Centro de massa de figuras planas
Eduardo Colli
A todo agrupamento (rı́gido ou não) de corpos massivos se associa um ponto privilegiado no espaço, seu centro de massa. No caso
de corpos rı́gidos, como as placas homogêneas das quais queremos
falar, convém localizá-lo no referencial do próprio corpo, para que
não dependa da posição do corpo no espaço. É com esse sentido
que empregamos a expressão “o centro de massa do corpo”.
Se um corpo rı́gido tiver algum vı́nculo (estiver preso a um ponto
ou a um eixo), mas ainda tiver alguma liberdade de movimento e
estiver sob a ação da gravidade então seu centro de massa tenderá a
assumir a posição mais baixa possı́vel. No caso das placas, quando
penduradas por um dos buracos, seu centro de massa pode apenas
girar (como um pêndulo) em torno do eixo, no plano da placa, de
modo que a posição de menor altura corresponde a estar na mesma
vertical que o eixo.
Pendurando por outro ponto da placa descobre-se outra reta à
qual o centro de massa pertence, e sua localização exata emerge do
encontro dessas duas retas. Um terceiro ponto serve como garantia
para o caso excepcional de que os dois pontos de apoio utilizados
e o centro de massa sejam colineares.
Para placas triangulares o centro de massa é o encontro das
medianas. Uma mediana é uma reta que divide um dos lados do
triângulo em dois segmentos de igual tamanho e ainda cruza o
vértice (oposto). Para as placas poligonais o centro de massa pode
1
ser obtido facilmente sem o experimento, da seguinte forma: dividese o polı́gono em triângulos e determina-se o centro de massa de
cada um dos triângulos. Substitui-se então cada triângulo por uma
massa pontual localizada em seu centro de massa. Essa massa
é proporcional à área do triângulo, já que a placa é homogênea,
e a constante de proporcionalidade não importa, de modo que se
pode atribuir a própria área do triângulo. Depois, tira-se a média
ponderada desses pontos.
No caso das placas em formato parabólico é mais conveniente
usar o recurso da integração. Esse problema também pode ser
visto de outra forma, trocando-se a parábola com distribuição bidimensional homogênea de densidade pelo seu eixo de simetria com
distribuição unidimensional variável de densidade. A distribuição de
√
densidade é dada por a x, se x valer zero no vértice da parábola.
Centro de massa de duas partı́culas
O centro de massa de duas partı́culas (pontuais) localizadas em
P1 e P2 , com massas m1 e m2 é um ponto C no segmento de reta
que une P1 a P2 , a uma distância ponderada pelos valores m1 e
m2 . A ponderação é feita da seguinte maneira: a distância de P1
a C está para a distância de P1 a P2 assim como a massa m2 está
para a massa total m1 + m2 . Isto é,
P1 C
m2
=
.
m1 + m2
P1 P2
Assim, se m2 prevalecer muito sobre m1 então o centro de massa
estará mais perto de P2 do que de P1 .
Não há privilégio em se tomar P1 na definição, pois
m1
P2 C
P 1 P2 − P1 C
m2
=
=1−
=
,
m1 + m2
m1 + m2
P1 P2
P 1 P2
2
mostrando que poderı́amos ter definido o centro de massa a partir
de P2 .
Como em geral a posição das partı́culas é dada em coordenadas, precisamos aprender a calcular a posição do centro de massa
também em coordenadas. Admitiremos que as partı́culas estão no
espaço tridimensional, mas enunciados semelhantes valem em dimensões maiores ou menores.
Sejam P1 = (x1 , y1 , z1 ) e P2 = (x2 , y2 , z2 ). Qualquer ponto
entre P1 e P2 pode ser expresso por
P1 + t(P2 − P1 ) ,
com t entre 0 e 1. O valor de t é a proporção entre a distância
desse ponto a P1 e a distância de P1 a P2 . Portanto, segundo a
regra acima, o centro de massa tem coordenadas dadas por
m2
C = P1 +
(P2 − P1 ) .
m1 + m2
Essa maneira de escrever privilegia um dos pontos, no caso P1 .
