a é o menor valor deste intervalo.
Encontrando o maior e o menor valor para Y
Y = 2.X + 5
Y = 2.2 + 5 = 9
Y = 2.4 + 5 = 13
Intervalo em estudo de Y é (9,13)
1
1
1


b  a 13  9 4
LETRA D
Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 2009
RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do
anexo da disciplina estatística):
4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por
postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório;
variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.2. Estatística descritiva:
apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência
(amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências
acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados
agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da
média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude
interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação
entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral;
evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois
eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes;
dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade:
variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de
Poisson. 4.5. Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de
Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição
exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e nãoprobabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de
proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado (  2 ), distribuição
t e distribuição F. 4.7. Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra. 4.8.
Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para
médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal). 4.9. Análise de variância
(ANOVA). 4.10. Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis
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binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de
determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F);
utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade;
multicolinearidade. 4.11. Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples
e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base. 4.12. Números relativos.
4.13. Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base.
4.14. Análise de séries temporais.
Não existe a matéria DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE sendo cobrada no
concurso. Portanto, solicito a anulação desta questão, uma vez que tal tópico não é
contemplado no edital.. O edital menciona “...4.5. Distribuições contínuas de probabilidade:
distribuição normal; Teorema de Chebyshev; a distribuição normal como aproximação
da distribuição binomial; distribuição exponencial;...” . Distribuição uniforme é um tipo de
distribuição contínua, e este tipo não foi mencionado na ementa da matéria estatística,
reforçando a hipótese de que a questão deve ser anulada.
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43 - Dois empregados são escolhidos aleatoriamente em uma empresa. A probabilidade
de pelo menos um apresentar altura inferior à mediana é:
(A) 0,125.
(B) 0,250.
(C) 0,750.
(D) 0,500.
(E) 0,875.
Comentário: Questão Fácil. Assunto PROBABILIDADE: REGRA DO PELO MENOS UM.
A probabilidade de algum empregado ter altura inferior à mediana é 0,5 e a probabilidade de
algum empregado ter altura maior ou igual à mediana também é 0,5
Basta usar a regra do Pelo menos um: 1 – P(não quero)
P(não quero) = P(altura maior ou igual à mediana) * P(altura maior ou igual à mediana)
P(não quero) = 0,5 * 0,5 = 0,25
Usando a regra do Pelo menos um, temos:
1 – P(não quero)
1 – 0,25
0,75
LETRA C
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44 - Considere X1, X2, X3, X4, elementos de uma amostra aleatória simples de tamanho 4
retirada de uma população de média e desvio padrão diferentes de zero. Sejam os
estimadores A = (X1+X2+X3+X4)/4 e B = (X1+X2+X3)/3. Analise as afirmações abaixo.
I. A é um estimador não tendencioso de µ.
II. B é um estimador não tendencioso de µ.
III. A variância de A é maior que a variância de B.
É correto afirmar que:
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas I e II estão corretos.
(E) apenas II e III estão corretos.
Comentário: Questão Fácil. Assunto ESTIMATIVA PONTUAL. Apesar da questão ser
classificada como fácil, não abordamos esse assunto em sala de aula. Meus alunos erraram.
Para resolver esta questão o aluno precisava lembrar:
 A media de uma amostra é igual a média da população .

A variância de uma amostra é
2
n
Quando o primeiro item acontecer, chamamos os valores da média de estimador não
tendencioso.
Sendo assim temos:
X1 = X2 = X3 = X4 = 
Logo A = B = 
Variância de X1 = Variância de X2 = Variância de X3 = Variância de X4 =  2
Sendo assim  A2 
2
2
e  B2 
4
3
I. A é um estimador não tendencioso de µ.
CERTO.
II. B é um estimador não tendencioso de µ.
CERTO.
III. A variância de A é maior que a variância de B.
ERRADO. A variância de A é menor que a variância de B.
LETRA D
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45 - Considere o modelo de regressão linear clássico, Yi = β0 +  1Xi + i estimado pelo
método de mínimos quadrados (ordinário) com base em uma amostra de n pares de
valores (Xi,Yi) e as afirmações abaixo:
I. se existir autocorrelação nos resíduos, os estimadores continuarão sendo não
viesados (não tendenciosos) e consistentes.
II. quanto maior for a variância da variável explicativa X, menor será o erro padrão
do coeficiente angular  1.
III. se  1 = 1, a correlação linear entre as variáveis é perfeita (ρXY = 1).
É correto afirmar que:
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas II e III estão corretos.
(E) apenas I e II estão corretos.
Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Difícil. Assunto
ANÁLISE DE REGRESSÃO.
I.
se existir autocorrelação nos resíduos, os estimadores continuarão sendo não
viesados (não tendenciosos) e consistentes.
CERTO.
II. quanto maior for a variância da variável explicativa X, menor será o erro padrão
do coeficiente angular  1.
CERTO.
