Capı́tulo 11
Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de
Variação
11.1
Introdução
Até aqui entendemos a derivada de uma função como a inclinação da reta tangente ao seu gráﬁco. Veremos a seguir
que o conceito de derivada está relacionado a muitas outras interpretações. Dentre estas, talvez a mais importante
seja o problema de calcular a velocidade de um objeto móvel. Os conceitos de velocidade e de aceleração, deﬁnidos
como taxas de variação instantânea, desempenharam um papel de primordial importância no desenvolvimento do
Cálculo feito por Newton, em seus esforços para descobrir os princı́pios da Dinâmica e compreender os movimentos
dos planetas. As idéias a serem discutidas nesta seção mostram que a interpretação da derivada como taxa da variação
entre duas quantidades, ou melhor, como uma razão de variação entre a variável dependente e a variável independente
é importante em vários ramos da Ciência, incluindo as Ciências Biológicas e Sociais e a Economia.
11.2
Velocidade média
Suponha que você faça uma viagem de carro do Rio a São Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio você zera o
hodômetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma
função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela que indica, para algumas localizações do carro durante o
percurso, o tempo transcorrido e a distância percorrida.

Percurso Rio

t
0
s(t)
0
B. do Piraı́
1.5
100
Resende
2
150
Taubaté A. do Norte
2.7
3
240
280

S. Bernardo SP
4
5 
350
420
A partir dos dados desta tabela é possı́vel calcular a velocidade média desta viagem. Como sabemos, a velocidade
média é deﬁnida como:
velocidade média =
de
distância percorrida
tempo trancorrido
Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso completo do Rio a S. Paulo, foi
= 84 km/h.
Façamos uma análise da viagem estudando o gráﬁco da distância como função do tempo:
420
5
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
154
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
Podemos calcular, facilmente, a velocidade média, vm , entre cada cidade do percurso assinalada na tabela. Assim,
100
a velocidade média desenvolvida por este automóvel no trecho Rio-Barra do Piraı́ foi de
= 66, 67; no trecho Barra
1, 5
150 − 100
240 − 150
do Piraı́-Resende,
= 100; no trecho Resende-Taubaté,
= 128, 6, e assim por diante.
2 − 1, 5
2, 7 − 2
Note que estas velocidades médias correspondem às declividades das retas que ligam os pontos cujas coordenadas
fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada
no percurso. Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no gráﬁco ao ponto (0,0) = (0,s(0))) a Barra do Piraı́
(ponto (1.5, 100) = (1,5; s(1.5)), no gráﬁco) a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 66.7 km/h pois,
distância percorrida
s(1.5) − s(0)
100
=
=
= 66, 67.
tempo transcorrido
1, 5
1, 5
Geometricamente, este valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0, 0) a (1.5, 100). De modo geral, a
velocidade média, desenvolvida pelo automóvel, no percurso Rio de Janeiro, ponto (t0 , s(t0 )), a cada uma das cidades
destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), é dada pela fórmula
vm =
s(t) − s(to )
∆s
=
.
t − to
∆t
A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante todo o trajeto,
ou parte dele, mas a questão que se coloca agora é como determinar a velocidade que o velocı́metro do automóvel
indicava no exato instante em que passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo kilômetro 78 da
rodovia.
A leitura do velocı́metro mede o que chamamos de velocidade instantânea, ou, simplesmente, velocidade do automóvel, e é este conceito que abordaremos no exemplo estudado na próxima seção.
11.3
Velocidade instantânea
Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância ao solo em cada instante t (em segundos) é
conhecida e dada por s(t) = −t2 + 4 t metros .
5
4
>
s:=t->-t^2+4*t;
>
s := t → −t2 + 4 t
plot(s(x),x=0..5,s=0..5);
3
s
2
1
0
1
2
x
3
4
5
O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto é,
determinar a velocidade instantânea da bola para cada t ﬁxado, por exemplo em t0 = 1 segundo.
Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas e nem mesmo como deﬁnir matematicamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema.
Parece razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velocidade média calculada
sobre um intervalo de tempo ∆ t = t − t0 , com t próximo de t0 . Por exemplo, para t = 2 segundos, temos ∆ t = 1 e
vm =
s(1 + ∆ t) − s(1)
= s(2) − s(1).
∆t
Calculando este valor, obtemos:
>
s(2)-s(1);
1
Para t = 1, 5 segundos, temos ∆ t = 0, 5 e
vm =
Calculando este novo valor, obtemos:
>
(s(1.5)-s(1))/0.5;
s(1, 5) − s(1)
s(1 + ∆ t) − s(1)
=
.
