Universidade Severino Sombra
Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu
Mestrado Profissional em Educação Matemática
RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
GEOMETRIA DINÂMICA COMO ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA: experiência em um curso
de licenciatura em matemática.
Vassouras
2012
RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
GEOMETRIA DINÂMICA COMO ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA: experiência em um curso
de licenciatura em matemática.
Produto final apresentado ao programa de PósGraduação stricto sensu- Mestrado Profissional
em Educação Matemática da Universidade
Severino Sombra, como requisito parcial à
obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática.
Orientador:Profª Drº Carlos Vitor de A. Carvalho
Orientadora: Profª Drª Ana Maria Severiano de
Paiva
Vassouras
2012
RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
GEOMETRIA DINÂMICA COMO ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA: experiência em um curso
de licenciatura em matemática.
Produto final apresentado ao Programa de PósGraduação stricto sensu- Mestrado Profissional
em Educação Matemática da Universidade
Severino Sombra, como requisito parcial à
obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática.
__________________________________________________________________________
Profº Drº Carlos Vitor de Alencar Carvalho (Orientador)
Instituição: Universidade Severino Sombra (USS)
__________________________________________________________________________
Profª. Drª Ana Maria Severiano de Paiva (Orientadora)
Instituição: Universidade Severino Sombra (USS)
__________________________________________________________________________
Profª. Janaína Veiga (Examinadora Interna)
Instituição: Universidade Severino Sombra (USS)
__________________________________________________________________________
Prof. Ladário da Silva (Examinador Externo)
Instituição: Universidade Federal Fluminense (UFF)
Vassouras, 21 de Dezembro de 2012.
A minha família e meus amigos, que
não deixaram de me incentivar nessa
trajetória.
AGRADECIMENTOS
Aos meus orientadores, professor doutor Carlos Vitor de Alencar Carvalho e professora doutora Ana Maria Severiano de Paiva que, com paciência e carinho me auxiliaram na construção
deste trabalho.
Aos professores Carlos Eduardo, Ilydio, Janaína e Ladário pela atenção e sugestões que me
impulsionaram a rever criticamente este trabalho.
Aos demais professores do programa de Mestrado Profissional da Universidade Severino
Sombra pelos momentos riquíssimos de troca de saberes realizados durante o curso que me
fizeram refletir sobre a questão educacional brasileira, em especial, a educação matemática,
inferindo diretamente em minha prática docente.
Aos meus amigos de cursos pelos momentos de aprendizagem e pelo companheirismo, em
especial, aos casais Antônio e Lícia e, Heloísa e Marcelo, as amigas Viviane, Sônia, Marlúcia,
Jaqueline e os amigos, Rodrigo, Marcus, Ricardo e Jonas.
A todos os docentes, discentes e demais colaboradores da Fundação Educacional de Duque de
Caxias que, mesmo num momento conturbado na história dessa importante instituição de ensino, não deixaram as dificuldades sobrepujarem o respeito à educação.
Aos meus amigos e familiares pelas horas que deixamos de vivenciar juntos, plenamente
compreendidas por todos, em razão da dedicação a esta jornada.
Em especial a minha família, meu filho (postiço) Jamerson, minha filha Elena e minha esposa
Magali pelo amor devotado nessa caminhada, e sacrifícios mútuos que fizemos para concretizarmos esse plano.
RESUMO
MORAES, R, G. Geometria dinâmica como alternativa metodológica para o ensino de
geometria: experiência em um curso de licenciatura em matemática. Dissertação (Mestrado
Profissional em Educação Matemática) – Universidade Severino Sombra, Vassouras, Rio de
Janeiro, 2012. 40f.
Esta pesquisa se insere na linha de pesquisa metodologias e tecnologias de informação aplicadas ao ensino de matemática do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu- Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra – USS. Seus principais
objetivos foram mostrar que as tecnologias podem favorecer a formação inicial dos professores que irão atuar na educação básica, podendo transformar a construção e/ou reconstrução de
conceitos geométricos. Como procedimento metodológico realizamos um curso de extensão
com atividades e temas de Geometria Euclidiana Plana com o apoio do software Régua e
Compasso. Todas as atividades estavam fundamentadas no estudo dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que se referem à questão do ensino e aprendizagem de Geometria e nas teorias
de Van Hiele e Duval. Buscou-se refletir sobre Geometria Dinâmica, fundamentados na importância das novas competências do professor do século XXI, conforme citado em Perrenoud. Um resumo do referencial teórico utilizado nesta pesquisa, e das atividades trabalhadas
no decorrer desta foram compiladas em uma apostila impressa como produto deste trabalho
de pesquisa. De acordo com os dados coletados percebemos que se faz necessário que as novas metodologias sejam amplamente abordadas durante a formação do licenciando, se constituindo, não somente de uma ferramenta para estudo particular, mas uma ferramenta de investigação e de prática profissional do professor.
Palavras-chave: Metodologias de ensino; Geometria dinâmica; Software Régua e Compasso
ABSTRACT
Moraes, R, G. Dynamic geometry as an alternative methodology for teaching geometry:
an experiment in a degree course in mathematics. Dissertation (Professional Masters in
Mathematics Education) - Severino Sombra University, Vassouras, Rio de Janeiro, 2012. 40f.
This research is part of the line of research methodologies and information technologies
applied to teaching math Programme Postgraduate Sensu stricto-Professional Masters in
Mathematics Education at the University Severino Sombra - USS. Its main objectives were to
show that technology can promote the training of teachers who will work in basic education
can transform the construction and / or reconstruction of geometric concepts. As
methodological procedure performed with an extension course activities and topics of
Euclidean geometry Plana with the support of software Ruler and Compass. All activities
were based on the study of the National Curriculum, which refer to the issue of teaching and
learning of geometry and the theories of Van Hiele and Duval. We tried to reflect on Dynamic
Geometry, based on the importance of new skills teacher of the century, as quoted in
Perrenoud. A summary of the theoretical framework used in this research, and activities
during this worked were compiled into a printed book as the product of this research.
According to data collected realize that it is necessary that new methodologies are widely
discussed during the formation of licensing, constituting not only a tool for private study, but
a research tool and teachers' professional practice.