III. se  1 = 1, a correlação linear entre as variáveis é perfeita (ρXY = 1).
ERRADO. O coeficiente angular não representa o valor do coeficiente de
correlação, ele apenas indica se o coeficiente de correlação é positivo ou
negativo. Neste item, apenas podemos afirmar que o valor do coeficiente de
correlação é um número entre zero e um, isto é, um valor positivo.
LETRA E
Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 2009
RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do
anexo da disciplina estatística):
4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por
postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório;
variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.2. Estatística descritiva:
apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência
(amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências
acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados
agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da
média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude
interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação
entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral;
evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois
eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes;
dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade:
variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de
Poisson. 4.5. Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de
Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição
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exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e nãoprobabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de
proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado (  2 ), distribuição
t e distribuição F. 4.7. Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra. 4.8.
Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para
médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal). 4.9. Análise de variância
(ANOVA). 4.10. Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis
binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de
determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F);
utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade;
multicolinearidade. 4.11. Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples
e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base. 4.12. Números relativos.
4.13. Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base.
4.14. Análise de séries temporais.
Não existe a matéria autocorrelação, nem mesmo análise de regressão (tópico onde se usa a
autocorrelação), sendo cobrada no concurso. Portanto, solicito a anulação desta questão, uma
vez que tal tópico não é contemplado no edital.
46 - Se, em determinado período de tempo, o salário aumenta 20% e a inflação 25%, a
perda, em percentual, de poder aquisitivo do salário foi de:
(A) 4%.
(B) -5%.
(C) 5%
(D) 4,167%.
(E) 1,25%.
Comentário: Questão Mediana. Assunto NÚMERO ÍNDICE.
Para calcular o ganho ou perda do poder aquisitivo, devemos considerar que para um
indivíduo, manter seu poder aquisitivo, ele deve ganhar um aumento igual ao da inflação. Como
este indivíduo não ganhou este aumento e sim um aumento menor, ele terá perda do poder
aquisitivo.
Assim, supondo 100 como seu salário antes da existência de inflação, teremos que considerar
seu salário igual a 125 para que ele continue comprando 100% do que ele precisa, como seu
salário aumentou 20%, temos o valor de 120 para verificar o quanto ele consegue comprar.
Veja abaixo a resolução da questão:
125 --- 100%
120 --- X
Fazendo a regra de três, encontraremos com o valor de 96%. Assim seu poder aquisitivo
reduziu 4%.
LETRA A
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47 - Considere as afirmações sobre Números Índices:
I. o índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços
ponderados pela participação do valor dos bens no período base.
II. o índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços
ponderados pela participação do valor dos bens no período atual.
III. o índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Laspeyres e de
Paasche.
É correto afirmar que:
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas I e II estão corretos.
(E) apenas II e III estão corretos.
Comentário: Esta questão deverá ser anulada, pois está fora do edital. Questão Mediana.
Assunto NÚMERO INDICE.
I. o índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética de relativos de preços
ponderados pela participação do valor dos bens no período base.
CERTO.
II. o índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços
ponderados pela participação do valor dos bens no período atual.
ERRADO. O índice de preços de Paasche é uma média harmônica de relativos de
preços ponderados pela participação do valor dos bens no período atual.
III. o índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Laspeyres e de
Paasche.
ERRADO. O índice de Fisher é uma média geométrica dos índices de Laspeyres e
de Paasche.
LETRA A
Este recurso deu certo no concurso do ICMS RS 2009
RECURSO: Analisando o conteúdo programático do edital do concurso (veja abaixo parte do
anexo da disciplina estatística):
4.1. Conceitos: tipos de dados (qualitativos, quantitativos, contínuos, discretos, nominais e por
postos); estatística descritiva e inferencial; população; censo; amostra; experimento aleatório;
variáveis e atributos; variáveis aleatórias discretas e contínuas. 4.2. Estatística descritiva:
apresentação gráfica; normas para apresentação tabular de dados; distribuição de freqüência
(amplitude; intervalos de classe; ponto médio; freqüências absolutas e relativas; freqüências
acumuladas absolutas e relativas); medidas de posição e de variabilidade para dados
agrupados e não-agrupados (média aritmética: propriedades da média; cálculo simplificado da
média; médias geométrica e harmônica; mediana; moda; percentis; quartis; amplitude
interquartil; desvio padrão; variância e suas propriedades; coeficiente de variação); associação
entre variáveis (covariância e coeficiente de correlação).4.3. Probabilidade: espaço amostral;
evento; complemento de um evento; probabilidade de um evento; probabilidade de dois
eventos (eventos independentes; mutuamente excludentes; não mutuamente excludentes;
dependentes ou condicional).4.4. Distribuições discretas (descontínuas) de probabilidade:
variáveis aleatórias discretas e contínuas; valor esperado; distribuição binomial; distribuição de
Poisson. 4.5. Distribuições contínuas de probabilidade: distribuição normal; Teorema de
Chebyshev; a distribuição normal como aproximação da distribuição binomial; distribuição
exponencial; 4.6. Amostragens e Distribuições Amostrais: amostragens probabilísticas e não-
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probabilísticas; teorema do limite central; distribuições de médias amostrais; distribuições de
proporções amostrais; distribuição binomial, de Poisson, normal, quiquadrado (  2 ), distribuição
t e distribuição F. 4.7. Estimação: pontual e intervalar; cálculo do tamanho da amostra. 4.8.