∆t
0, 5
W.Bianchini, A.R.Santos
155
1.500000000
Para t = 1, 01 segundos, temos ∆ t = 0, 1 e
vm =
s(1 + ∆ t) − s(1)
s(1, 1) − s(1)
=
∆t
0, 1
e daı́, obtemos:
>
(s(1.1)-s(1))/0.1;
1.9
Prosseguindo com este raciocı́nio, tomando valores de t cada vez mais próximos de 1, isto é, fazendo ∆ t se
aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma seqüência de valores para vm que parece convergir para dois, como
mostra a tabela a seguir:


















t
1.500000000
1.250000000
1.125000000
1.062500000
1.031250000
1.015625000
1.007812500
1.003906250
1.001953125
1.000976563
vm
1.500000000
1.750000000
1.875000000
1.937500000
1.968750000
1.984375000
1.992187500
1.996093750
1.998046875
1.999023438


















Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em t = 1, basta calcularmos a velocidade
média sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observações indicam que é possı́vel deﬁnir a
velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades médias. Assim, temos:
v(1) = lim
t→1
s(t) − s(1)
t−1
e este limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente:
v(t) = s′ (t) = lim
∆ t→0
∆s
.
∆t
Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 s, é dada por
v(1) = s′ (1) = Dt (−t2 + 4 t)t=1 = −2 t + 4|t=1 = 2 m/s ,
ou, usando o Maple:
>
v:=D(s);
v := t → −2 t + 4
>
v(1);
2
De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto t0 qualquer é deﬁnida por:
v(t0 ) = lim
∆ t→0
s(t0 + ∆ t) − s(t0 )
s(t) − s(t0 )
= lim
= s′ (t0 ).
t→t0
∆t
t − t0
Como vimos no parágrafo anterior, conhecendo-se a função s(t), que fornece, para cada instante de tempo t, a
distância percorrida por uma partı́cula em movimento, a velocidade média desta partı́cula, calculada em um intervalo
de tempo ∆ t = t − t0 , coincide com a inclinação da reta secante ao gráﬁco da função s(t) que passa pelos pontos
(t0 , s(t0 )) e (t, s(t)). Sabemos que, à medida que estes dois pontos se aproximam um do outro, isto é, quando ∆ t → 0,
a inclinação da reta secante ao gráﬁco de s(t) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em t = t0 . Assim, o
valor da velocidade instantânea coincide com o coeﬁciente angular da reta tangente ao gráﬁco de s(t) no instante t =
t0 .
156
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t0 , a distância percorrida por uma partı́cula
em movimento, a sua derivada s′ (t0 ) fornece a velocidade da partı́cula neste instante, e esta velocidade pode ser
interpretada, geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráﬁco da função s no ponto t0 .
Tornando a observar o gráﬁco da função s(t), vemos que, em determinados pontos, por exemplo, em t0 = 3, a
inclinação da reta tangente à curva é negativa, isto indica que a velocidade da bola, neste instante, também é negativa.
- Como é possı́vel interpretar, ﬁsicamente, este resultado?
Exemplo
Considere uma bola lançada do solo, cuja altura em cada instante t (segundos) é dada por s(t) = −4 t2 + 20 t
(metros).
(a) Qual a velocidade da bola no instante do lançamento?
(b) Em que instante sua velocidade é igual a zero?
(c) Em que intervalos de tempo a velocidade da bola é positiva? Em que intervalos é negativa?
(d) Qual a altura máxima atingida pela bola?
(e) Estude geometricamente o movimento da bola.
Solução Vamos resolver este problema usando o Maple para efetuar os cálculos necessários
(a) Primeiro, deﬁnimos a função s, que fornece a altura da bola para cada instante de tempo t:
>
s:=t->-4*t^2+20*t;
s := t → −4 t2 + 20 t
A velocidade da bola é dada pela derivada de s:
>
v:=unapply(diff(s(t),t),t);
v := t → −8 t + 20
No instante do lançamento, temos t = 0. Conseqüentemente, a velocidade da bola neste instante será dada por:
>
v(0);
20
(b) Para calcular o instante em que a velocidade é zero, precisamos resolver a equação v(t) = 0. Assim
>
fsolve({v(t)=0},{t});
{t = 2.500000000}
(c) Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade é positiva e onde ela é negativa é equivalente a resolver
as desigualdades v(t) > 0 e v(t) < 0, para t variando no intervalo onde s(t) – a função deslocamento – é positiva.
Resolvendo estas desigualdades, temos:
>
solve(v(t)>0);
5
RealRange(−∞, Open( ))
2
>
solve(v(t)<0);
5
RealRange(Open( ), ∞)
2
Como s(t) > 0, para t em (0, 5), temos que v(t) > 0 para t em [0, 2.5) e v(t) < 0 para t em (2.5, 5).
(d) A bola atingirá a altura máxima quando a velocidade for zero, ou seja, para t = 2.5. Até este instante a
bola estará subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela começa a cair (velocidade negativa). A altura
máxima será, portanto, dada por
>
s(2.5));
25
(e) Os gráﬁcos fornecem, respectivamente, a posição e a velocidade da partı́cula para cada instante de tempo t e
descrevem, geometricamente, o seu movimento.