Keywords: Teaching methodologies; Dynamic Geometry; Software Ruler and Compass
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................ 7
1 – MÓDULO 1................................................................................................................ 8
1.1 - A APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA E O ENSINO DE GEOMETRIA ................................................................................................................................................10
1.2 - A GEOMETRIA DINÂMICA ...................................................................................13
1.3 - O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO .............................................................14
1.4 - ATIVIDADES INTRODUTÓRIAS ........................................................................15
1.5 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO ...........................................................16
2 - MÓDULO 2 .............................................................................................................. 27
2.1 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO ...........................................................29
3 - MÓDULO 3 .............................................................................................................. 32
3.1 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO ...........................................................34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 40
7
APRESENTAÇÃO
Com o intuito de possibilitar a todos os que demonstram interesse em pesquisas que
envolvam a questão metodológica e o ensino de geometria foi criada uma apostila com uma
série de atividades que abordam, ainda que brevemente, os seguintes temas de Geometria Euclidiana Plana:
(a) Triângulos:
Elementos, classificação, soma dos ângulos internos e linhas e pontos
notáveis de um triângulo;
(b) Teorema de Tales:
Um feixe de retas paralelas cortadas por transversais determina segmentos homólogos proporcionais;
(c) Semelhança de Triângulos;
(d) Relações Métricas num Triângulo Retângulo;
(e) Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo.
Estas atividades foram idealizadas para serem trabalhadas, através do recurso da Geometria dinâmica, num laboratório de informática para que os participantes possam manipular
o software selecionado para proposta, a saber, o Régua e Compasso. O público alvo era formado de licenciandos, futuros professores de matemática, para que estes possam além de rever os conceitos estudados na Educação Básica, refletir sobre o potencial metodológico oferecido através da implementação das novas tecnologias.
As atividades foram divididas em módulos de acordo com o tempo dedicado em cada
dia, contudo, podem e devem ser adaptadas pelo leitor de acordo com a especificidade de sua
aplicação, podendo inclusive ser adaptado para uso na Educação Básica.
Cabe ressaltar que as atividades foram elaboradas de acordo com a teoria de aprendizagem dos níveis de van Hiele e, a aplicação destas através do intermédio da geometria dinâmica, norteados pela concepção de apreensão sequencial de geometria da teoria de Duval. Em
cada atividade se encontra uma lista possível, mas que não limita de forma alguma, uma possível aprendizagem sequenciada, de acordo com os níveis de Van Hiele, contudo não será citada a teoria de Duval, tendo em vista que está presente a todo o momento, através da conversão entre a representação em língua materna e a construção do desenho no software.
A título de fundamentação teórica foi realizado um recorte do trabalho de dissertação
na qual este produto se insere que é apresentado antes das atividades propostas.
8
1 - MÓDULO 1
TÓPICOS DE GEOMETRIA DINÂMICA
MÓDULO 1
PROF.: RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
DUQUE DE CAXIAS
OUTUBRO DE 2011
9
Caro participante!!
Este curso de extensão foi criado com objetivo de auxiliar licenciandos e professores de matemática, tanto na sua formação, reformulação de conceitos de geometria euclidiana plana, como possibilitar vivenciar a utilização das novas tecnologias da informação e comunicação, neste caso, o uso da geometria dinâmica,
como alternativa metodológica para a prática docente.
Espero que ao final dos módulos vocês percebam que é possível construir conceitos geométricos de forma matemática, usando uma linguagem correta para o nível
de aprendizagem do aluno com o qual estamos trabalhando e usando o computador para intermediar essa relação. Ressalto aqui, que não se trata de abolir as
demais práticas, mas, sobretudo, somar alternativas.
10
Antes de iniciarmos as atividades vamos ver as referências teóricas deste trabalho e manipular
algumas ferramentas do software.
1.1 - A APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA E O ENSINO DE
GEOMETRIA
Conforme citado nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s (BRASIL, 1997, p.19):
A Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em
que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.
Contudo o que ainda percebemos é a execução de tarefas repetitivas sem a compreensão das
possíveis articulações de conhecimentos matemáticos em situações cotidianas, o que contraria
o enunciado nos PCN’s (BRASIL, 1997, p.19):
A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento
pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre
ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos.
Assim, com o intuito de favorecer um processo de aprendizagem que torne o aluno um cidadão que saiba utilizar a matemática de forma eficiente, os PCN’s (BRASIL, 1997, p.19) citam
também a importância da variação da metodologia de ensino utilizada.
Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros
materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e
da reflexão, em última instância, a base da atividade matemática.
Dentro da Matemática percebemos que existem algumas áreas que, embora não sejam de todo
isoladas, são estudadas, geralmente, de forma isolada. Podemos citar, como exemplo, três
grandes áreas: a Aritmética, a Álgebra e a Geometria. Dentre estas a Geometria tem sido negligenciada, conforme citado em Fainguelernt (1999, p.14).
O ensino de Geometria, se comparado ao ensino das outras partes da Matemática, foi e é relegado ao segundo plano, pois alunos, professores, educadores e pesquisadores tem-se confrontado com modismos, desde o formalismo
impregnado de demonstrações, passando pela algebrização até o empirismo,
o que comprovadamente não auxilia no seu ensino.
Para auxiliar a aprendizagem em Geometria vamos usar duas Teorias: Os níveis de aprendizagem de van Hiele, e as Múltiplas Representações Semióticas de Duval, que iremos detalhar
brevemente:
11
A teoria de van Hiele se baseia numa hierarquização de níveis de conhecimento, sendo
que a progressão entre os níveis se faz através de um crescimento gradual, intermediados pelo
planejamento de atividades adequadas a cada nível elaboradas pelo professor. Esta estabelece
cinco níveis hierárquicos de aprendizagem geométrica, os quais destacamos na Tabela 1:
Tabela 1- Níveis de van Hiele.
Nível de van Hiele
1º Nível (Básico)
Reconhecimento
Características
Reconhecimento,
comparação
Exemplos
e
nomenclatura das figuras geométricas por sua aparência global.
Análise das figuras em termos de
2º Nível
Análise
seus componentes, reconhecimento
de suas propriedades e uso dessas
propriedades para resolver problemas.
Percepção da necessidade de uma
definição e de que uma propriedade
3º Nível
pode decorrer de outra.
