INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Aula 02 – Matemática II
Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
A maioria das funções que aparecem em aplicações práticas pode
ser derivada usando regras e fórmulas como as que foram vistas no
estudo das Derivadas na Matemática I.
A integração, por outro lado, é mais uma arte que uma ciência e
muitas integrais aparentemente simples pode exigir o uso de
métodos especiais ou artifícios apropriados.
POR EXEMPLO
Determinar
𝑥 7 𝑑𝑥
Determinar (3𝑥 + 5)7 𝑑𝑥
• expandir o
integrando
7
(3𝑥 + 5)
• Usar a regra da
substituição e
fazer uma
mudança de
variável.
USANDO A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO
(3𝑥 + 5)7 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥
(3𝑥 + 5)7 𝑑𝑥
𝑢 = 3𝑥 + 5
𝑑𝑢
=3
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
3
𝑢7 𝑑𝑥
1
𝑑𝑢)
3
𝑢7 (
1
3
𝑢7 𝑑𝑢
Podemos verificar que o cálculo está correto
derivando a expressão com o auxílio da regra da
cadeia.
O método de mudança de variável é chamado de integração por substituição e pode ser
encarado como o inverso da regra da cadeia para a derivação.
USO DA SUBSTITUIÇÃO PARA INTEGRAR
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Escolha uma substituição 𝑢 = 𝑢(𝑥) que “simplifique” o integrando f(x).
Expresse toda integral em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥. Isto significa que todos os
termos que envolvem 𝑥 e 𝑑𝑥 devem ser transformados em termos que envolvem 𝑢
e 𝑑𝑢.
Depois de executado o 2º passo, a integral deve estar na forma
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑢. Se possível, calcule o valor desta integral transformada
determinando uma antiderivada 𝐺(𝑢) de 𝑔(𝑢).
Substitua 𝑢 por 𝑢(𝑥) em 𝐺(𝑢) para obter uma antiderivada de 𝐺(𝑢(𝑥)) para
𝑓(𝑥), de modo que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑢 𝑥 + 𝐶
Já diz o velho ditado:
“O primeiro passo para fazer um
ensopado de coelho é arranjar o coelho”.
“O PRIMEIRO PASSO PARA INTEGRAR POR SUBSTITUIÇÃO É DESCOBRIR UMA MUDANÇA DE VARIÁVEL 𝑢 =
𝑢(𝑥) QUE SIMPLIFIQUE O INTEGRANDO DA INTEGRAL DADA, 𝑓(𝑥) , SEM COMPLICA-LO EXCESSIVAMENTE
QUANDO 𝑑𝑥 É SUBSTITUÍDO POR 𝑑𝑢 = 𝑢 ′ 𝑥 𝑑𝑥.
1. Se possível, escolha u de tal forma que u’(x) seja parte do integrando f(x).
2. Procure escolher u como a parte do integrando que torna a função f(x) difícil de integrar
diretamente, como um radicando, um denominador ou um expoente.
3. Não exagere nas substituições. Em nosso exemplo introdutório, (3𝑥 + 5)7 𝑑𝑥 , um erro
compreensível consiste em fazer 𝑢 = (3𝑥 + 5)7 . Isto certamente simplifica o integrando, mas nesse
caso 𝑑𝑢 = 7 3𝑥 + 5 6 3 𝑑𝑥 e ficaríamos com uma integral transformada que é mais difícil de
resolver que a original.
4. Não desista. Se a substituição que você experimentou não
resultar em uma integral fácil de resolver, use uma substituição
diferente.
A substituição em sempre
funciona!
EXEMPLOS
1) Determine
2𝑥 + 7𝑑𝑥
2) Determine
8𝑥(4𝑥 2 − 3)5 𝑑𝑥
3) Determine
𝑥³𝑒 𝑥
4) Determine
5) Determine
6) Determine
4+2
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑥−1
3𝑥+6
2𝑥 2 +8𝑥+3
(𝑙𝑛𝑥)²
𝑑𝑥
𝑥
7) Determine 𝑒 5𝑥+2 𝑑𝑥
8) Determine
𝑥 2 +3𝑥+5
𝑑𝑥
𝑥+1
𝑑𝑥
Observação:
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥
𝑥′
A Derivada 𝑓´ 𝑥 =
𝑥
Determine
𝑥4𝑒 𝑥
4 +2
𝑑𝑥
PROBLEMA
A taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um produto é dada por:
𝑑𝑝
𝑑𝑥
=
−135𝑥
9+𝑥²
Onde x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de
unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x = 4) para um preço de
R$ 30,00 a unidade.
a) Determine a função da demanda p(x).
b) Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é
zero?
c) Qual é a demanda para um preço unitário de R$ 20,00?