W.Bianchini, A.R.Santos
157
pos. x tempo
vel. x tempo
20
28
26
24
22
20
18
16
y14
12
10
8
6
4
2
0
11.4
10
0
1
2
x
3
4
5
–10
–20
1
2
x
3
4
5
Taxas de variação
A velocidade média e a velocidade instantânea são exemplos dos conceitos de taxa de variação média e taxa de variação
instantânea, respectivamente, que são básicos para todas as ciências.
0)
Nas aplicações, encaramos o quociente s(t)−s(t
como uma taxa de variação média da função s(t) quando t varia
t−t0
num intervalo do tipo [t0 , t]. Tomando o limite desta razão quando ∆ t = t − t0 tende a zero, encontramos a taxa de
variação da função s(t), no instante t0 . Quando s é uma função que fornece a posição de um objeto móvel, para cada
instante de tempo t, a diferença s(t) − s(t0 ) é uma mudança de posição. Dividindo esta diferença pelo tempo t − t0 ,
gasto para atingir a nova posição, temos a velocidade média deste objeto (razão entre variação do espaço percorrido
e o tempo transcorrido), calculada sobre o intervalo [t0 , t] ou, em outras palavras, a taxa de variação média de s
sobre este intervalo. Nessa terminologia, a velocidade instantânea é, simplesmente, a taxa de variação instantânea da
posição em relação ao tempo. (Quando o tempo é a variável independente, omitimos, freqüentemente, a frase “com
relação ao tempo” e falamos somente “taxa de variação”.)
De um modo geral, se f é uma função da variável independente x, então
lim
∆ x→0
f (a + ∆ x) − f (a)
∆f
= lim
∆ x→0 ∆ x
∆x
é chamado de taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x , calculada no ponto x = a. Como o limite
acima é a derivada da função f no ponto a, esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea
da função em relação a sua variável, neste ponto. Intuitivamente, esta é a variação em y, que seria produzida por um
acréscimo de uma unidade em x, se a derivada de f permanecesse constante.
5
4
3
y
2
f ’(a)
∆ x=1
1
0
1
2
x
3
4
5
A notação de Leibniz (Veja Cap. 9 ) é particularmente apropriada nessas aplicações. Por exemplo, se s(t) é a função
que fornece a posição de um móvel no instante t, então, na notação de Leibniz, a velocidade no instante t (a derivada
da função posição) é representada por ds
dt . Esta notação tem a vantagem de exibir as unidades apropriadamente: se
s é dado em metros e t em segundos, a velocidade ds
dt é dada em metros/segundo, como é sugerido pela notação.
11.4.1
Exemplos
Exemplo 1
Um tanque cilı́ndrico contém inicialmente 400 litros de água. Suponha que uma torneira existente na base do
tanque seja aberta no instante t = 0. Suponha ainda que o volume V de água no tanque, após t minutos, seja dado
por V(t) = ( 14 )(40 − t)2 litros. Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar completamente após a torneira
ser aberta, calcule:
1. A taxa média de escoamento da água do tanque durante os 10 minutos entre os instantes t = 10 e t = 20 minutos.
2. A taxa instantânea segundo a qual a água está escoando do tanque nos instantes t = 10 e t = 20.
Veja a animação no texto eletrônico que ilustra esquematicamente este problema.
158
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
Solução
O volume da água contida no tanque em qualquer instante de tempo t é dado por:
>
v:=t->1/4*(40-t)^2;
V := t →
1
(40 − t)2
4
Observe o gráﬁco desta função:
>
plot(V(t),t=0..45);
400
300
200
100
0
10
20 t
30
40
Para achar a taxa média de escoamento da água do tanque durante o intervalo de tempo dado, precisamos calcular
. Assim, temos:
a razão V(20)−V(10)
10
>
Vm:=(v(20)-v(10))/10;
−25
= −12.5
2
A taxa negativa signiﬁca que o volume d’água no tanque está diminuindo, ou seja, a água está escoando a uma
velocidade média de 12, 5 l/min. A taxa de variação instantânea nos instantes t = 10 e t = 20 será dada por V ′ (10) e
V ′ (20), respectivamente. Usando o Maple para fazer estes cálculos, teremos:
Vm :=
>
Diff(‘V(t)‘,t)=D(V)(t);
∂
∂t
>
>
V (t) = −20 +
1
t
2
Diff(‘V(10)‘,t)=D(V)(10);
∂
∂t
V (10 ) = −15
∂
∂t
V (20 ) = −10
Diff(‘V(20)‘,t)=D(V)(20);
Exemplo 2
1. Determine a taxa de variação média do volume de uma esfera em relação ao seu raio r, quando o raio varia entre
2 e 4 metros.
2. Mostre que a taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio é igual à área da superfı́cie
da esfera.
Solução
3
(a) O volume de uma esfera de raio r (metros) é dado por V (r) = 4 π3r (metros cúbicos). Assim a taxa média de
variação do volume da esfera, quando o raio r varia de 2 a 4 metros é dada pelo quociente V(4)−V(2)
. Utilizando o
2
Maple para efetuar estes cálculos, teremos:
>
V:=r->4/3*Pi*r^3;
V := r →
>
4 π r3
3
taxa_media:=(V(4)-V(2))/2;
112
π
3
(b) A taxa de variação instantânea do volume da esfera em relação ao seu raio será dada pela derivada da função
V(r) e, portanto, será igual a
taxa media :=
>
taxa_instantanea:=diff(V(r),r);
W.Bianchini, A.R.Santos
159
taxa instantanea := 4 π r2 ,
que é a área da superfı́cie desta esfera.