Estatística inferencial: intervalo de confiança; nível de significância; testes de hipóteses para
médias e proporções, unilaterais (unicaudal) e bilaterais (bicaudal). 4.9. Análise de variância
(ANOVA). 4.10. Regressão linear simples e múltipla: método dos mínimos quadrados; variáveis
binárias; coeficiente de determinação; coeficiente de determinação múltiplo; coeficiente de
determinação múltiplo ajustado; coeficiente de correlação; testes de significância (teste t e F);
utilização da equação de regressão para estimação e previsão; homocedasticidade;
multicolinearidade. 4.11. Números índices: aritméticos simples e ponderado, harmônico simples
e ponderado, geométrico simples e ponderado; mudança de base. 4.12. Números relativos.
4.13. Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche; mudança de base.
4.14. Análise de séries temporais.
Não existe a matéria INDICE DE FISHER sendo cobrada no concurso. Portanto, solicito a
anulação desta questão, uma vez que tal tópico não é contemplado no edital.. O edital
menciona “...4.13. Índices complexos de quantidade e de preços: Laspeyres e Paasche;
mudança de base.;...” . Repare que o INDICE DE FISHER não foi mencionado na ementa da
matéria estatística, reforçando a hipótese de que a questão deve ser anulada.
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48 - Testando-se a significância do coeficiente angular de um modelo clássico de
regressão linear simples verificou-se um valor-p = 0,004. Considere as afirmações:
I. O erro tipo II é 0,004.
II. O coeficiente é significante a um nível de 99% .
III. A potência do teste é (1–0,004).
É correto afirmar que
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas I e II estão corretos.
(E) apenas II e III estão corretos.
Comentário: Questão Difícil. Assunto TESTE DE SIGNIFICÂNCIA DO COEFICIENTE
ANGULAR. Não abordamos esse assunto em sala de aula. Meus alunos erraram.
I. O erro tipo II é 0,004.
ERRADO. O erro tipo I que é 0,004
II. O coeficiente é significante a um nível de 99%.
CERTO.
III. A potência do teste é (1–0,004).
ERRADO. Falta explicar
LETRA B
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49 - Considere um teste de hipótese bilateral, em que a hipótese nula (ou hipótese
básica) é Ho:  =  0, a hipótese alternativa é Ha:  ≠  0, e o nível de significância é α e as
afirmações abaixo:
I. há α de probabilidade de aceitar Ho, sendo Ho falsa.
II. há α de probabilidade de rejeitar Ho, sendo Ho verdadeira.
III. há α de probabilidade de rejeitar Ho, sendo Ho falsa.
É correto afirmar que
(A) apenas I está correto.
(B) apenas II está correto.
(C) apenas III está correto.
(D) apenas I e II estão corretos.
(E) apenas II e III estão corretos.
Comentário: Questão Mediana. Assunto TESTE DE HIPÓTESE.
Para acertar essa questão basta lembrar a definição de nível de significância, existente em
nossa apostila.
Nível de significância : É definida como a probabilidade de cometer o erro de tipo I, ou seja,
rejeitar a hipótese nula (Ho), quando ela é verdadeira.
Logo apenas o item II esta correto.
LETRA B
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50 - Considere as afirmações abaixo sobre regressão e modelos de séries temporais.
I. O processo Yt = Φ1 Yt-1 + t, onde t ruído branco, é estacionário para qualquer
Φ1.
II. Se uma série temporal Yt necessitar ser diferenciada “n” vezes antes de se
tornar estacionária, então Yt é integrada de ordem n-1.
III. Na regressão linear de séries temporais, Yt = β1 + β2.Xt + µt, com Yt e Xt
integradas de ordem 1, e µt, resíduo da regressão, integrada de ordem zero,
então Yt e Xt são séries co-integradas.
É correto afirmar que
(A) apenas I está correta.
(B) apenas I e II estão corretas.
(C) apenas III está correta.
(D) apenas II e III estão corretas.
(E) apenas I e III estão corretas.
Comentário: Questão Difícil. Assunto Séries Temporais e Regressão. Não abordamos esse
assunto em sala de aula. Meus alunos erraram.
I. O processo Yt = Φ1 Yt-1 + t, onde t ruído branco, é estacionário para qualquer
Φ1.
ERRADO. Falta explicar
II. Se uma série temporal Yt necessitar ser diferenciada “n” vezes antes de se
tornar estacionária, então Yt é integrada de ordem n-1.
ERRADO. Falta explicar
III. Na regressão linear de séries temporais, Yt = β1 + β2.Xt + µt, com Yt e Xt
integradas de ordem 1, e µt, resíduo da regressão, integrada de ordem zero,
então Yt e Xt são séries co-integradas.
CERTO.
LETRA C
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