Abstração
Argumentação lógica informal e
ordenação de classes de figuras geométricas.
Domínio do processo dedutivo e
4º Nível
das demonstrações; reconhecimento
Dedução
de condições necessárias e suficientes.
Classificação de recortes de quadriláteros em grupos de quadrados,
retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios.
Descrição de um quadrado através
de propriedades: 4 lados iguais, 4
ângulos retos, lados opostos iguais
e paralelos.
Descrição de um quadrado através
de suas propriedades mínimas: 4
lados iguais, 4 ângulos retos.
Reconhecimento de que o quadrado é também um retângulo.
Demonstração de propriedades dos
triângulos e quadriláteros usando a
congruência de triângulos.
Capacidade de compreender de5º Nível
Rigor
monstrações formais.
Estabelecimento e demonstração
Estabelecimento de teoremas em
de teoremas em uma geometria fi-
diversos sistemas e comparação dos
nita.
mesmos.
Fonte: Lilian Nasser & Neide da Fonseca Parracho Sant’anna, 2010.
12
No que tange a progressão entre os níveis de aprendizagem citados acima, a teoria de
van Hiele explicita ainda a necessidade de que o aluno passe por cinco fases de aprendizagem
em cada nível, conforme citado em Nasser & Sant’Anna (2010, p.7).
A primeira fase é de informação sobre os objetos de estudo. A seguir,
na fase de orientação dirigida, os estudantes exploram o tópico de estudo através de atividades que o professor selecionou e ordenou cuidadosamente. Na fase de explicação, os alunos expressam e modificam seus pontos de vista sobre as estruturas que foram observadas. Já
na fase de orientação livre, os alunos procuram soluções próprias para
as tarefas mais complicadas. Finalmente, na fase de integração, o aluno revê e resumo o que aprendeu, formando uma visão geral do sistema de objetos e relações do nível atingido.
Já a teoria das Múltiplas Representações Semióticas de Duval analisa as relações de
aprendizagem de determinado conceito de acordo com os processos envolvidos no trato
dentro de um mesmo tipo de representação, e, sobretudo nas implicações entre o tratamento
entre a expressão de um mesmo conceito em variados tipos de representação.
No que se refere à questão da aprendizagem Duval (2009) destaca que existem três atividades cognitivas fundamentais: formação, tratamento e conversão. A formação é o processo inicial de expressão de uma representação mental através de um conjunto de signos. As duas atividades seguintes são as que ganham destaque na teoria e, para tanto vamos detalhar
brevemente esses conceitos.
Conforme conceituado pelo próprio autor “[...] um tratamento é a transformação de
uma representação obtida como dado inicial em uma representação considerada como terminal em relação a uma questão, a um problema ou a uma necessidade, os quais fornecem o critério de parada na série de transformações efetuadas (DUVAL, 2009, p.56)”. Para melhor
compreender a questão do tratamento é importante frisar que essa série de operações é efetuada dentre de um mesmo tipo de registro, como exemplo de um tratamento podemos citar o
cálculo aritmético, que de acordo com um problema/questão temos que efetuar uma série de
operações até a solução, contudo, sempre através de números.
O processo de conversão é caracterizado por Duval (2009, p. 58) como a transformação de uma “[...] representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada
num registro em uma representação desse objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro”. Exemplificando simplesmente o processo de conversão é o que
permite a interpretação de uma função polinomial real do 1º grau vista sob a forma de lei de
formação e a formação visual de sua representação gráfica.
13
Especificamente no que se refere ao ensino de geometria “figural” Duval destaca quatro maneiras de apreender uma figura, que destacamos a seguir (Duval apud Vieira, 2007, p.
59):
·
Apreensão Perceptiva: é a interpretação das formas da figura em uma situação
geométrica;
·
Apreensão Discursiva: é a interpretação dos elementos da figura geométrica,
privilegiando a articulação dos enunciados, pois os mergulha numa rede semântica de propriedades do objeto;
·
Apreensão Operatória: é uma apreensão central sobre as modificações possíveis
de uma figura de partida e de suas reorganizações perceptivas que essas modificações sugerem;
·
Apreensão Seqüencial: é uma apreensão solicitada na construção de uma figura
geométrica com a ajuda de instrumentos (régua, compasso, software).
Pelo que podemos ler, ainda que brevemente, o ensino de Geometria tem grande importância
e grandes problemas. Temos que estar capacitados para enfrentá-los!!
1.2 - A GEOMETRIA DINÂMICA
Segundo José Rogério Santana, Geometria dinâmica, é a utilização de “[...] softwares
educativos que utilizam a estrutura de programação da geometria computacional, para representar os elementos de construção euclidiana e descritiva em calculadoras e computadores
(SANTANA, 2002, p.82)”.
Atualmente além da geometria euclidiana, plana e espacial, já existem programas de
geometria dinâmica que permitem trabalham geometrias não-euclidianas, geometria analítica
e projetiva. Dentre os quais podemos destacar o Régua e Compasso – R.e.C., o Geogebra, o
Cabri Géomètre II Plus, o Geometer’s Sketchpad e o Cinderella.
O que precisamos considerar quando da utilização de algum desses softwares é a questão da validade da construção, e seu poder como ferramenta de investigação Mathias (MOTTA, 2008) define como Principio da Propriedade Mantida – PPM, a característica que deve
estar presente num software de geometria dinâmica, que permite testar conjecturas sobre as
construções.
14
Aqui temos ainda que considerar outra característica inerente aos softwares de geometria dinâmica, que se refere ao seu domínio numérico. Todos esses softwares apresentam ferramentas de medida, que fazem uso dos números reais, mas, na realidade, estes somente utilizam números racionais para representar os resultados de suas medidas (MOTTA, 2008).
1.3 - O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO
O software Régua e Compasso – R.e.C foi desenvolvido por René Grothmann, professor da Universidade de Berlim, e é um programa livre que roda em diversos sistemas operacionais, como Windows e Linux, notadamente os mais utilizados nos diversos locais. Possui
versão em português, é de fácil manuseio. A única implicação técnica para utilização é a necessidade de instalação da linguagem Java, contudo esta também é gratuita e disponibilizada
na Web.