11.5
Aceleração e outras taxas de variação
11.5.1
Aceleração
A velocidade é importante para estudar o movimento de um móvel ao longo de uma reta, mas a maneira como a
velocidade varia também é muito importante.
Em fı́sica, a aceleração é deﬁnida como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, isto é, se a velocidade
no instante t é dada por v(t), então a aceleração neste instante será v ′ (t).
No caso de um objeto em queda livre, veremos que a velocidade é um polinômio do primeiro grau, v(t) = a + b t.
v(t) − v(t0 )
Neste caso, a aceleração é v ′ (t) = lim
= b.
t→t0
t − t0
11.5.2
Densidade
Em fı́sica, deﬁnimos densidade linear de uma barra, haste ou ﬁo como sendo a sua massa por unidade de comprimento.
Além disso, uma barra, haste ou ﬁo de um material qualquer é dito não-homogêneo quando algumas de suas partes
são mais pesadas por unidade de comprimento do que outras.
Suponha que uma haste reta, não-homogênea, de comprimento L, esteja disposta ao longo do eixo dos x de tal
maneira que uma de suas extremidades coincida com a origem e todos os seus pontos possam ser indentiﬁcados com
um número do intervalo [0, L]. Como é possı́vel encontrar a densidade linear da haste em um ponto c qualquer da
mesma? É fácil obter uma resposta aproximada para este problema: poderı́amos cortar um pequeno pedaço da haste,
por exemplo o pedaço de c até c + h, com h > 0, pesar este pedaço e dividir a massa por h (comprimento do pedaço).
Quanto menor for o comprimento do pedaço melhor será a aproximação para a densidade no ponto c Vamos chamar
de M(x ) a massa do pedaço da haste entre 0 e qualquer um de seus pontos x. Então, M(c + h) − M(c) é a massa do
pedaço compreendido entre c e c + h, e conforme explicamos acima, M(c+h)−M(c)
é uma aproximação da densidade
h
desta haste em c. Esta aproximação melhora à medida que h se torna pequeno. Assim, a densidade em c pode ser
obtida fazendo-se na razão acima h → 0, isto é, se M(x ) é a função que fornece a massa da haste em cada pedaço do
tipo [0, x], a densidade desta haste no ponto c é deﬁnida como:
Densidade em c = M ′ (c) = lim
h→0
M(c + h) − M(c)
.
h
Exemplo
Uma haste está situada entre os pontos x = 0 e x = 1 do eixo das abscissas e a sua massa em cada pedaço do tipo
[0, x] é dada por M(x) = 5 x − 2 x2 .
(a) Ache a densidade da haste em qualquer um dos seus pontos x.
(b) Qual das suas extremidades é mais densa x = 0 ou x = 1.
Solução
(a) A densidade em qualquer ponto x da haste é dada por m′ (x) = 5 − 4 x.
(b) A densidade em x = 0 e em x = 1 é dada, respectivamente, por M ′ (0) e M ′ (1). Como M ′ (0) = 5 e M ′ (1) = 1,
concluı́mos que a densidade em x = 0 é maior que a densidade no ponto x = 1.
11.5.3
Crescimento populacional
Uma função que fornece o número de objetos em alguma coleção sobre um certo intervalo de tempo é chamada uma
função de população. As funções que fornecem o número de habitantes da Terra, o número de bactérias numa colônia
ou o número de reais em uma conta bancária, num determinado instante de tempo, são exemplos de funções deste
tipo.
A taxa de variação de funções de população é geralmente dada como um aumento ou decréscimo percentual na
unidade de tempo. Por exemplo, tomando-se como base os dados do censo de 1991, sabemos que a população do
Brasil está aumentando a uma taxa de 1,7% ao ano; tomando-se por base a meia-vida do radio radioativo, podemos
160
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
aﬁrmar que a quantidade de radio numa determinada amostra decresce a uma taxa de 35% por milênio e que uma
determinada quantia aplicada em caderneta de poupança rende 6% de juros reais ao ano.
Estas taxas são dadas em percentual em lugar de valores absolutos, porque, ao menos em curto prazo, taxas
percentuais são mais constantes que taxas absolutas. Esta aﬁrmação é particularmente verdadeira no caso de amostras
radiativas. Na realidade, a lei do decaimento radiativo estabelece que o decréscimo percentual no número de átomos
0 +h)
de um determinado elemento radiativo presentes em uma amostra é realmente uma constante dada por A(t0 )−A(t
,
A(t0 )
onde A(t) é a função que fornece o número de átomos presentes na amostra no instante t. A razão acima depende
somente de h, portanto, podemos escrever
A(t0 ) − A(t0 + h)
= f(h).
