SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
Retas Paralelas
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 20/04/2004)
[01] Na ﬁgura (1), o ponto B é ponto médio dos segmentos AC e DE. Mostre
que os triângulos ∆ABD e ∆CBE são congruentes.
D
C
B
A
E
Figura 1: Um exercı́cio sobre congruência de triângulos.
[02] Um triângulo é dito isósceles se tem dois lados com medidas iguais.
Estes lados são denominados laterais e o terceiro lado é denominado
base do triângulo isósceles.
(a) Seja ∆ABC um triângulo com base BC, como na ﬁgura (2). Use
o critério LAL de congruência de triângulos para mostrar que os
triângulos ∆ABC e ∆ACB são congruentes (sim, você está comparando o triângulo com ele mesmo!). Conclua que os ângulos da
base ∠ABC e ∠ACB são congruentes.
(b) Use o critério ALA para mostrar que se dois ângulos internos de
um triângulo são congruentes, então este triângulo é isósceles. Dica:
como no item anterior, compare o triângulo com ele mesmo!
[03] Na ﬁgura (3), as retas r e s são paralelas e x + y = 60◦ . Determine os
valores de w, z, a, b, c e d.
1
A
B
C
Figura 2: Em triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
t
z
y
c
b
x
r
w
s
a
d
Figura 3: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
2
[04] Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de a nas
quatro situações indicadas na ﬁgura (4).
t
t
60±
a
r
r
3x
a
x
s
(a)
s
(b)
t
t
60±
a
2x
x
u
r
x ¡10±
a
s
r
s
2x +10
(c)
±
(d)
Figura 4: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
[05] Sabendo que as retas r, s e v são paralelas, determine o valor de a na
situação indicada na ﬁgura (5).
t
v
2x +20±
a
r
x + 40±
Figura 5: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
3
s
[06] O objetivo deste exercı́cio é o de demonstrar que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 180◦ admitindo, para isto, o Postulado
de Playfair: por um ponto dado fora de uma reta, passa uma única reta
paralela à reta dada. Considere o triângulo ∆ABC na ﬁgura (6). Pelo
vértice A, trace uma reta r paralela ao lado BC do triângulo ∆ABC
(construção possı́vel pelo Postulado de Playfair).
A
x
r
y
a
b
c
B
C
Figura 6: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180◦ .
(a) Tem-se x = b e y = c. Por quê?
(b) Conclua que a soma a+b+c dos ângulos internos do triângulo ∆ABC
é igual a 180◦ .
[07] Dado um triângulo ∆ABC, lembramos que os ângulos ∠ABC, ∠BCA
e ∠CAB são denominados ângulos internos ou simplesmente ângulos
do triângulo. Os suplementos destes ângulos são chamados de ângulos
externos do triângulo. Por exemplo, na ﬁgura (7), o ângulo ∠BAD é
um ângulo externo adjacente ao ângulo interno ∠CAB.
A
a
z
b
B
C
D
Figura 7: A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma
das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.
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Use o resultado do exercı́cio [06] para mostrar que a medida de um
ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos ângulos
internos que não lhe são adjacentes.
[08] Lembramos que um triângulo equilátero é um triângulo cujos lados têm
medidas iguais.
(a) Use um dos critérios de congruência de triângulos para demonstrar
que os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes.
(b) Use o resultado do exercı́cio [06] para mostrar que cada ângulo
interno de um triângulo equilátero mede 60◦ .
Texto composto em LATEX2e, HJB, 12/04/2004.
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