Reescrevendo, obtemos
m1
m2
C=
P1 +
P2 ,
m1 + m2
m1 + m2
que pode ser interpretado como a média ponderada das coordenadas de P1 com as coordenadas de P2 .
Centro de massa de n partı́culas
Para obtermos o centro de massa de n partı́culas basta que
sigamos o seguinte princı́pio, dado por definição. O cálculo é feito
indutivamente. Suponha que o centro de massa já foi calculado
para k − 1 partı́culas e sua posição é C e a massa total dessas
mesmas partı́culas é M . Suponha ainda que a k-ésima partı́cula
3
tenha massa m e esteja na posição P . Então o centro de massa
das k partı́culas é a média ponderada de C e P , com pesos M e
m, respectivamente:
M
m
C+
P .
m+M
m+M
Por exemplo, no caso de três massas m1 , m2 e m3 posicionadas
em P1 , P2 e P3 , respectivamente. O centro de massa das duas
primeiras é
m1
m2
P1 +
P2 ,
m1 + m2
m1 + m2
com massa total m1 + m2 . Para calcular o centro das três, temos
que ponderar esse ponto com P3 :
m1
m2
m3
m1 + m2
P1 +
P2 +
P3 .
m1 + m2 + m3 m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2 + m3
Felizmente, a expressão pode ser simplificada para a forma mais
intuitiva abaixo:
m1
m2
m3
P1 +
P2 +
P3 ,
m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3
m1 + m2 + m3
ou
m 1 P1 + m 2 P2 + m 3 P3
,
m1 + m2 + m3
que é a ponderação combinada das três posições.
Não é difı́cil mostrar, indutivamente, que a posição do centro de
massa de n partı́culas é dada por
Pn
k=1 mk Pk
P
.
n
k=1 mk
4
Envoltória convexa
Suponha que tenhamos n partı́culas nas posições P1 , . . . , Pn ,
como acima. Se soubermos a massa das partı́culas então saberemos
determinar seu centro de massa. Mas se não soubermos, restarános apenas determinar quais são as possı́veis posições do centro de
massa.
Por exemplo, se n = 2 então o centro de massa está em algum
lugar entre P1 e P2 . O conjunto de posições possı́veis para o centro
de massa é o segmento que liga P1 a P2 .
Se adicionarmos uma terceira partı́cula então o centro de massa
pode estar em qualquer segmento de reta unindo P3 a qualquer
ponto do segmento unindo P1 a P2 . Ora, isso implica que o conjunto das posições possı́veis é todo o triângulo formado por esses
três pontos.
Observe que o centro de massa é sempre da forma
n
X
αk Pk ,
k=1
onde
mk
.
m1 + m2 + . . . + mn
Portanto os αk sempre são números entre 0 e 1 que somam 1.
Conclui-se que o conjunto H de todas as possı́veis posições do
centro de massa é dado por
( n
)
X
H=
αk Pk ; 0 ≤ αk ≤ 1, k = 1, . . . , n, α1 + . . . + αn = 1 .
αk =
k=1
Esse conjunto é chamado de envoltória convexa ou fecho convexo
dos pontos P1 , . . . , Pn . Ele é o “menor” conjunto convexo que
5
contém esses pontos, no sentido de que qualquer conjunto convexo
que contenha P1 , . . . , Pn terá que necessariamente conter H.
Essa afirmação não é difı́cil de demonstrar. Um conjunto C é
convexo se para todo par de pontos do conjunto o segmento que
une esses dois pontos está completamente dentro do conjunto. Ora,
se P1 , . . . , Pn estão em C então todos os segmentos de reta que os
unem dois a dois estão também em C. E também os segmentos
de reta que unem esses novos pontos, e assim por diante. Não
é difı́cil ver que todos os pontos de H são gerados dessa forma
(veja a definição indutiva de centro de massa para n partı́culas), de
maneira que H deve estar inteiramente contido em C.