A(t0 )
Como
derivada:
A(t0 +h)−A(t0 )
h
= − f(h) hA(t0 ) , fazendo h tender a zero, obtemos a seguinte relação entre a função A(t) e a sua
A′ (t0 ) = lim
h→0
A(t0 + h) − A(t0 )
= −k A(t0 ),
h
f(h)
.
h→0 h
O projeto O Método de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) estabelece um método de “reconstruirmos” a função
A(t) a partir da relação acima. Posteriormente, neste texto, aprenderemos como obter, analiticamente, a função A(t)
a partir desta relação.
Para obter a relação acima, consideramos intervalos de tempo suﬁcientemente pequenos, isto é, tomamos o limite
quando t → 0. Há uma objeção séria a este raciocı́nio. Para um intervalo de tempo suﬁcientemente pequeno, a
variação da população é um ou zero e o seu gráﬁco é parecido com a ﬁgura:
onde k é uma constante dada por k = lim
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
As retas tangentes a este gráﬁco são todas ou horizontais ou verticais. Considerar que a função A(t), neste caso,
é derivável exige uma hipótese simpliﬁcadora: o gráﬁco verdadeiro é substituı́do por uma curva suave.
5
4
3
2
1
0
1
2
x 3
4
5
Repare, ainda, que esta é uma hipótese bastante razoável considerando que, em comparação ao grande número de
átomos presentes em qualquer amostra, a variação de um átomo é praticamente desprezı́vel.
Com algumas outras hipóteses simpliﬁcadoras, a mesma espécie de lei se aplica ao crescimento de populações, como
a de pessoas ou de bactérias, isto é, podemos considerar que o crescimento (ou decrescimento) de uma população é
proporcional ao seu tamanho naquele instante. Chamando de P (t) o número de indivı́duos ou bactérias que compõem
a população em estudo, teremos que
P ′ (t) = k P (t),
onde k representa a taxa de crescimento vegetativo da população, isto é, a diferença entre a taxa de natalidade e a de
mortalidade daquela população, podendo, portanto, pode ser positivo ou negativo.
11.5.4
Taxa de reação
Uma reação quı́mica, chamada produto, resulta da formação de uma ou mais substâncias iniciais, chamadas reagentes.
Por exemplo, a equação 2 H2 + O2 −→ 2 H2 O indica que duas moléculas de hidrogênio e uma molécula de oxigênio
formam uma molécula de água.
W.Bianchini, A.R.Santos
161
Considere a reação A + B −→ C, onde A e B são os reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente
A é o número de moles (6, 022 × 1023 moléculas) por litro e é denotada por [A]. A concentração varia durante uma
reação. Desse modo [A], [B] e [C] são todas funções do tempo t. A taxa média de reação do produto C no intervalo
t1 ≤ t ≤ t2 é dada por
∆ [C]
[C](t2 ) − [C](t1 )
=
.
∆t
t2 − t1
Em Quı́mica, porém, estamos mais interessados na taxa de reação instantânea, dd[C]
t , que é obtida tomando-se o
limite da taxa média de reação quando o intervalo de tempo ∆ t se aproxima de zero, isto é
d [C]
∆ [C]
= lim
.
∆ t→0 ∆ t]
dt
Como a concentração do produto aumenta, à medida em que a reação prossegue, a derivada dd[C]
t é positiva. A
concentração dos reagentes, entretanto,
decresce
durante
a
reação,
e
como
[A]
e
[B]
decrescem
à
mesma
taxa em que
(
) (
)
[C] aumenta, temos que
d [C]
dt
= − dd[A]
+ − dd[B]
.
t
t
Mais geralmente, se temos uma reação da forma
a A + b B −→ c C + d D,
então
−
1 d [A] 1 d [B]
1 d [C] 1 d [D]
−
=−
−
.
a dt
b dt
c dt
d dt
Existem técnicas que permitem, a partir da taxa de reação, determinar uma fórmula explı́cita para a concentração
como função do tempo. O projeto O Método de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) mostra como isto pode ser feito
numérica e graﬁcamente.
11.5.5
Aplicações à Economia
Em Economia, a taxa de variação de uma quantidade Q com relação a uma conveniente variável independente é
chamada, usualmente, “Q marginal”. Assim, temos custo marginal, receita marginal, lucro marginal, etc. Considere,
por exemplo, uma operação de venda em que as quantidades a serem medidas são o número x de itens vendidos, o
custo de sua produção C(x), a receita obtida com a venda R(x) e o lucro lı́quido (L(x)) resultante. Então as derivadas
C ′ (x), R′ (x) e L′ (x) são chamadas, respectivamente custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitos
casos, x é um número grande, e assim 1 é pequeno comparado com x, daı́, C ′ (x) = dC
dx é aproximadamente igual a
C(x + 1) − C(x). Por esta razão, muitos economistas descrevem o custo marginal como “o custo de produzir uma peça
a mais”. Esta mesma observação vale para a receita e o lucro marginais.
