INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Aula 02 β Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli A maioria das funções que aparecem em aplicações práticas pode ser derivada usando regras e fórmulas como as que foram vistas no estudo das Derivadas na Matemática I. A integração, por outro lado, é mais uma arte que uma ciência e muitas integrais aparentemente simples pode exigir o uso de métodos especiais ou artifícios apropriados. POR EXEMPLO Determinar π₯ 7 ππ₯ Determinar (3π₯ + 5)7 ππ₯ β’ expandir o integrando 7 (3π₯ + 5) β’ Usar a regra da substituição e fazer uma mudança de variável. USANDO A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO (3π₯ + 5)7 ππ₯ ππ’ = 3ππ₯ (3π₯ + 5)7 ππ₯ π’ = 3π₯ + 5 ππ’ =3 ππ₯ 1 ππ₯ = ππ’ 3 π’7 ππ₯ 1 ππ’) 3 π’7 ( 1 3 π’7 ππ’ Podemos verificar que o cálculo está correto derivando a expressão com o auxílio da regra da cadeia. O método de mudança de variável é chamado de integração por substituição e pode ser encarado como o inverso da regra da cadeia para a derivação. USO DA SUBSTITUIÇÃO PARA INTEGRAR π π₯ ππ₯ Escolha uma substituição π’ = π’(π₯) que βsimplifiqueβ o integrando f(x). Expresse toda integral em termos de π’ e ππ’ = π’β² π₯ ππ₯. Isto significa que todos os termos que envolvem π₯ e ππ₯ devem ser transformados em termos que envolvem π’ e ππ’. Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma π π₯ ππ₯ = π π’ ππ’. Se possível, calcule o valor desta integral transformada determinando uma antiderivada πΊ(π’) de π(π’). Substitua π’ por π’(π₯) em πΊ(π’) para obter uma antiderivada de πΊ(π’(π₯)) para π(π₯), de modo que π π₯ ππ₯ = πΊ π’ π₯ + πΆ Já diz o velho ditado: βO primeiro passo para fazer um ensopado de coelho é arranjar o coelhoβ. βO PRIMEIRO PASSO PARA INTEGRAR POR SUBSTITUIÇÃO É DESCOBRIR UMA MUDANÇA DE VARIÁVEL π’ = π’(π₯) QUE SIMPLIFIQUE O INTEGRANDO DA INTEGRAL DADA, π(π₯) , SEM COMPLICA-LO EXCESSIVAMENTE QUANDO ππ₯ É SUBSTITUÍDO POR ππ’ = π’ β² π₯ ππ₯. 1. Se possível, escolha u de tal forma que uβ(x) seja parte do integrando f(x). 2. Procure escolher u como a parte do integrando que torna a função f(x) difícil de integrar diretamente, como um radicando, um denominador ou um expoente. 3. Não exagere nas substituições. Em nosso exemplo introdutório, (3π₯ + 5)7 ππ₯ , um erro compreensível consiste em fazer π’ = (3π₯ + 5)7 . Isto certamente simplifica o integrando, mas nesse caso ππ’ = 7 3π₯ + 5 6 3 ππ₯ e ficaríamos com uma integral transformada que é mais difícil de resolver que a original. 4. Não desista. Se a substituição que você experimentou não resultar em uma integral fácil de resolver, use uma substituição diferente. A substituição em sempre funciona! EXEMPLOS 1) Determine 2π₯ + 7ππ₯ 2) Determine 8π₯(4π₯ 2 β 3)5 ππ₯ 3) Determine π₯³π π₯ 4) Determine 5) Determine 6) Determine 4+2 ππ₯ π₯ ππ₯ π₯β1 3π₯+6 2π₯ 2 +8π₯+3 (πππ₯)² ππ₯ π₯ 7) Determine π 5π₯+2 ππ₯ 8) Determine π₯ 2 +3π₯+5 ππ₯ π₯+1 ππ₯ Observação: Dada a função π(π₯) = πππ₯ π₯β² A Derivada π´ π₯ = π₯ Determine π₯4π π₯ 4 +2 ππ₯ PROBLEMA A taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um produto é dada por: ππ ππ₯ = β135π₯ 9+π₯² Onde x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x = 4) para um preço de R$ 30,00 a unidade. a) Determine a função da demanda p(x). b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é zero? c) Qual é a demanda para um preço unitário de R$ 20,00?
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