Universidade Federal do Vale do São Francisco
Engenharia Civil
Cálculo Diferencial e Integral II
Profo . Edson
2o Semestre
a
3 Lista de Exercı́cios
Data: Terça-feira, 07 de Novembro
2006
Profo . Edson
Regra da Cadeia, Gradiente e Derivada Direcional, Máximos e
Mı́nimos, Multiplicadores de Lagrange
Problema 1 Determine a derivada parcial indicada
utilizando os métodos:
(i) fazendo a substituição de x e y antes da diferenciação.
(ii) usando a regra da cadeia.
Problema 5 A altura de um cone circular reto está
aumentando a uma taxa de 40 cm/min e o raio decrescendo a uma taxa de 15 cm/min. Ache a taxa
de variação do volume no instante em que a altura é
200cm e o raio é 60cm.
a). u = x2 − y 2 ; x = 3r − s; y = r + 2s, ur e us ;
Problema 6 A altura de um cilindro circular reto
está decrescendo a uma taxa de 10 cm/min e o raio
está crescendo a uma taxa de 4 cm/min. Ache a taxa
de variação do volume no instante em que a altura é
50cm e o raio é 16cm.
b). u = xy + xz + yz; x = rs; y = r2 − s2 ;
z = (r − s)2 ; ur e us ;
c). u = 3x2 + xy − 2y 2 + 3x − y; x = 2r − 3s;
y = r + s; ur e us ;
y
d). u = e x ; x = 2rcos t; y = 4rsen t; ur e ut ;
e). V = πx2 y; x = cos zsen t; y = z 2 et ; Vz e Vt ;
Problema 2 Determine a derivada total
a rera da cadeia
a). u = arctg
y
x
du
dt ,
usando
; x = ln t; y = et ;
b). u = xy + xz + yz; x = tcos t; y = tsen t; z = t;
c). u =
x+t
; x = ln t; y = ln 1t ;
y+t
d). u = ln (x2 + y 2 + t2 ); x = tsen t; y = cos t;
Problema 3 Seja f uma função diferenciável da
variável u, onde u = bx − ay e z = f (bx − ay). Prove
que
∂z
∂z
a
+b
=0
∂x
∂y
onde a, b são constantes.
Problema 4 Num dado instante, o comprimento de
um cateto de um triângulo retângulo mede 10 cm e
ele está crescendo a uma taxa de 1cm/min, o comprimento do outro cateto é de 12 cm o qual está decrescendo a uma taxa de 2 cm/min. Ache a taxa de
variação da medida do ângulo oposto ao lado de 12
cm de comprimento.
Problema 7 Água está fluindo para dentro de um
tanque com a forma de um cilindro circular reto, a
uma taxa de 54 π m3 / min. O tanque está aumentando
de tal forma que se mantenha cilı́ndrico, com o raio
crascendo a uma taxa de 0,2 cm/min. Quão rápido
está se elevando a superfı́cie da água quando o raio
for 2m e o volume da água no tanque for 20π m3 ?
Problema 8 Uma parede vertical faz um ângulo de
medida 23 π com o solo. Uma escada de 6m está enconstada na parede e sua ponta escorrega pela parede
a uma taxa de 1 m/s. Quão rápido está variando a
área do triângulo formado pela escada, a parede e o
chão quando a escada faz com o chão um ângulo de
1
6 π.
Problema 9 Suponha que f (t2 , 2t) = t3 −3t, ∀t ∈ R.
Mostre que
∂f
∂f
(1, 2) = − (1, 2)
∂x
∂y
Problema 10 Admita que, para todo (x, y),
4y
∂f
∂f
(x, y) − x (x, y) = 0
∂x
∂y
Prove que f é constante sobre a elipse
x2
+ y2 = 1
4
Problema 11 Admita que, para todo (x, y),
x
∂f
∂f
(x, y) − y (x, y) = 0
∂x
∂y
Prove que g(t) = f (t, 2t ), t > 0, é constante.
3a Lista de Exercı́cios
2
3
b). f (x, y) = y ln x, P = (1, −3), u = ( −4
5 , 5 );
Problema 12 f (x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que para todo (x, y) no domı́nio de g,
1
c). f (x, y, z) = xe2yz , P = (3, 0, 2), u = ( 32 , −2
3 , 3 );
√
x + yz, P = (1, 3, 1), u =
d). f (x, y, z) =
( 72 , 33 , 67 ).
f (x, y, g(x, y)) = 0
Suponha que g(1, 1) = 3,
∂f
∂x (1, 1, 3)
= 3,
∂f
∂y (1, 1, 3)
=
5 e ∂f
∂z (1, 1, 3) = 10. Determine a equação do plano
tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 3).
