UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Disciplina: Geometria Euclidiana
Curso: Licenciatura em Matemática.
7a Lista de Exercı́cios - Áreas de polı́gonos
Questão 1: Sejam ABC um triângulo e D, E e F pontos respectivamente sobre BC, CA e AB, tais
que os segmentos AD, BE e CF são concorrentes em P . Sabe-se que (BDP ) = 40, (CDP ) = 30,
(CEP ) = 35 e (AF P ) = 84. Calcule a área de ABC.
Questão 2: Seja ABC um triângulo qualquer. Prove que o triângulo formado pelos pontos médios
dos lados de ABC tem área igual a
Questão 3:
1
4
da área de ABC.
a) Use a Fórmula de Heron para expressar o raio da circunferência circunscrita a
um triângulo em termos dos lados do triângulo.
b) Expresse o raio da circunferência inscrita em um triângulo em termos dos lados do triângulo.
c) Dados AB = 7, BC = 5 e CA = 6, calcule o raio das circunferências inscrita e circunscrita ao
triângulo ABC.
Questão 4: Sejam ABCD um quadrado de lado 1, E o ponto médio de BC e F o de CD. Sendo
G o ponto de interseção de DE e AF . Calcule a área do triângulo DF G.
Questão 5: Cada diagonal de um quadrilátero convexo o divide em dois triângulos de mesma área.
Prove que o quadrilátero é um paralelogramo.
Questão 6: Seja ABCD um quadrilátero qualquer e M , N , P , Q respectivamente os pontos médios
de AB, BC, CD, DA. Prove que
(M N P Q) =
1
(ABCD).
2
Questão 7: Calcule a soma das distâncias de um ponto interior a um triângulo equilátero aos lados
em função do valor do lado do triângulo. (Sugestão: Calcule as áreas de 3 triângulos).
Questão 8: Dado um triângulo ABC, calcule a área da circunferência ex-inscrita no lado BC em
função dos lados do triângulo. (Sugestão: se Ia é o centro da circunferência, calcule a área de ABC
em termos das áreas dos triângulos AIa B, BIa C e CIa A para determinar o raio da circunferência).
Questão 9: São dados no plano dois quadrados de lados 1 cm e 2 cm. Se o centro do quadrado de
lado menor coincide com um dos vértices do quadrado maior. Calcule os possı́veis valores da área
da porção do plano comum aos dois polı́gonos.
Questão 10: O triângulo ABC tem área igual a 1. O ponto M é médio de AB e o ponto D é
médio de CM . A reta AD intersecta o lado BC em E.
a) Calcule a área do quadrilátero M BED.
\
b) Considerando AB = 1 e CM perpendicular a AB, determine o cosseno do ângulo ACB.
Questão 11: O trapézio ABCD tem bases AB e CD. A altura do trapézio mede 8 as bases medem
AB = 10 e CD = 6. As diagonais AC e BD do trapézio dividiram o trapézio em quatro triângulos.
Calcule as áreas dos quatro triângulos em que o trapézio ficou dividido.
Questão 12: Calcule a área de um polı́gono regular de n lados em função do apótema (raio da
circunferência inscrita) e do semiperı́metro do polı́gono.
Questão 13: Sabendo-se que o triângulo ABC é equilátero de lado 6 cm, o arco menor tem centro
em B e o arco maior tem centro no ponto médio de AC. Determine a área da região assinalada.
Questão 14: Seja dado um segmento de reta AB de medida
4a e o ponto médio M do segmento AB.
Constroem-se dois
semicı́rculos com centros nos pontos médios dos segmentos AM e
BM e raios iguais a a. Com centros, respectivamente, em A e B,
raios iguais a 4a, descrevem-se os arcos BC e AC. Calcule a área
da figura assim construı́da.
Questão 15: O cı́rculo de centro O da figura a seguir tem 6 cm de raio. Se P A é tangente à
circunferência e a medida do segmento P C é igual a 6 cm, determine a área hachurada em cm2 .
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