O leitor está convidado a demonstrar (ou se convencer) que
a envoltória convexa de n pontos distintos é um polı́gono de no
máximo n lados ou um segmento de reta (vide exercı́cios).
Propriedades fı́sicas do centro de massa
A primeira propriedade interessante do centro de massa diz respeito à resultante das forças atuantes sobre as partı́culas. Se F1 , . . . , Fn
são os vetores de força atuando em cada partı́cula, a Segunda Lei
2
de Newton diz que mk dtd 2 Pk = Fk . Portanto, já que as massas não
variam com o tempo, podemos somar essas equações, multiplicar e
dividir pela massa total e manipular para obter
!
Pn
X
n
n
X
m k Pk
d2
k=1
Pn
=
Fk .
mk · 2
dt
k=1 mk
k=1
k=1
Essa equação diz que a resultante de forças é igual à massa total
multiplicada pela aceleração do centro de massa.1 .
1
A equação é vetorial, pois Pk é um vetor ou ponto cujas coordenadas dependem do
tempo e o mesmo vale para suas derivadas
6
A equação nos diz como evoluirá o centro de massa, embora
sozinha não permita saber qual será a posição relativa de cada
partı́cula com relação a ele.
Agora imagine que as partı́culas estão de tal forma vinculadas
que suas posições relativas não possam se alterar (por exemplo,
partı́culas massivas incrustradas numa placa rı́gida infinitamente
leve). Suponha que o conjunto esteja sujeito somente à força gravitacional, próximo à superfı́cie terrestre. Então podemos medir a
energia potencial total do conjunto pela soma das energias potenciais de cada uma. Se hk são as respectivas alturas então a energia
potencial será
!
Pn
n
n
X
X
mk hk
mk ghk =
mk · g · Pk=1
.
n
k=1 mk
k=1
k=1
Chamemos de M a massa total e
Pn
mk hk
.
H = Pk=1
n
k=1 mk
Então M gH é a energia potencial total. Mas H nada mais é do que
a coordenada vertical do centro de massa, pois as fórmulas vetoriais
se expandem para cada coordenada. Então a energia potencial total
é equivalente à energia potencial da soma das massas à altura do
centro de massa.
Essa constatação permite constatar que o centro de massa estará
na posição de mı́nima energia quando houver dissipação de energia
cinética na forma de atrito. Por exemplo, pendurando a placa por
um ponto, a posição de equilı́brio será aquela em que o centro de
massa se situar na mesma vertical e abaixo desse ponto.
Se pendurarmos a placa pelo próprio centro de massa então não
haverá posição privilegiada, no sentido de que todas têm a mesma
7
energia potencial. A placa pode ser rodada livremente, por mais
estranha e não homogênea que esteja a distribuição das massas.
Pensando na situação de uma placa (sem peso) com partı́culas
(com peso) incrustradas, uma terceira propriedade pode ser deduzida. Imagine uma régua posicionada horizontalmente em seu
sentido longitudinal mas verticalmente em seu sentido transversal
e imagine que apoiemos a placa sobre a régua, de forma que elas
façam contato sobre uma linha. Dependendo da posição da placa,
ela pode tombar para um lado ou para outro, mas há posições em
que, aparentemente, ela ficaria em equilı́brio (um equilı́brio instável,
no sentido de que um pequeno deslocamento o destrói). Afirmamos
então que as posições de equilı́brio correspondem àquelas em que o
centro de massa da placa com as partı́culas fica exatamente sobre
a linha da régua.