Problema 19 Determine a taxa de variação
máxima de f no ponto dado e a direção em que
isso ocorre:
Problema 13 A equação y 3 +xy +x3 = 4 define implicitamente alguma função diferenciável y = f (x)?
dy
em termos de x e y.
Em caso afirmativo, expresse dx
a). f (x, y) =
b). f (p, q) = qe−p + pe−q , (0, 0);
Problema 14 Mostre que cada uma das equações
seguintes define implicitamente pelo menos uma
dy
em terfunção diferenciável y = g(x). Expresse dx
mos de x e y.
a). x2 y + sen y = x;
Problema 15 Suponha que y = g(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x =
F (x2 + y, y 2 ), onde f (u, v) é suposta diferenciável.
dy
Expresse dx
em termos de x e y e das derivadas parciais de F .
Problema 16 Suponha que x = x(u, v) e y = y(u, v)
sejam dadas implicitamente pelo sistema

 u=x+y
v = xy , (x 6= 0)
Mostre que
∂x y
· 1+
= 1.
∂u
x
Problema 17 Determine a derivada direcional da
função f no ponto dado e na direção indicada pelo
ângulo θ:
a). f (x, y) = x2 y 3 − y 4 , (2, 1), θ = π4 ;
√
b). f (x, y) = 5x − 4y, (4, 1), θ = − π6 ;
c). f (x, y) = xsen xy, (2, 0), θ =
c). f (x, y) = sen (xy), (1, 0);
d). f (x, y, z) = x2 y 3 z 4 , (1, 1, 1);
e). f (x, y, z) = ln(xy 2 z 3 ), (1, −2, −3).
Problema 20 Determine a direção em que a
derivada direcional de
b). y 4 + x2 y 2 + x4 = 3.

y2
x , (2, 4);
π
4.
Problema 18 Nos itens abaixo, calcule
(i). o gradiente de f ;
(ii). o gradiente de f no ponto P ;
(iii). a taxa de variação de f em P na direção do
vetor u.
5 12
a). f (x, y) = 5xy 2 − 4x3 y, P = (1, 2), u = ( 13
, 13 );
f (x, y) = x2 + sen (xy)
no ponto (1, 0) tem valor 1.
Problema 21 Determine todos os pontos nos quais
a direção de maior variação da função
f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4y
é
i+j
Problema 22 Nas proximidades de uma bóia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas
(x, y) é
z = 200 + 0, 02x2 − 0, 001y 3 ,
onde x, y, z são medidos em metros. Um pescador que
está em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em
direção à bóia, que está localizada no ponto (0, 0). A
água sob o barco está ficando mais profunda ou mais
rasa quando ele começa a se mover? Explique.
Problema 23 Seja f uma função de duas variáveis
que tenha derivadas parciais contı́nuas e considere os
pontos A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7), D = (6, 15).
A derivada direcional de f em A na direção do vetor
AB é 3, e a derivada direcional de f em A na direção
do vetor AC é 26. Determine a derivada direcional
de f em A na direção do vetor AD.
Problema 24 Suponha que u e v sejam funções de
x e y, diferenciáveis, e a e b sejam constantes. Prove
que
a). ∇(au + bv) = a∇u + b∇v;
b). ∇(uv) = u∇v + v∇u;
3a Lista de Exercı́cios
3
c). ∇
u
v
=
v∇u − u∇v
;
v2
e). f (x, y) = 1 + 2xy − x2 − y 2 ;
f). f (x, y) = xy(1 − x − y);
d). ∇un = nun−1 ∇u.
g). f (x, y) = ex cos y;
Problema 25 Determine as equações do plano tangente e da reta normal às superfı́cies dadas, no ponto
especificado.
2
2
2
a). x + 2y + 3z = 21, (4, −1, 1);
b). x = y 2 + z 2 − 2, (−1, 1, 0);
c). x2 − 2y 2 + z 2 + yz = 2, (2, 1, −1);
d). x − z = 4arctg(yz), (1 + π, 1, 1);
e). z + 1 = xey cos z, (1, 0, 0);
f). yz = ln(x + z), (0, 0, 1).
Problema 26 Mostre que a equação do plano tangente ao elipsóide
y2
z2
x2
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c
no ponto (x0 , y0 , z0 ) pode ser escrita como
xx0
yy0
zz0
+ 2 + 2 =1
2
a
b
c
Problema 27 Mostre que todo plano que é tangente
ao cone x2 + y 2 = z 2 passa pela origem.