Conforme descrito no próprio site do desenvolvedor do software , “[...] o R.e.C é um
programa de geometria dinâmica que simula construções geométricas com régua e compasso
em um computador. Mas em um computador, é possível muito mais [...]1”.
Dentre as potencialidades variadas do R.e.C destacamos:
·
Alterações dinâmicas nas construções com régua e compasso, contudo garantindo o PPM;
·
Rastreio de pontos e animações, que auxiliam a compreensão de relações geométricas, como as existentes nos lugares geométricos;
·
Possibilidade de formatação amigável para identificar detalhes da construção,
incluindo a opção de ocultar objetos;
·
Ferramentas de cálculo, permitindo a inserção de expressões aritméticas e algébricas.
1
Texto extraído do site Régua e Compasso. Disponível em
< http://zirkel.sourceforge.net/doc_en/information.html> Acessado em 30/08/2011 - Tradução do autor.
15
Abaixo segue a Figura 1, que apresenta a tela de abertura apresentada como iniciamos
a utilização do referido software.
Figura 1 – Tela de Abertura do software R.e.C (versão 9.3).
Fonte: o autor.
1.4 - ATIVIDADES INTRODUTÓRIAS
Passe o mouse sobre cada ícone, constante na barra de ferramentas, e teste a utilização de
alguns destes, em especial, os listados a seguir, buscando compreender seu funcionamento:
Ponto, Reta, Segmento de Reta, Círculo, Compasso, Ângulo
Compreendendo as áreas do software Além da BARRA DE FERRAMENTAS, temos também
uma BARRA DE MENUS, uma ZONA DE DESENHO e, uma LISTA DE OBJETOS (que
indica todos os objetos que estão sendo exibidos na zona de desenho).
Clicando com o botão direito do mouse em algum objeto construído surgem opções de
formatação de cada um que podem ajudar a melhor a identificação e compreensão de
propriedades, como por exemplo, podemos renomear objetos, definir cores e tipos de linhas,
pontos, solicitar a exibição do nome e medidas na zona de desenho.
Temos ainda uma opção de ocultar determinado objeto, que não elimina o seu uso de acordo
com o PPM, mas deixa mais limpa, visualmente a construção. E, em caso de erros, podemos
apagar o objeto que foi construído indevidamente, que acarreta em apagar todos os que foram
criados em decorrência deste.
Sugestão de tempo de exploração para criação de objetos simples e formatação dos mesmos
(máximo 20 min).
16
1.5 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO
ATIVIDADE 1)
1)
Faça um desenho de um triângulo qualquer, usando somente as ferramentas ponto,
círculo ou compasso e, segmento de reta.
2)
Crie três segmentos com medidas variadas e verifique a possibilidade de construir um
triângulo com lados iguais a estas medidas.
OBS.: Em cada uma, dentre as mais variadas possibilidades de resultados obtidos, usar a
ferramenta mover
e verificar se o triângulo foi construído de forma, que sempre seja
um triângulo.
OBJETIVO DA ATIVIDADE:
De um modo geral, através desta atividade além dos elementos fundamentais de um triângulo
podemos explorar o conceito da desigualdade triangular que enunciamos a seguir:
•
Em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois (DOLCE &
POMPEO, 2005, p. 56).
•
Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois (DOLCE &
POMPEO, 2005, p. 56).
Que podemos resumir como: Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triãngulo, então vale:
1) b − c < a < b + c
2) a − c < b < a + c
3) b − a < c < b + a
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Conceituar que em qualquer triângulo os três vértices devem sempre estar
conectados por segmentos de reta.
Segundo Nível: Indagar sobre as condições de existência de um triângulo
Terceiro Nível: Compreender as condições de existência de um triângulo
Quarto Nível: Enunciar as condições de existência de um triângulo
17
ATIVIDADE 2)
1)
Construa um triângulo com, ao menos, dois lados com a mesma medida. Como
podemos classificar este triângulo?
2)
Marque os ângulos e as medidas dos lados e verifique a relação entre estes.
3)
Construa um triângulo com os três lados com a mesma medida. Como podemos
chamar este triângulo?
4)
Marque os ângulos e as medidas dos lados e verifique a relação entre estes.
5)
Podemos construir algum triângulo que não possui alguma das duas características
acima. Como podemos chamar este triângulo?
OBS.: Utilizem a ferramenta mover
e verifiquem se os lados ainda se mantêm
congruentes e, se as relações observadas entre os ângulos ainda são mantidas, nos itens de (1)
à (4).
OBJETIVO DA ATIVIDADE:
Os conceitos envolvidos na atividade 2, são a classificação de triângulos, conforme resumido
a seguir
Classificação quanto à medida dos lados (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 37)
•
Eqüiláteros: Se, e somente se, têm os três lados congruentes.
•
Isósceles: Se, e somente se, têm dois lados congruentes.
•
Escalenos: Se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível da teoria de van Hiele, podemos usar esta atividade para verificar a
possibilidade de variações de construção de triângulos.
Para o segundo nível: classificar os triângulos de acordo com a medida dos lados.
Para o terceiro nível: verificar as propriedades de alguns elementos constantes nos triângulos
isósceles e eqüiláteros.
Para o quarto nível: Compreensão das características necessárias para a construção de
triângulos isósceles e eqüiláteros
18
ATIVIDADE 3)
1)
Construa diversos triângulos exibindo o valor dos três ângulos internos
2)
Diga quais são as três formas de classificação de um triângulo de acordo com a
medida do ângulo interno.
3)
Com o auxílio da ferramenta expressão aritmética
, calcule a soma dos três
ângulos internos.
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração dos ângulos, e a
manutenção do valor encontrado no item (3).
OBJETIVO DA ATIVIDADE:
Os conceitos envolvidos na atividade 3, são a classificação de triângulos e a lei angular de
Tales, conforme resumido a seguir
Classificação quanto à medida dos ângulos internos (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 38)
•
Retângulos: Se, e somente se, têm um ângulo reto.
•
Acutângulos: Se, e somente se, têm três ângulos agudos.
•
Obtusângulos: Se, e somente se, têm um ângulo obtuso.
Lei angular de Tales: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois
ângulos retos (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 66).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível: podemos usar esta atividade para verificar a possibilidade de variações
de construção de triângulos.