Para entender isso, basta ver que a linha da régua funciona como
um eixo de rotação para a placa. A força de gravidade atua em cada
partı́cula perpendicularmente a esse eixo. Mas quando há um eixo,
temos que examinar a aceleração da velocidade de rotação, que é
determinada pelo torque. O torque nada mais é do que a força
multiplicada pela distância ao eixo. Basta pensar numa porta e
ver que com a mesma força o mais eficiente é empurrar a porta
o mais distante que se puder das dobradiças. Portanto para haver
equilı́brio da placa é preciso que os torques se equilibrem.
Se colocarmos coordenadas no plano da placa de forma que o
eixo y coincida com a linha da régua, então vemos que mk xk corresponde exatamente ao torque sobre a k-ésima partı́cula. O sinal
tem significado, pois partı́culas em lados opostos originam torques
em sentidos opostos com respeito a algum sentido convencionado
de
Pnrotação. Os torque se equilibrarão, portanto, se e somente se
k=1 mk xk for igual a zero, ou seja, se e somente se a coordenada
8
x do centro de massa for igual a zero. Isso corresponde exatamente
ao que querı́amos mostrar.
Centro de massa de corpos contı́nuos
A definição de centro de massa se estende a corpos contı́nuos.
Neste caso, em vez de massas atribuı́das a cada partı́cula, temos
uma densidade ρ, que depende da posição. Assim, se o corpo ocupa
a região V do espaço, seu centro de massa é dado por
RRR
~xρ(~x)d~x
RRRV
.
ρ(~
x
)d~
x
V
O denominador é simplesmente a massa do corpo. O numerador é
um vetor, que na prática tem que ser integrado em cada coordenada:
ZZZ
ZZZ
ZZZ
(
xρ(x, y, z)dxdydz,
yρ(x, y, z)dxdydz,
zρ(x, y, z)dxdydz) .
V
V
V
Em figuras planas ou unidimensionais a definição se adapta desde
que se reinterprete o conceito de densidade. No plano, a densidade é
a quantidade de massa por unidade de área, e na reta é a quantidade
de massa por unidade de comprimento.
Se a densidade for constante seu valor não importa para a determinação do centro de massa, pois se cancela na fração. Neste
caso, ele é dado por
RRR
~xd~x
RRRV
.
d~
x
V
No caso das placas, podemos pensar no problema como bidimensional, pois há homogeneidade e simetria na direção perpendicular
ao seus planos. Nessas placas a densidade é uniforme, portanto
podemos usar o análogo da expressão acima para duas dimensões.
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As propriedades fı́sicas enunciadas para partı́culas massivas incrustradas vale para os corpos contı́nuos igualmente.
Centro de massa da parábola cortada
Nas figuras planas em formato de parábola, as dimensões relevantes são sua largura máxima, igual a 2x0 e sua altura y0 . Por ser
parábola (isto é dado) existe a tal que o seu contorno é o gráfico
de y = ax2 para x entre −x0 e x0 . Como y0 = ax20 , podemos
achar a apenas medindo a largura e a altura da parábola. No entanto, abaixo veremos que não precisaremos dessa informação para
determinar o centro de massa!
Como a densidade da placa é uniforme, fazemos a equivalência
massa/área, de acordo com a discussão acima. A área da parábola
é dada por
Z y0 p
Z y0 Z +√ya
4
3/2
y/ady = a−1/2 y0 .
dy √ dx = 2
3
− y/a
0
0
RR
RR
Temos ainda que calcular
xdxdy e
ydxdy. No primeiro caso
o resultado é zero, pois x é função ı́mpar e a integração em x se
dá num intervalo simétrico em relação à origem. Portanto o centro
de massa se situa no eixo da parábola, resultado que já era de se
esperar.
Para achar a segunda coordenada, calculamos
Z y0
Z +√ya
4
5/2
ydy √ dx = a−1/2 y0
5
0
− y/a
e dividimos pela área total, obtendo
3
y0 .
5
10
Assim, o centro de massa da peça fica no eixo de simetria, a 35 da
altura. O curioso é que o resultado não depende do fator a que
regula a abertura da parábola!