Enquanto R′ for maior que C ′ , o lucro pode ser aumentado pela produção (e venda) de mais itens, pois R′ > C ′
signiﬁca, simplesmente, que um pequeno aumento no número de itens produzidos e vendidos causa um aumento maior
na receita do que nos custos. Se R′ < C ′ , menos itens deveriam ser produzidos. Quando R′ = C ′ , podemos ter
esperança de que o lucro esteja maximizado.
A objeção ao fato de tomarmos derivadas, que foi levantada na discussão do aumento populacional, se aplica aqui
ainda mais fortemente. Sua refutação é a mesma: o processo exige uma hipótese simpliﬁcadora, que é razoável se uma
grande quantidade de itens é fabricada e vendida.
11.6
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labtaxa.mws da versão eletrônica deste
texto.
11.7
Exercı́cios
1. Considere o gráﬁco da função k:
162
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
F
6
5
4
D
3
E
2
1
A
0
C
1
2
x
3
4
5
B
(a) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é maior?
(b) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é negativa?
(c) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa média de variação de k é próxima de zero?
(d) Entre quais pares de pontos consecutivos as taxas médias de variação de k são próximas?
2. Um boêmio, perambulando pela calçada numa noite escura, observa ao passar sob um poste iluminado que o
comprimento de sua sombra varia com sua posição em relação ao poste. Suponha que o poste tenha 9 metros
de altura e o boêmio 1,80 metros. Considere ainda que o boêmio caminhe a uma velocidade de 1 m/s. Pede-se:
(a) a velocidade com que sua sombra cresce;
(b) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta do poste;
(c) a velocidade com que a sombra de sua cabeça se afasta da lâmpada do poste.
3. Prove que a taxa de variação do volume de um cubo em relação ao comprimento de sua aresta é igual à metade
da área da superfı́cie do cubo.
4. Considere um cilindro cuja altura é sempre igual ao dobro do seu raio. Mostre que a taxa de variação de seu
volume em relação ao raio é igual à area de sua superfı́cie total.
5. Uma bola é lançada num instante t = 0 (s) de cima de um edifı́cio de altura 60 metros. Sua altura do chão em
2
cada instante é dada por s(t) = − t3 + 83t + 60. Calcule a velocidade de impacto quando a bola toca o chão.
6. Uma pedra é lançada em um lago, gerando uma onda circular que se propaga a partir do ponto de impacto a 3
m/s. A que taxa m2 /s a área do cı́rculo está aumentando, decorridos 20 segundos após o lançamento?
7. Uma bola de neve com raio de 6 metros começa a degelar e seu raio decresce numa taxa constante. Ela demora
3 horas para derreter totalmente.
Calcule a taxa de variação do volume da bola depois de 2 horas.
8. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição
inicial após t segundos, então, s = 100 t2 + 100 t.
Com que velocidade a bola atingirá a tabela, a partir da posição inicial que está a 39 cm?
9. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina t minutos após o
escoamento ter começado, onde V = 250(40 − t)2 , encontre com que rapidez a água ﬂui da piscina 5 minutos
após o escoamento ter começado?
10. Se um cilindro reto de base circular tem altura de 10 cm, encontre a razão de variação instantânea do volume
em relação ao raio de sua base quando o raio é 5 cm.
11.8
Problemas propostos
1. A ﬁgura a seguir mostra o gráﬁco de três funções posição s(t), de três funções velocidade v(t) e de três funções
aceleração a(t), mas a velocidade em uma coluna não corresponde necessariamente à função posição da mesma
coluna, o mesmo acontecendo para as funções aceleração. Para cada função posição no primeiro grupo, escolha
a velocidade e a aceleração que lhe corresponde no segundo e terceiro grupos, respectivamente.
Função Posição
W.Bianchini, A.R.Santos
163
(i)
(ii)
(iii)
Função Velocidade
(I)
(II)
(III)
Função Aceleração
(a)
(b)
(c)
2. A posição de uma partı́cula se deslocando durante 10 minutos em linha reta é dada em cada instante por
s(t) = t3 − 14 t2 + 50 t. Analise graﬁcamente o movimento da partı́cula respondendo às seguintes questões:
(a) A partı́cula está se afastando ou se aproximando do seu ponto de partida para t entre 3 e 6? E entre t =
1 e t = 2? Por quê?
(b) Para quais valores de t a velocidade da partı́cula é zero? A que distância do ponto de partida isto ocorre?
(c) Para quais valores de t a velocidade é positiva e para quais ela é negativa?
(d) O gráﬁco da velocidade mostra que a partı́cula está se aproximando ou se distanciando do ponto de partida
para t > 8? Que propriedade geométrica do gráﬁco evidencia esta questão?
(e) Para que valores de t, a partı́cula atinge a maior velocidade? E a menor?
3. A população de uma cidade t anos após a década de 1980 é dada por P (t) = 20+2 t−0, 1 t2 +0, 012 t3 (milhares).
(a) O gráﬁco de P (t) mostra que a população cresceu na década de 80? Explique sua resposta.
(b) O gráﬁco da derivada P ′ (t) conﬁrma a resposta dada em (a)? Explique por quê.
