SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
http://www.uesc.br/arbelos/
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Areas
de retângulos, paralelogramos e
triângulos
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 28/05/2004)
1
A área de um paralelogramo
Nesta seção, vamos admitir que a área de um retângulo ABCD é dado
pelo produto das medidas de dois lados opostos:
Área do retângulo ABCD = m(AB) · m(BC).
[01] No paralelogramo da figura (1), desenhe um segmento de reta com
uma extremidade no ponto W e a outra extremidade (nomeie-o V ) no
lado XY de tal forma que este segmento seja perpendicular ao lado XY .
Este segmento é uma altura do paralelogramo XY ZW com relação a
base XY .
[02] Verdadeiro ou falso? O segmento BC é uma altura do retângulo ABCD?
[03] Observe que, na figura (1), as bases AB do retângulo ABCD e XY do
paralelogramo XY ZW têm a mesma medida. Observe também que as
(respectivas) alturas BC e W V têm a mesma medida. O objetivo deste
exercı́cio é mostrar que, por este motivo, o retângulo e o paralelogramo
têm a mesma área, isto é, vale que
Área do paralelogramo XY ZW
= m(XY ) · m(W V )
= medida da base × medida da altura.
Para isto, recorte o paralelogramo pelos seus lados e, em seguida, corte-o
pela altura W V . Cole os dois pedaços sobre a figura do retângulo.
1
Y
Z
X
W
B
C
A
D
Figura 1: A área de um paralelogramo.
2
[04] É preciso justificar que os dois pedaços cortados acima de fato podem
ser colados para formar um retângulo: na figura (2), mostre que os
triângulos ∆XW V e ∆Y ZV são congruentes!
W
X
Z
V
Y
V0
Figura 2: A área de um paralelogramo.
2
A área de um triângulo
Vamos demonstrar, também usando dissecações, que a área de um triângulo é a metade do produto da medida de um dos lados (base) pela altura
correspondente, isto é, se CH é a altura de um triângulo ∆ABC com relação
à base AB, então
m(AB) · m(AH) base × altura
=
.
2
2
[05] Deduza a fórmula da área do triângulo recortando dois triângulos ∆ABC
da figura (3) e unindo-os para formar um paralelogramo. É preciso mostrar que, de fato, a colagem destes dois triângulos resulta em um paralelogramo: na figura (4), mostre que se os triângulos ∆ABC e ∆A CB
são congruentes, então o quadrilátero ABA C é um paralelogramo.
área do triângulo∆ABC =
[06] Em dos triângulos ∆ABC da figura (3), construa M o ponto médio
de AC e N o ponto médio de BC. Recorte este triângulo pelos seus
lados e, em seguida, recorte-o pelo segmento M N . Mostre como unir
estes dois pedaços de papel para formar um paralelogramo. Observe que
a medida da altura deste paralelogramo com relação à base AB é igual
a metade da medida da altura AH do triângulo ∆ABC com relação à
base AB do triângulo. Conclua então a fórmula da área do triângulo.
3
B
B
B
B
A
A
C
C
A
A
C
C
Figura 3: A área de um triângulo.
4
A0
C
A
B
Figura 4: A área de um triângulo.
[07] Na figura (5), a reta r é paralela ao segmento AB. Todos os triângulos
∆XAB,
∆Y AB,
∆ZAB
∆W AB
e
têm a mesma área. Por quê?
X
Y
Z
A
W
B
Figura 5: A área de um triângulo.
5
r
Como servir uma lagosta em um prato triangular . . .
Texto composto em LATEX2e, HJB, 11/05/2004.
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