Centro de massa de um triângulo
O lugar natural para se procurar o centro de massa de uma placa
triangular é no encontro de suas medianas, que são as linhas que
vão do meio dos lados aos seus vértices opostos. Se apoiarmos
a placa sobre a régua ao longo de uma das medianas, esperamos
que a peça se equilibre, pois a cada ponto de um lado corresponde
outro a igual distância da linha, permitindo equilı́brio dos torques
(desde que a distribuição de densidade seja homogênea). Como o
raciocı́nio é válido em cada uma das medianas, o centro de massa
fica determinado.
Notemos que esse ponto de encontro das medianas também é
o centro de massa de três partı́culas de massas iguais situadas nos
vértices do triângulo. Se P1 , P2 e P3 são os vértices, em coordenadas, então o centro de massa C é dado por 31 (P1 + P2 + P3 ), mas
a afirmação fica mais clara quando escrevemos
1
1
2 1
C = ( P1 + P2 ) + P3 .
3 2
2
3
Essa expressão mostra como C é achado: primeiro o ponto médio
entre P1 e P2 e depois, a 13 do caminho para P3 . A expressão, além
de mostrar que C está na mediana também mostra exatamente em
que ponto da mediana. Evidentemente que o mesmo é válido para
as outras duas medianas.
O raciocı́nio empı́rico de que o centro de massa do triângulo está
no encontro das medianas pode ser validado de maneira mais formal. O percurso parece ser um pouco pesado demais para resolver
11
esse pequeno problema (que ademais pode ser testado experimentalmente), mas vale a pena pelos conceitos que introduz.
Em primeiro lugar, vejamos como atua uma transformação linear
T bijetiva sobre a posição do centro de massa C de um sistema de
n partı́culas P1 , . . . , Pn com massas m1 , . . . , mn . Temos
Pn
Pn
m
P
m T (Pk )
k
k
k=1
P
Pn k
= k=1
T (C) = T
,
n
k=1 mk
k=1 mk
pela linearidade da transformação. Logo
Pn
m
T
(P
)
k
k
k=1
Pn
,
C = T −1
m
k
k=1
equação que pode ser interpretada da seguinte forma: podemos
calcular a posição do centro de massa achando a posição do centro
de massa da imagem das partı́culas pela transformação e depois
trazendo de volta o resultado pela transformação inversa.
Uma afirmação idêntica pode ser obtida para corpos contı́nuos
e homogêneos. Provaremos isso no caso bidimensional, para uma
região A. O centro de massa de T (A) é dado por
RR
~xd~x
RRT (A)
.
d~
x
T (A)
Pode ser efetuada uma mudança de variáveis em cada integral, de
forma que a expressão fica
RR
~x ◦ T | det T |d~x
ARR
.
|
det
T
|d~
x
A
O determinante de T é constante, pois T é linear, e diferente de
zero, porque T é injetiva, portanto cancela na fração. Logo no
denominador resta apenas a área de A. Já o numerador é um vetor,
12
que pode ser melhor compreendido se escrevermos explicitamente
a ação de T por T (x, y) = (a11 x + a12 y, a21 x + a22 y). Então tudo
se escreve como
Z Z
ZZ
1
(a11 x + a12 y)dxdy,
(a21 x + a22 y)dxdy .
área(A)
A
A
Mas pela linearidade da integral podemos escrever
RR
RR
xdxdy
ydxdy
A
T
, A
,
área(A)
área(A)
que é a imagem do centro de massa de A pela transformação linear
T . Concluı́mos, como no caso discreto, que o centro de massa de
T (A) é a imagem por T do centro de massa de A.