(c) Observando o gráﬁco de P ′ (t), em que ano se deu a menor taxa de crescimento da população durante a
década de 1980?
(d) Que pontos do gráﬁco de P ′ (t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantânea de variação de P
é igual à sua taxa média de variação durante a década de 1980?
4. Uma função custo C(x) é conhecida para um determinado produto. Em cada um dos ı́tens abaixo, ache a função
custo marginal e compare o custo marginal da produção de 100 ı́tens desse produto com o custo marginal da
produção de 101 ı́tens.
√
(a) C(x) = 420 + 1, 5 x + 0, 002 x2
(c) C(x) = 2500 + 2 x
(b) C(x) = 1200 +
x
10
+
x2
10000
5. A ﬁgura a seguir fornece o gráﬁco do custo C(x) de produção de x ı́tens (pontilhado) e o gráﬁco da receita R(x)
da venda de x ı́tens.
164
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
(a) Em que intervalo a operação dá lucro?
(b) Quando o lucro é máximo? (Primeiro procure o lucro máximo
diretamente no gráﬁco, depois use a condição R′ = C ′ ).
(c) Construa o um gráﬁco do lucro lı́quido. (Note que L(x) = r(x) −
C(x).)
(d) Esboce o gráﬁco do lucro marginal.
4
3
y2
1
–3
–2
–1
0
–1
1
2
x
3
4
–2
–3
–4
6. Se uma molécula do produto C é formada de uma molécula do reagente A e uma molécula do reagente B e a
t
concentração inicial de A e B é dada por [A] = [B] = a moles/l, então [C] = a2 a kkt+1
, onde k é uma constante.
(a) Ache a taxa de reação em um instante t.
(b) Se [C] = x, mostre que
dx
dt
2
= k (a − x) .
7. Se R denota a reação de um corpo a qualquer estı́mulo de magnitude x, a sensitividade S é deﬁnida como a taxa
de variação da reação em relação à x. Por exemplo, quando uma fonte luminosa aumenta de intensidade, o olho
humano reage decrescendo o raio R da pupila. A fórmula experimental
R=
40 + 24 x0,4
1 + 4 x0,4
descreve a dependência de R em relação a x, onde R é medido em mm2 e x pela unidade apropriada de brilho.
(a) Ache a sensitividade.
(b) O que acontece com os valores de R e de S para valores pequenos de x?
8. Investigando a queda dos corpos, Galileu Galilei descobriu, experimentalmente, que este movimento era governado pela lei s = c t2 , onde s era o espaço percorrido pelo objeto em queda em t segundos. Em 1604, no
auge da sua carreira cientı́ﬁca Galileu conjecturou que no movimento retilı́neo acelerado a velocidade aumentava
proporcionalmente à distância percorrida pelo móvel.
(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo percorre uma distância s(t) em t segundos e s′ (t) é proporcional a s, então s não pode ser uma função da forma s(t) = c t2 .
(b) Se s é da forma s(t) =
a t2
2 ,
prove que:
′′
i. s (t) = a (a aceleração é constante).
√
ii. s′ (t) = 2 a s(t)
(c) Se um
√ objeto se move de tal maneira que sua velocidade v está relacionada com a sua posição s pela equação
v = 2 g s + c, onde g e c são constantes, mostre que a sua aceleração é constante.
11.9
Um pouco de história: Velocidade instantânea, movimento contı́nuo
e o princı́pio da incerteza
A velocidade instantânea é um conceito teórico, uma abstração que não corresponde precisamente ao que se passa
no mundo real. Quando medimos velocidades, realmente calculamos velocidades médias considerando intervalos de
tempo muito pequenos. Tal procedimento não fornece uma resposta exata, mas esta resposta pode estar tão próxima
o)
para nenhum valor de t, mas este
do valor limite quanto queiramos (lembre-se de que a velocidade s′ (t) não é s(t)−s(t
t−t0
quociente se aproxima de s′ (t) à medida que t se aproxima de t0 .
Por outro lado, quando descrevemos um movimento por meio de funções deriváveis e portanto, contı́nuas, estamos
criando uma idealização da situação fı́sica. A idéia do movimento contı́nuo não é tão simples como pode parecer à
primeira vista. A idéia de velocidade, como vimos acima, está necessariamente ligada à consideração do que se passa
com a partı́cula em um certo intervalo de tempo, por menor que ele seja. Por outro lado, quando consideramos a
posição de uma partı́cula, temos de imaginá-la num determinado instante de tempo, portanto, sem se mover! Assim,
se determinarmos a posição perdemos o controle sobre a velocidade; esta, por sua vez, só pode ser determinada num
intervalo de tempo ∆ t, quando não sabemos a posição exata da partı́cula. Tais fatos nos conduzem a uma contradição,
visto que o movimento de uma partı́cula é determinado por sua posição e sua velocidade, em cada instante de tempo
t.