Para o segundo nível: classificar os triângulos de acordo com a medida dos ângulos.
Para o terceiro nível: verificar as propriedades de alguns elementos constantes nos triângulos
acutângulos, retângulos e obtusângulos.
Para o quarto nível: Conjeturar a Lei Angular de Tales
19
ATIVIDADE 4)
1)
O que é uma altura de um objeto/figura?
2)
Construa um triângulo e trace a(s) altura(s) existente(s) nesse triângulo
3)
Caso tenha encontrado mais de uma altura, estas se encontram em um mesmo ponto?
4)
Caso não se encontrem as retas suportes dessa altura se encontram em um mesmo
ponto?
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração dos triângulos e a
manutenção das propriedades encontradas nos itens (3) e (4).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Conceituar o que é uma altura e solicitar que os alunos tracem as alturas existentes nos
triângulos.
Os conceitos envolvidos na atividade 4, que são as alturas de triângulo e ortocentro de um
triângulos são conceituados a seguir
•
Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um lado do
triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado considerado (DOLCE
& POMPEO, 2005, p. 84).
•
Ortocentro é o ponto onde interceptam-se as três retas suportes das alturas de um
triângulo (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 126).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível: Identificar o que é uma altura e conhecer as alturas existentes nos
triângulos.
Para o segundo nível: Verificar que para cada lado usado como base, existe uma altura
correspondente, e que esta é um segmento perpendicular ao lado ou ao seu prolongamento.
Para o terceiro nível: verificar que as retas suporte das alturas de um triângulo se encontram
em um ponto, que será denominado de Ortocentro.
20
ATIVIDADE 5)
1)
Existe alguma forma de dividir um ângulo em dois ângulos com a mesma medida,
através de uma reta?
2)
Qual é o nome dado a esta reta, caso exista?
3)
Como podemos traçar esta reta?
4)
Qual propriedade tem esta reta em relação aos lados que geravam o ângulo que esta
dividiu?
5)
Traçar estas retas, associadas aos ângulos internos de um triângulo e verificar se estas
se encontram.
6)
Caso se encontrem, qual é o nome dados a este ponto e qual propriedade que ele tem?
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração dos triângulos e a
manutenção das propriedades encontradas nos itens de (4) à (6).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Conceituar o que é uma bissetriz e solicitar que os alunos tracem as bissetrizes internas
existentes nos triângulos.
Os conceitos envolvidos na atividade 5, que são bissetriz internas de triângulo e incentro de
um triângulo, são conceituados a seguir
•
Bissetriz de um ângulo: é uma semi-reta interna ao ângulo, com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 25).
•
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto que
está a igual distância dos lados do triângulo. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 124)
•
O Incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo. Este
ponto é o centro do círculo inscrito no triângulo (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 125).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível: Reconhecer o que é uma bissetriz de um ângulo
Para o segundo nível: Identificar as bissetrizes internas dos ângulos internos de triângulos
Para o terceiro nível: De posse das bissetrizes internas, explorar a verificação da propriedade
de uma bissetriz de eqüidistância desta às retas que formam o ângulo.
Para o quarto nível: Verificar que as bissetrizes internas se encontram em um ponto, que será
chamado de Incentro, e, que este é o Centro de um círculo inscrito no triângulo.
21
ATIVIDADE 6)
1)
Como podemos encontrar um ponto que divide um segmento em duas partes iguais?
Como é chamado este ponto?
2)
Trace uma reta perpendicular a um segmento, que passe pelo ponto criado no item (1)
3)
Que propriedade esta reta tem em relação a este segmento (em especial às suas
extremidades)?
4)
Construa um triângulo qualquer e trace estas retas descritas nos itens anteriores, para
cada lado do triângulo.
5)
Estas retas se encontram? Caso se encontrem, qual propriedade que tem este ponto?
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração dos triângulos e a
manutenção das propriedades encontradas nos itens de (1) à (5).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Conceituar o que é uma mediatriz e solicitar que os alunos tracem as mediatrizes dos lados
dos triângulos.
Os conceitos envolvidos na atividade 6, que são mediatrizes de um triângulo e circuncentro de
um triângulo, são conceituados a seguir
•
Mediatriz de um segmento é a reta que é perpendicular ao segmento pelo seu ponto
médio (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 84).
•
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a
igual distância dos vértices do triângulo (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 125).
•
O ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um triângulo é chamado de
Circuncentro O Circuncentro é o centro de circunferência circunscrita ao triângulo
(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 126).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível: Identificar as mediatrizes e suas propriedade, e reconhecer que para
cada lado do triângulo temos uma mediatriz.
Para o segundo nível: De posse das mediatrizes, explorar a verificação da propriedade de uma
mediatriz de eqüidistância de pontos desta aos pontos de extremidade do segmento que gerou
a mediatriz.
Para o terceiro nível: verificar que as mediatrizes se encontram em um ponto, que será
chamado de Circuncentro, e, que este é o Centro de um círculo circunscrito no triângulo.
22
ATIVIDADE 7)
1)
Construa um triângulo qualquer e trace os segmentos de reta que ligam cada vértice ao
ponto médio do lado oposto.
2)
Estes segmentos se encontram? Caso se encontrem, como podemos chamar este ponto
de encontro?
3)
Construa os dois segmentos gerados em cada uma das medianas (um do vértice até o
ponto de encontro das medianas, e o outro do ponto de encontro até o ponto médio do lado
oposto).
4)
Com o auxílio da ferramenta expressão aritmética
, calcule a razão entre os
pares de segmentos sob a mesma mediana (mantendo a mesma ordem).
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração dos triângulos e a
manutenção das propriedades encontradas nos itens de (2) à (4).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Conceituar o que é uma mediana solicitar que os alunos tracem as medianas que partem dos
vértices dos triângulos.
Os conceitos envolvidos na atividade 7, que são medianas de triângulo e baricentro de um
triângulo, são conceituados a seguir:
•
Mediana de um triângulo é a reta, que liga um vértice do triângulo ao ponto médio do
lado oposto a este vértice
•
As três medianas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto que divide cada
mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 122) Este ponto é chamado de Baricentro.
