3a . LISTA DE EXERCÍCIOS DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Turma: 7o . perı́odo de Matemática-Licenciatura
Profa . Andréa Cardoso
Data: 17/04/2015
1. Os egı́pcios mediam a inclinação de uma face de uma pirâmide pela razão entre o percurso
e a elevação, isto é, dando o afastamento da face oblı́qua da vertical para cada unidade
de altura. Tomava-se como unidade vertical o cúbito e como unidade horizontal a mão;
havia 7 mãos num cúbito. Utilizando-se essas unidades de medida, chamava-se seqt da
pirâmide a medida da inclinação.
(a) Qual é o seqt da pirâmide?
(b) Mostre que o seqt de uma pirâmide é 7 vezes a cotangente do ângulo diedro formado
pela base e a face da pirâmide.
(c) O problema 56 do papiro de Rhind questiona qual é o seqt de uma pirâmide de 250
1
cúbitos de altura e 360 cúbitos de lado. O escriba encontra o resultado 5 25
, está
correto?
(d) A grande pirâmide de Quéops tem uma base quadrada com lados de 440 cúbitos e
sua altura é 280 cúbitos. Qual é o seqt dessa pirâmide?
(e) O problema 57 do papiro Rhind pede a altura de uma pirâmide de base quadrada
cujo seqt é igual a 5 mãos e 1 dedo por cúbito e cujo lado da base mede 140 cúbitos.
Resolva esse problema considerando que há 5 dedos numa mão.
2. Os gregos não utilizavam trigonometria somente para a Astronomia, também para problemas topográficos, como calcular a área de um terreno de forma poligonal, os gregos
faziam a decomposição do mesmo em triângulos e a área de cada um destes triângulos
era obtida usando a fórmula de Hierão
p
A = p(p − a)(p − b)(p − c),
em que a, b e c são os lados do triângulo e p é o semiperı́metro.
Um triângulo de Hierão é um triângulo cujos lados têm medidas inteiras, e que tem uma
altura cuja medida é também um número inteiro.
(a) Como obtemos atualmente área de triângulos?
(b) Qual a necessidade de se utilizar a fórmula de Hierão, no caso dos gregos?
(c) Mostre que o triângulo de lados 13, 14 e 15 é um triângulo de Hierão.
(d) Obtenha outros triângulos de lados 13, 14 e 15 é um triângulo de Hierão.
(e) Demonstre a fórmula de Hierão.
3. Porque Hiparco de Niceia ficou conhecido como o “Pai da Trigonometria”? Comente a
contribuição de Claudius Ptolomeu para Trigonometria Grega.
4. Pesquise, enuncie, cite aplicações e demonstre o Teorema de Ptolomeu.
5. Qual foi o principal motivo para a Trigonometria Hindu popularizar-se e ser utilizada até
a atualidade?
6. Quais as semelhanças e as diferenças da Trigonometria Egı́pcia, Babilônica, Grega e
Hindu?
7. Quais áreas dos Babilônicos sabiam calcular? Como eles calculavam a área do cı́rculo?
Explique as diferenças do modo como eles calculavam áreas para o modo que calculamos
nos dias atuais.
8. Imagine que você é um dos poucos calculistas do antigo Egito, e lhe foi dada a missão de
calcular a área de um dos territórios do Faraó. Para o cálculo, as únicas informações que
você tem acesso são:
• O terreno tem o formato de um triângulo;
• A base da sua figura mede 40 unidades de medida;
• O seu lado mede 90 unidades de medida.
Como a área é calculada? (Utilize os métodos egı́pcios) Comparando com conhecimento
adquirido, você identifica algum problema no método egı́pcio se comparado com o método
que temos hoje? Explique.
9. Explique as diferenças do cálculo de áreas e volumes dos babilônicos, egı́pcios e gregos.
10. Arquimedes, um dos maiores matemáticos gregos, sabia que era impossı́vel com régua
e compasso, obter a quadratura do cı́rculo. Pensando nisso, Arquimedes propôs uma
maneira diferente para solucionar o problema. Explique o raciocı́nio de Arquimedes.
11. Como Arquimedes obteve a aproximação
22
223
<π< ?
71
7
12. Como surgiu o número zero (quais povos e com que finalidades)? Qual sua função primordial? Qual é a diferença da zero hindu?
13. Escreva os números 5801 e 508001 no
(a) sistema primitivo aditivo dos hindus;
(b) sistema falado sânscrito hindu;
(c) sistema posicional (falado e numérico).
14. Explique a evolução do sistema de numeração hindu.
15. Qual a contribuição dos Hindus para o sistema de numeração moderno?
16. Explique a diferença da Matemática desenvolvida na Babilônia e no Egito para a Matemática da Grécia. Quais foram os motivos sócio-culturais que provocaram esta mudança
de perspectiva?
17. Quando aconteceu o ápice da Matemática Grega? Cite os principais autores e obras desta
época.
18. Quais as áreas de interesse dos estudos pitagóricos? Defina Aritmética segundo os pitagóricos e na atualidade.
19. Defina números perfeitos e
(a) Liste os números perfeitos menores que 100.
(b) Encontre 10 números deficientes menores que 100.
(c) Encontre 10 números abundantes menores que 100.
20. Mostre que se p é primo então p2 e p3 são números deficientes. Podemos dizer que se p é
primo então pn é deficiente?
21. O que são números amigos? Quando foram definidos e estudados?
(a) Mostre que 1184 e 1210 são úmeros amigos.
(b) Mostre que 5020 e 5564 são números amigos.
(c) Os números 66928 e 66992 são amigos?
(d) Dê mais um exemplo de números amigos.
22. O que são ternos pitagóricos? Para que servem e como foram utilizados por civilizações
diversas? Faça uma tabela de ternos pitagóricos primitivos.
23. Quais povos da antiguidade conheciam o Teorema de Pitágoras? Cite sua utilidade para
cada um destes povos.
24. Indianos (século VIII a.C.) e chineses utilizaram imagens como a apresentada a seguir
para fazer uma “prova sem palavras”do Teorema de Pitágoras. Considere o triângulo
ABC e demonstre o resultado.
25. Quantas demonstrações existem do Teorema de Pitágoras? Porque o Teorema de Pitágoras
precisou ser demonstrado? Porque não se fez isto antes?
26. As demonstrações feitas pelos pitagóricos parecem ter se baseado na evidência visual
fornecida pelos números figurados. Sejam Tn , Qn e Pn , respectivamente, os números
triangulares, quadrados e pentagonais de ordem n. Mostre, sem utilizar aritmética ou
álgebra, simplesmente reorganizando diagramas de números figurados que
Pn = Qn + Tn−1 .
A seguir prove que o número hexagonal de ordem n é 2n2 − n.
27. Liste e explique os três problemas clássicos da Antiguidade? Porque são considerados
“problemas”? Quais suas contribuições para o avanço da Matemática?
28. O que é uma lúnula? Quem estudou? Qual a relação com um dos problemas clássicos?
29. Na figura, o triângulo ABC é retângulo e isósceles. A região em forma de lua é externa
à semicircunferência raio igual ao comprimento do cateto AB e interna a uma à outra
semicircunferência de raio igual à metade do comprimento da hipotenusa BC. Mostre que
a área da Lúnula de Hipócrates é igual à área do triângulo retângulo ABC.
30. Qual a contribuição de Hipócrates no problema da duplicação do cubo? Porque o problema não foi resolvido?
Para entregar em 27/04/2015: exercı́cios de 1 a 11
BOM TRABALHO!!!