Problema 28 Determine os pontos no hiperbolóide
x2 − y 2 + 2z 2 = 1 onde a reta normal é paralela à reta
que une os pontos (3, −1, 0) e (5, 3, 6).
Problema 29 Mostre que o produto das interseções
com os eixos x, y e z de qualquer plano tangente à
superfı́cie xyz = c3 é uma constante.
Problema 30 Mostre que a função
f (x, y) =
√
3
xy
é contı́nua e suas derivadas parciais fx e fy existem
na origem mas as derivadas direcionais em todas as
outras direções não existem.
Problema 31 Determine os pontos de máximo,
mı́nimo e de sela locais, da função dada.
a). f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 2;
b). f (x, y) = e4y−x
2
−y 2
;
c). f (x, y) = (1 + xy)(x + y);
d). f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 ;
h). f (x, y) = x2 + y 2 +
1
x2 y 2 .
Problema 32 Determine a distância mais curta entre o ponto (2, 1, −1) e o plano x + y − z = 1.
Problema 33 Determine os pontos da superfı́cie
x2 y 2 z = 1 que estão mais próximos da origem..
Problema 34 Determine três números positivos
cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
Problema 35 Determine três números positivos
x, y e z cuja soma é 100 e tal que xa y b z c seja máximo,
onde a, b, c ∈ R.
Problema 36 Determine o volume da maior caixa
retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode
ser inscrita no elipsóide
9x2 + 36y 2 + 4z 2 = 36
Problema 37 Determine o volume da maior caixa
retangular no primeiro octante com três faces nos
planos coordenados e com um vértice no plano x +
2y + 3z = 6.
Problema 38 Determine as dimensões da caixa retangular de maior volume se sua superfı́cie total é de
64cm2 .
Problema 39 A base de um aquário com volume V
é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço
da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco
vezes o preço do vidro, determine as dimensões do
aquário para minimizar o custo do material.
Problema 40 Uma caixa de papelão sem tampa
deve ter um volume de 32.000cm3 . Determine as
dimensões que minimizem a quantidade de papelaão
utilizado.
Problema 41 Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes
leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10units/m2
por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa de
8units/m2 por dia, o piso a uma taxa de 1unit/m2
por dia e o terraço, a uma taxa de 5units/m2 por
dia. Cada parede deve ter pelo menos 30m de comprimento, a altura no mı́nimo, 4m, e o volume exatamente 4.000m3 .
a). Determine e esboce o domı́nio da perda de calor
como uma função dos comprimentos de seus lados.
3a Lista de Exercı́cios
4
b). Ache as dimensões que minimizam a perda de
calor. (Analise tanto os pontos crı́ticos bem
como os pontos sobre a fronteira do domı́nio).
c). Você poderia projetar um prédio com precisamente a mesma perda de calor, se as restrições
sobre os comprimentos dos lados fossem removidas?
Problema 42 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos de máximo e
mı́nimo da função sujeita à restrição dada.
a). f (x, y) = x2 − y 2 ; x2 + y 2 = 1;
2
2
b). f (x, y) = 4x + 6y; x + y = 13;
c). f (x, y) = x2 y; x2 + 2y 2 = 6;
d). f (x, y) = x2 + y 2 ; x4 + y 4 = 1;
e). f (x, y, z) = 2x + 6y + 10z; x2 + y 2 + z 2 = 35;
f ). f (x, y, z) = 8x − 4z; x2 + 10y 2 + z 2 = 5;
g). f (x, y, z) = xyz; x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6;
h). f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 ; x2 + y 2 + z 2 = 1;
i). f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ; x4 + y 4 + z 4 = 1;
j). f (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4 ; x2 + y 2 + z 2 = 1;
Problema 43 Utilize os multiplicadores de Lagrange para provar que o retângulo de área máxima,
e que tem um perı́metro constante p, é um quadrado.
Problema 44 Determine os volumes máximo e
mı́nimo da caixa retangular cuja superfı́cie tem
1.500cm2 e cuja soma dos comprimentos das arestas
é 200cm.
Problema 45
1. Determine o valor máximo de
f (x1 , x2 , · · · , xn ) =
√
n
x1 x2 · · · xn
dado que x1 , x2 , · · · , xn são números positivos e
x1 + x2 + · · · + xn = c, onde c é uma constante.
2. Deduza da parte (1) que, se x1 , x2 , · · · , xn são
números positivos, então
√
n
x1 x2 · · · xn ≤
x1 + x2 + · · · + xn
n
Essa desigualdade diz que a média geométrica
de n números não pode ser maior que a média
aritmética deles. Sob quais circunstâncias as
duas médias seriam iguais?