•
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Para o primeiro nível: Identificar as medianas dos lados dos triângulos
Para o terceiro nível: verificar que as medianas se encontram em um ponto, que divide cada
mediana em dois segmentos, cujo razão entre as medidas é de ½. Este ponto será chamado de
Baricentro e comentar sobre a propriedade física deste ponto, como centro de gravidade de
um triângulo.
23
ATIVIDADE 8)
1)
O que são retas paralelas
2)
Trace três ou quatro retas paralelas, umas as outras.
3)
Trace os segmentos que indicam a distância entre estas retas. Qual é a relação entre
estas distâncias que podemos observar em retas paralelas?
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração das retas e a manutenção
das propriedades encontradas nos item (3).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido na atividade 8 é o de retas paralelas, que enunciamos abaixo:
•
Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes ou são coplanares e não
possuem nenhum ponto em comum. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 61)
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Identificar retas paralelas
Segundo nível: Verificar uma característica destas retas, que é a manutenção de uma distância
constante, uma da outra.
Terceiro nível: Simbolizar uma reta paralela
24
ATIVIDADE 9)
1)
O que é uma reta concorrente? O que é uma reta transversal?
2)
Construa uma reta transversal a um feixe de retas paralelas (Duas ou Três no máximo,
para efeito de simplificação da compreensão).
3)
Marque com o uso da ferramenta ângulo
, os ângulos formados nas interseções
entre a reta transversal e as retas paralelas.
4)
Qual a relação existente entre os ângulos que estão na mesma posição, mas em retas
paralelas diferentes (correspondentes)?
5)
A transversal divide o feixe de paralelas em dois lados, e as paralelas em regiões: Uma
entre estas, cuja distância é menor que à distância entre estas, e; outra fora destas, cuja
distância é maior que à distância entre estas. Diga qual a relação que podemos fazer
comparando pares de ângulos destas regiões.
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração das retas e a manutenção
das propriedades encontradas nos item (4) e (5).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Os conceitos envolvidos na atividade 9, que são os de ângulos formados nas paralelas
cortadas por uma transversal, ou seja, os ângulos alternos, correspondentes e colaterais:
•
Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, então os ângulos alternos
(ou os ângulos correspondentes) são congruentes (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 62).
•
Dois ângulos de lados paralelos são congruentes (correspondentes) ou suplementares
(colaterais) (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 66).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: identificar a diferença entre paralela e uma transversal
Segundo nível: Verificar a formação de ângulos nas interseções entre a transversal e as retas
que compõem o feixe de paralelas.
Terceiro nível: Compreender a relação existente entre os ângulos gerados nas interseções
entre a transversal e as retas que compõem o feixe de paralelas.
Quarto nível: Reconhecer através de uma nomenclatura matemática (ângulos alternos internos
e externos; ângulos colaterais internos e externos e; ângulos correspondentes) a relação
quantitativa existente entre estes.
Quinto nível: Enunciar as propriedades existentes entre estes ângulos.
25
ATIVIDADE 10)
1)
Construa duas retas transversais a um feixe de retas paralelas, com três ou quatro retas
no máximo, para efeito de simplificação da compreensão.
2)
Marque os pontos de interseção entre as transversais e o feixe de paralelas.
3)
Construa os segmentos gerados entre cada ponto de interseção que estão sob a mesma
transversal.
4)
Com o auxílio da ferramenta expressão aritmética
, calcule a razão entre os
pares de segmentos construídos no item (3), que estão na mesma região entre duas paralelas.
5)
Compare o valor obtido no item (4) e diga qual a relação existente entre os segmentos
gerados pela interseção entre as transversais e o feixe de paralelas.
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, verificar a alteração das retas e a manutenção
das propriedades encontradas nos item (4) e (5).
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Os conceitos envolvidos na atividade 10, que são a proporcionalidade dos segmentos gerados
pela interseção de transversais em um feixe de paralelas e o Teorema de Tales:
•
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas distintas e um segmento de
retas delas é dividido em p partes congruentes entre si e pelos pontos de divisão são
conduzidas retas do feixe, então o segmento correspondente da outra transversal
(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 184):
a)
também é dividido em p partes
b)
e essas partes também são congruentes entre si
•
Teorema de Tales: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a
razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual a razão entre os respectivos
segmentos correspondentes da outra (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 185).
•
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Verificar a geração de segmentos com medidas diferentes em cada reta, entre
as interseções das transversais e o feixe de paralelas.
Segundo nível: Verificar a razão entre estes segmentos gerados anteriormente.
Terceiro nível: Compreender a manutenção da razão entre os segmentos citados
Quarto nível: Enunciar a relação existente entre os segmentos citados.
26
Esperamos
que
este
primeiro
material
tenha
aprendizagem e sua formação/prática docente!!
auxiliado
sua
27
2 - MÓDULO 2
TÓPICOS DE GEOMETRIA DINÂMICA
MÓDULO 2
PROF.: RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
DUQUE DE CAXIAS
OUTUBRO DE 2011
28
Caro participante!!
Dando continuidade ao nosso trabalho, neste módulo iremos compreender melhor
alguns conceitos ligados a semelhança de triângulos, que poderão posteriormente
ser ampliados para outras figuras.
A aplicação de paralelismos e do Teorema de Tales serão instrumentos de importância fundamental nesse processo!!!
Bons Estudos!!!
29
Neste segundo módulo daremos continuidade às atividades trabalhadas com a intermediação
do software de geometria dinâmica Régua e Compasso.
2.1 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO
ATIVIDADE 11)
1)
Construa dois pares de segmentos proporcionais com a mesma razão.
2)
Construa, sob as mesmas retas, mais pares de segmentos proporcionais.
3)
Qual é a fundamentação matemática usada para a construção destes segmentos?
OBS.: Utilizem a ferramenta mover
e verifiquem se os segmentos inda se mantêm
proporcionais.
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Aplicar o Teorema de Tales para a construção de segmentos proporcionais.
Os conceitos envolvidos nesta atividade são a proporcionalidade dos segmentos, através da
aplicação de razões entre segmentos e do Teorema de Tales.
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Compreender a noção de razão entre segmentos.
Segundo nível: Verificar a proporcionalidade entre diversos segmentos.