Agora vamos usar esse resultado para achar o centro de massa
de um triângulo qualquer. Esse triângulo qualquer será T (A), e
A será um triângulo isósceles. O triângulo qualquer é posicionado
de forma que uma das medianas fique sobre a ordenada e o ponto
médio do lado cortado pela mediana coincida com a origem. Isso é
mostrado na figura abaixo.
y1
T(A)
(x0 , y0 )
(−x0 ,−y0 )
Note que o lado que passa pela origem é dividido em dois, por
isso seus extremos têm coordenadas opostas.
Em seguida, devemos dizer quem é A e quem é T . Há muitas
opções para isso, mas uma vez fixado A teremos praticamente fixado T . Tomaremos como A o triângulo isósceles com vértices em
13
(0, y1 ), (x0 , 0) e (−x0 , 0), e
1 0
x
x
.
T
= y0
1
y
y
x0
É fácil ver que T leva os vértices de A nos vértices do triângulo
escaleno T (A).2
O centro de massa de A pode ser calculado por integração, a
partir da definição, da mesma maneira que fizemos para a parábola.
Sua área é igual a x0 y1 . A primeira coordenada se anula com a
integração de função ı́mpar num intervalo simétrico. A segunda
coordenada é
Z y1
Z x0 − x0 y
y1
1
dx ,
ydy
x
x0 y1 0
−x0 + y0 y
1
isto é,
1
x0 y1
que resulta em
Z
2x0
0
y1
x0
ydy − 2
y1
Z
y1
y 2 dy
,
0
1
y1 .
3
Então o centro de massa de A é (0, 13 y1 ). Como a imagem desse
ponto por T é ele mesmo, então (0, 13 y1 ) também é o centro de
massa de T (A). Esse ponto está na mediana, a 13 do caminho do
lado para o vértice, como havı́amos concluı́do anteriormente.
Centro de massa de polı́gonos
Sabendo como obter o centro de massa de triângulos fica fácil
obter o centro de massa de qualquer polı́gono. Em primeiro lugar,
divide-se o polı́gono em triângulos, como mostra a figura abaixo.
2
A escolha de T é natural se levarmos em conta que as colunas da matriz de T são
as imagens dos vetores canônicos (1, 0) e (0, 1). O segundo é mandado em si mesmo, e o
primeiro é mandado em (1, xy00 ), que é um vetor com a inclinação desejada.
14
Essa divisão não é única, mas espera-se que o resultado final não
dependa de como ela é feita.
Depois acha-se o centro de massa de cada triângulo, pelo encontro das medianas.
Então cada triângulo é substituı́do por uma partı́cula pontual
situada em seu centro de massa, com massa proporcional à área do
triângulo. Calculando a área de cada triângulo obtêm-se os fatores
da média ponderada das posições e por conseqüência o centro de
massa.
Exercı́cios e experimentos
Vale a pena experimentar com o kit as afirmações feitas no texto.
1. O centro de massa de um triângulo cheio coincide com o centro de massa de partı́culas de mesma massa em seus vértices.
Coincide também com o centro de massa do contorno do
triângulo?
15
2. Formule a pergunta anterior para polı́gonos com mais de três
lados. A resposta é afirmativa ou negativa? Demonstre sua
conclusão.
3. Ache o centro de massa de y = ax4 , cortado. A resposta não
depende de a, como no caso da parábola?
4. Ache o centro de massa de um semi-cı́rculo.
5. Use a propriedade de que o centro de massa da imagem por
uma transformação linear é a imagem do centro de massa pela
mesma transformação linear para justificar o fato de que nas
placas em formato de parábola a posição relativa do centro de
massa não depende da abertura.
6. Ache o centro de massa de um parabolóide de revolução cheio
e cortado. Sua altura é proporcional à altura do parabolóide,
como no caso da parábola?
7. Como achar o centro de massa do contorno da parábola cortada? E da casca do parabolóide cortado? Eles coincidem
com os centros de massa das figuras cheias?
8. Mostre que as linhas que passam pelo centro de massa de uma
figura plana não necessariamente a dividem em duas partes de
igual área.
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Centros de um triângulo. Centros de uma figura plana.
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