W.Bianchini, A.R.Santos
165
Os gregos, no século V A.C., já haviam sentido a diﬁculdade em conceber o movimento contı́nuo, como ﬁcou
evidente no famoso paradoxo de Zenão que “prova” a impossibilidade do movimento. Zenão argumentava que para
ir de uma posição A para outra posição B, o móvel tem que passar por uma posição intermediária C e, antes desta,
por uma posição intermediária entre A e C, e assim por diante. Como o móvel tem de passar por uma inﬁnidade de
posições intermediárias num tempo ﬁnito, ele nunca chega a se mover!
Um outro aspecto vulnerável da Mecânica é o próprio conceito de partı́cula: um ponto dotado de massa! No estudo
do movimento planetário, que ﬂorescia no século XVII, todos os astros, incluindo o Sol, são considerados partı́culas,
e esta simpliﬁcação é factı́vel devido as dimensões destes planetas serem muito pequenas, quando comparadas às suas
distâncias relativas. No entanto, no estudo do movimento de um corpo qualquer que em geral tem dimensões não
desprezı́veis, o que signiﬁca a ordenada s = s(t) da sua trajetória? Poderı́amos considerá-la como a função que descreve
a trajetória do centro de massa do corpo? Neste último caso, não poderı́amos assegurar nem a derivabilidade de s(t)
e sequer a sua continuidade!
No inı́cio do século XX, os fı́sicos descobriram que as idéias de ponto material, velocidade instantânea e movimento
contı́nuo, que tinham sido tão bem sucedidas para descrever o fenômeno do movimento em Mecânica Clássica, eram
insuﬁcientes para a descrição dos movimentos no domı́nio atômico e subatômico.
Em 1926, Werner Heisenberg (1901-1976), um dos fundadores da Mecânica Quântica, formulou um dos princı́pios
básicos deste novo ramo da Ciência, o chamado princı́pio da incerteza, segundo o qual não é possı́vel determinar,
simultaneamente, a posição e a velocidade de uma partı́cula. Quanto maior for a precisão usada para se especiﬁcar a
sua posição, maior será o grau de incerteza do seu momento, deﬁnido como o produto da sua massa pela sua velocidade.
Esta é uma exigência intrı́nseca da natureza, não importando a precisão das medições realizadas.
11.10
Para você meditar: Calculando velocidades
Problema 1
Um certo helicóptero, em condições atmosféricas favoráveis (sem vento), desenvolve uma velocidade de cruzeiro
de 100 km/h. Numa certa viagem, de uma cidade A a uma cidade B, localizada 100 km ao norte de A, o piloto
do helicóptero enfrenta um vento contrário que sopra a uma velocidade de 50 km/h. Sua velocidade de cruzeiro,
em relação ao solo, se reduz, portanto, a 50 km/h . Ao atingir a cidade B, o piloto dá a volta e regressa ao ponto
de partida. Agora o vento de 50 km/h sopra a seu favor e o helicóptero desenvolve uma velocidade de 150 km/h,
em relação ao solo.
1. Qual a velocidade média desenvolvida pelo helicóptero em todo o percurso (ida e volta)?
Atenção: A resposta não é 100 km/h!
2. Use um argumento vetorial para mostrar que um vento soprando em qualquer direção sempre aumentará o
tempo total de um percurso de ida e volta.
Problema 2
Numa prova contra-relógio entre duas cidades A e C, distantes 10 km uma da outra, um ciclista queria fazer
uma média de 40 km por hora. Uma povoação B ﬁca situada exatamente a meia distância entre A e C, no topo
de uma longa subida que começa em A. Quando o ciclista, depois da escalada, atingiu B, calculou que a sua
velocidade média não tinha ido além de 20 km/h.
• A que velocidade o ciclista deve descer de B para C, se ainda quiser atingir a velocidade média global de 40
km por hora?
Problema 3
Você está dirigindo por uma auto-estrada e a cada cinco minutos calcula a velocidade média da sua viagem
dividindo a distância percorrida desde o começo da viagem pelo tempo em que você está dirigindo. Se a
velocidade marcada no seu velocı́metro aumenta, isto signiﬁca que a velocidade média da sua viagem também
está aumentando? Um possı́vel gráﬁco da distância percorrida (em km) pelo tempo transcorrido (em minutos)
é dado a seguir.
40
30
d
20
10
0
10
20
30
t
40
50
60
166
Cap. 11. Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação
Problema 4
Imagine uma rodovia onde o limite de velocidade é especiﬁcado para cada ponto do percurso. Em outras palavras,
há uma certa função L tal que, a x quilômetros do começo da rodovia, o limite de velocidade é dado por L(x).
Dois carros A e B estão viajando nesta rodovia. A posição do carro A no tempo t é dada por a(t) e a posição
do carro B, por b(t).
1. Escreva a equação matemática que expressa o fato do carro A viajar sempre no limite de velocidade
permitido.
Atenção: A resposta não é a′ (t) = L(t)!
2. Suponha que A viaje sempre no limite de velocidade permitido e que a posição do carro B no instante t seja
sempre igual a posição do carro A no instante t − 1. Mostre que B também viaja no limite de velocidade
permitido durante todo o percurso.