Terceiro nível: Perceber a aplicação do Teorema de Tales para a formação dos segmentos
proporcionais.
30
ATIVIDADE 12)
1)
Construa dois triângulos que possuam os lados correspondentes proporcionais.
2)
Marque os ângulos existentes nos dois triângulos e diga qual é a relação existente?
OBS.: Utilizem a ferramenta mover
para alterar a medida dos lados, e verifiquem se os
ângulos se mantêm congruentes.
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido na atividade (12) é a semelhança de figuras, através de um processo de
construção homotética, analisando a condição existente entre os lados dos triângulos
semelhantes:
•
Se dois triângulos são semelhantes com seus lados homólogos proporcionais então, os
ângulos internos correspondentes serão congruentes.
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Compreender a formação de figuras semelhantes através de uma ampliação ou
redução, ou seja, uma homotetia.
Segundo nível: Verificar a relação existente os ângulos de triângulos com lados
correspondentes proporcionais.
Terceiro nível: Compreender uma noção de semelhança de triângulos.
Quarto nível: Reconhecer uma condição necessária para a formalização de semelhança de
triângulos.
31
ATIVIDADE 13)
1)
Construa dois triângulos que possua os três ângulos internos congruentes.
2)
Com o auxílio da ferramenta expressão aritmética
, calcule a razão entre os
pares de lados correspondentes, construídos no item (1).
3)
Qual a conclusão que podemos obter, após a realização das atividades (12) e (13)?
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, altere as posições das retas e verifique se ainda
mantém a proporcionalidade dos lados correspondentes.
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido na atividade (13) é a semelhança de triângulos, através de um processo
de paralelismo, analisando a condição existente entre os ângulos internos dos triângulos
semelhantes.
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos proporcionais (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 198).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Compreender o transporte de ângulos com mesma medida através de
paralelismo e/ou ângulos opostos pelo vértice.
Segundo nível: Verificar a relação existente os ângulos de figuras com lados proporcionais.
Terceiro nível: Compreender uma noção de semelhança de triângulos.
Quarto nível: Reconhecer uma condição necessária para a formalização de semelhança de
triângulos.
Estamos chegando ao final de mais um módulo e continuamos desejando a todos
uma boa aprendizagem e que este curso sirva para ampliar sua formação/prática
docente!!
32
3 - MÓDULO 3
TÓPICOS DE GEOMETRIA DINÂMICA
MÓDULO 3
PROF.: RODOLFO GREGÓRIO DE MORAES
DUQUE DE CAXIAS
OUTUBRO DE 2011
33
Caro participante!!
Estamos chegando ao fim deste trabalho, que embora breve, objetivou a melhoria
da compreensão de alguns conceitos geométricos presentes na formação de nível
fundamental, com a utilização de um recurso computacional: O software Régua e
Compasso.
Este trabalho é uma pequena mostra da potencialidade da utilização destes recursos, tanto para nossa formação, quanto para nossa prática docente.
Espero que esta experiência tenha sido útil para, além de conhecer outras possibilidades de utilização deste software, motivar vocês à manipulação de outros
softwares educacionais que estejam presentes em nossas vidas, sempre com o
intuito de favorecer o processo de aprendizagem de nossos alunos.
“Um bom ensino da Matemática, forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência.”
(Irene de Albuquerque)
34
Iniciamos nosso último módulo com a expectativa de ter auxiliado a muitos profissionais e
futuros profissionais do magistério em matemática. Subsidiando propostas de atividades que
vão agregar valores à prática docente.
3.1 - ATIVIDADES DE EXPERIMENTAÇÃO
ATIVIDADE 14)
1)
Construir um triângulo ABC, retângulo em A.
2)
Traçar a altura relativa ao lado oposto ao ângulo reto. E marcar o ponto de interseção
entre estes D.
3)
Construir os dois segmentos BD e DC .
4)
Exibir as medidas dos segmentos AB ; AC , BC (Lados do triângulo) e dos segmentos
construídos anteriormente BD e DC , e da altura AD .
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Os conceitos envolvidos nesta atividade são a identificação e nomenclatura de segmentos
existentes nos triângulos retângulos como hipotenusa, catetos, projeções dos catetos sobre a
hipotenusa e altura relativa a hipotenusa.
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Diferenciar os segmentos de suas medidas.
Segundo nível: Conceituar projeções de lados em relação a outros lados.
Terceiro nível: Reconhecer catetos, hipotenusas e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
35
ATIVIDADE 15)
1)
Ainda com o mesmo triângulo construído na ATIVIDADE (14), marcar os ângulos
existentes nos triângulos ABC, ADB e, ADC. Qual a conclusão que podemos fazer, com estas
medidas?
2)
Com base na conclusão anterior, qual é a razão existente entre as medidas dos lados
correspondentes destes triângulos?
3)
Escreva as razões existentes entre os lados destes triângulos, aos pares.
a) Triângulos ABC e ADB
b) Triângulos ABC e ADC
c) Triângulos ADC e ADB
4)
Verifique estas relações no software, através do uso da ferramenta expressão
aritmética.
OBS.: Utilizem a ferramenta mover
para alterar a medida dos lados, e verificar se as
razões entre essas medidas se mantêm constantes.
OBJETIVO DA ATIVIDADE
Os conceitos envolvidos na atividade 15, são as relações diretas obtidas na comparação da
proporcionalidade entre lados correspondentes nos triângulos semelhantes gerados no
triângulo retângulo cortado pela altura relativa à hipotenusa.
•
Cada cateto é a média proporcional (ou média geométrica) entre sua projeção sobre a
hipotenusa e a hipotenusa. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 223)
•
A altura relativa a hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos sobre
a hipotenusa. (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 223)
•
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela
(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 223).
•
O produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro
cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa (DOLCE & POMPEO, 2005, p.
223).
36
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Verificar a existência de triângulos semelhantes, gerados pela altura relativa a
hipotenusa em um triângulo retângulo.
Segundo nível: Compreender que de acordo com a semelhança de triângulos, os lados
correspondentes serão proporcionais.
Terceiro nível: Escrever as relações de proporcionalidades existentes nestes triângulos.
Quarto nível: Compreender as relações existentes entre catetos, hipotenusa, altura relativa à
hipotenusa e projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Compreender uma média geométrica.
ATIVIDADE 16)
1)
Construa um triângulo retângulo.
2)
Construa um quadrado apoiado sobre cada cateto e sobre a hipotenusa.
3)
Calcule as áreas destes quadrados com o uso da ferramenta expressão aritmética.
4)
Verifique a relação existente entre a somas das áreas dos quadrados menores e a área
do quadrado maior.
OBS.: Com o uso da ferramenta mover
, altere as medidas dos lados e verifique se essa
relação entre as áreas ainda é mantida.
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido na atividade (16) é o Teorema de Pitágoras, obtido pela composição de
áreas de quadrados.
OBS.: Podemos pedir para comparar esta relação da ATIVIDADE (16) com uma manipulação
algébrica de algumas relações obtidas na ATIVIDADE (15).
•
Teorema de Pitágoras: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 224).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Verificar uma relação entre áreas de figuras.
Segundo nível: Decompor áreas e comparar áreas equivalentes.
Terceiro nível: Compreender a relação entre as áreas dos quadrados construídos sob os catetos
e a hipotenusa.
Quarto nível: Enunciar o Teorema de Pitágoras
37
ATIVIDADE 17)
1)
Construa um triângulo ABC, retângulo em A, e marque os três ângulos internos
∧ ∧
∧
A, B e C .
2)
Faça uma relação de cada ângulo ao seu lado oposto.
3)
Com o uso da ferramenta expressão aritmética calcule a razão entre esse lado oposto e
a hipotenusa.
4)
Construindo um triângulo semelhante ao triângulo ABC, através do paralelismo (por
exemplo), a razão entre os segmentos correspondentes é mantida? Como podemos chamar
esta razão?
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido nesta atividade é a razão trigonométrica seno de um ângulo, num
triângulo retângulo.
∧
•
cateto oposto ao a ngulo θ
sen(θ ) =
hipotenusa
(GIOVANNI JUNIOR & CASTRUCCI, 2009, p.270).
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Verificar que para cada ângulo de um triângulo, existe um lado oposto.
Segundo nível: Construir as razões entre os segmentos solicitados: Lado Oposto / Hipotenusa.
Terceiro nível: Reconhecer a manutenção de uma razão entre os lados nos triângulos
retângulos, associadas ao ângulo que a determina.
Quarto nível: Enunciar a noção de seno de um ângulo.
38
ATIVIDADE 18)
1)
Com o mesmo triângulo da ATIVIDADE (17). Determine para cada ângulo, caso
exista, o lado consecutivo à hipotenusa, que forma o ângulo. Como podemos chamar este
lado?
2)
Com o uso da ferramenta expressão aritmética calcule a razão entre esse lado obtido
no item (1) e a hipotenusa.
3)
Construindo um triângulo semelhante ao triângulo ABC, através do paralelismo (por
exemplo), a razão entre os segmentos correspondentes é mantida? Como podemos chamar
esta razão?
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido nesta atividade é a razão trigonométrica cosseno de um ângulo, num
triângulo retângulo.
∧
•
cateto adjacente ao a ngulo θ
cos(θ ) =
hipotenusa
(GIOVANNI JUNIOR & CASTRUCCI, 2009,
p.270)
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Primeiro nível: Verificar que para os dois ângulos não retos do triângulo retângulo, existe um
cateto adjacente.
Segundo nível: Construir as razões entre os segmentos solicitados. Cateto Adjacente/
Hipotenusa.
Terceiro nível: Reconhecer a manutenção de uma razão entre os lados nos triângulos
retângulos, associadas ao ângulo que a determina.
Quarto nível: Enunciar a noção de cosseno de um ângulo.
39
ATIVIDADE 19)
1)
Com o uso da ferramenta expressão aritmética calcule a razão entre os lados opostos e
os catetos adjacentes de cada ângulo não reto.
2)
Construindo um triângulo semelhante ao triângulo ABC, através do paralelismo (por
exemplo), a razão entre os segmentos correspondentes é mantida? Como podemos chamar
esta razão?
OBJETIVO DA ATIVIDADE
O conceito envolvido nesta atividade é a razão trigonométrica tangente de um ângulo, num
triângulo retângulo.
∧
•
tg (θ ) =
cateto oposto ao a ngulo θ
∧
(GIOVANNI JUNIOR & CASTRUCCI, 2009,
cateto adjacente ao a ngulo θ
p.270)
SUGESTÕES DE ABORDAGENS DE ACORDO COM OS NÍVEIS DE VAN HIELE
Terceiro nível: Reconhecer a manutenção de uma razão entre os lados nos triângulos
retângulos, associadas ao ângulo que a determina.
Quarto nível: Enunciar a noção de tangente de um ângulo.
40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Ensino de primeira á quarta séries
Brasília: MEC/SEF, 1997.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar 9:
geometria plana. 8. Ed. São Paulo: Editora Atual, 2005.
DUVAL, Raymond. Semiósis e pensamento humano: Registros semióticos e aprendizagens
intelectuais. Tradução Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo:
Livraria da Física, 2009.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: representação e construção em
geometria. Porto Alegre: Artmed, 1999.
GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da matemática. 9º Ano.
São Paulo: FTD, 2009.
MOTTA, Carlos Eduardo Mathias. Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.
Informática no ensino da matemática: repensando práticas. Rio de Janeiro. UAB, 20008.
NASSER, Lílian; SANT’ANNA, Neide da Fonseca Parracho. Geometria segundo a teoria
de van Hiele. 2 Ed. Rio de Janeiro. Projeto Fundão: Editora do IM/UFRJ, 2010.
SANTANA, José Rogério. Do novo PC ao velho PC: A prova no ensino de matemática a
partir dos recursos computacionais. Dissertação (Mestrado EM Educação), Universidade
Federal do Ceára, Fortaleza, 2002.
VIEIRA, Wellington Zarur Viana. Argumentação e Prova: uma experiência em geometria
espacial no ensino médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC/SP, São
Paulo, 2007.
Endereços eletrônicos acessados
Régua e Compasso. Disponível em <http://zirkel.sourceforge.net/doc_en/information.html>
Acessado em 30 de Agosto de 2011.