Sumário e Objectivos
Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e
Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão
pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia.
Objectivos da Aula: No final da aula ser capaz de
determinar a forma como se distribuem as tensões
axiais em vigas planas e a grandeza das referidas
tensões.
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1
Exemplo de Estrutura
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2
Exemplo de Estrutura de Veículo
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3
Estrutura de Madeira
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4
Estrutura de Bicicleta
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5
Sistema de Eixos
y
Ox – Eixo da Viga
x
O
y
Secção na Origem
z
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6
Vigas Flectidas
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7
Fibra Flectida
k=
dθ
Δθ
1
= lim
= lim 1 =
ds Δs0 Δs Δs0 O´D OC
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8
Curvatura
As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de
elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um
certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão
plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão
contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva
plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura
da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo:
→
d

1
 lim
 lim 1 =
ds Δs 0 Δs Δs 0 O´D OC
→
k
que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a
curvatura k é tal que k=1/R
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9
Hipótese de Euler – Bernoulli
(1705)
Secções rectas da viga permanecem planas e
perpendiculares ao eixo flectido da viga.
Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é
considerada fundamental no desenvolvimento da teoria
das vigas à flexão, válida no caso de se tratarem de vigas
finas. Nestas condições os segmentos inicialmente
lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem
lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga.
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10
Viga em Flexão Pura
d 1
k 

ds R
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11
Elemento na configuração
Deformada e Inicial
As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração
deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura
anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na
configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por
d u , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento
do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)d, ou seja
du
dθ
ou
= -y
= -yk
d u =(R-y)d-Rd=-yd
ds
ds
du
dθ
= -y
= -yk
dx
dx
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y
Deformação:  xx   yk  
R
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12
3
10
Exemplo 10.1
Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a
momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com
as dimensões indicadas na referida figura. No caso da
deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência
plástica ser de 2 , determine o raio de curvatura da
superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os
extremos da viga deformada.
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13
Viga em Flexão Pura com
Secção Rectangular
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14
Exemplo10.1- Resolução
R  y /  xx  40 /(2 103)  20103 mm
y
 xx   yk  
R
Tendo em conta que
 s  1 / R
Obtém-se
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 
1
1
s 
2  0.1rad
R
20
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15
ydA
Distribuição de Tensões e
Condições de Equilíbrio -1
y
 xx  E xx  -Eky
R
As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx
e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem
forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões
distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja
 xx  -yk  -
F
x
0

ou
 ydA =
A
dA  0
xx
ou
  EkydA Ek ydA  0
A
ydA
= 0
A
y =0
ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da
Secção
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16
Distribuição de Tensões na
Secção
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17
Distribuição de Tensões e
Condições de Equilíbrio -2
Equilíbrio de Momentos
Ou seja
 M  M   Eky dA



z
Área
A Tensão
Forca
y 0

Braço
2

Ek
y
Mz
 dA
A
sendo
M z  Ek I z
2
I Z   y dA
A
ou
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k  Mz
E Iz
18
Relação Tensão –
Momento Aplicado
 xx  E xx  Eky
k  Mz
E Iz
Mz y
x  
Iz
x 
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My
z
Iy
Flexão no plano Oxy
Flexão no plano Oxz
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19
Momentos e Sistema de Eixos
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20
Exemplo 12.2
Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita
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21
Exemplo 12.2 - Resolução
R A  12kN e RC  12kN
Reacções
2<x<4
0<x<2
Momentos
2
x
M    12x
2
2
x
M    8 x  40
2
O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m
A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento
máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e
y=250mm, sendo
IZ 
b h3 400 5003

 41.6(6)  108 m m4
12
12
22  106  250
M
max
2

1
.
32
N
/
 1.32MPa
y max 
 max 
m
m
8
41.6(6)  10
Iz
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22
Exemplo 10.3
Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é
3
de 77.0 kN/
m. A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma
secção em I como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga.
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23
Exemplo 10.3 - Resolução
Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente
o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre.
p=77.0A=77.0(0.0080.142+0.1840.006)= 0.2575kN/m
2
pL 2
6
 0.2575  4.635kN.m
M max  
2
2
Peso
Próprio
1
1
3
3
2
7
4
I z  12 (6 184 )  2  12 (140  8 )  140  8  96   2.377 10 mm
Teorema de Steiner
4.635
M max
1



 19.499MPa
y
  max 1
10
max
5
2.377 10
Iz
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Exemplo 10.3 - Resolução
O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento
M=PL=42kN.m
  max 2  M max y max  
Iz
42
1
 176.69MPa
5 10
2.377  10
A tensão longitudinal total instalada é:
max   max 1   max 2  (19.499 176.69)MPa  196.2MPa
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Exemplo 10.4
Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita
a uma carga uniformemente distribuída, de secção em  como se
representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este
4
ponto está sujeito a uma extensão de compressão
. Determine a
10 de 8
intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de
Young, E=210 GPa.
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26
Exemplo 10.4-Resolução
Reacções
R A  0.13(3) p
RC  0.26(6) p
2
Momento em AC
x
M  p
 0.13(3) px
22
0.2
M  p 
 0.13(3)  p  0.2  0.0067p
2
(14 4  14 5) y  14 4  2  14 5 11
y  7mm  7 103
14  43
5 143
2
I(
 14  4  5 )  (
 14  5  4 2) 
12
12
  210 109  8 104  168 106N / m2
 3738mm 4  3.738 10 9 m 4
  168 106N / m 2  
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0.0067p
3

7

10
3.738 109
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p  13.39kN / m
27
Exemplo 10.5
Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga
está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as
dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que
as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa.
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28
Exemplo 10.5-Resolução
Reacções
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R A  3.46 p
R B  3.04 p
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29
Exemplo 10.5-Resolução
 160× 153
15× 2703
2
+ 15×160× 142.5  × 2 +
× 2 = 146.7675e06mm 4
Iz = 
12
 12

M z y  150× 6 =
Mz
-3

×150×
 M z = 146.77kN.m
x
10
10
-6
146.7675×10
Iz
Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é:
p=24.46kN/m
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30
Problemas Propostos
1. Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras
anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas
podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial máxima
admissível ser de 165MPa.
200mm
40mm
20mm
20mm
100mm
20mm
150mm
80mm
100mm
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40mm
80mm
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31
Problemas Propostos
2.Considere a viga representada na figura, cuja secção é uma secção em T invertido,
como se representa. O vão da viga é de 4 dm, o módulo de Young é 200GPa e as
cargas aplicadas são em grandeza multiplos de P. No ponto A da viga foi medida a
deformação de compressão instalada e verificou-se ser de 50 103 , determine o
valor da carga P aplicada. O eixo de flexão é horizontal para a secção da figura.
Extensómetro
P
P
3mm
3P
A
4mm
16mm
50mm
100mm
100mm
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100mm
4mm
100mm
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14mm
32
Problemas Propostos
3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na
figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições
representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso
da flexão ocorrer no plano Oxy e das tensões máximas na viga serem de igual valor
nas duas secções.
y
y
a
z
a
z
a
a
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33
Problemas Propostos
4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O
material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 20MPa e uma tensão de
cedência à compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos
yy ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar
um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se
representa na figura
110mm
P
30mm
30mm
2m
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230mm
1m
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34
Problemas Propostos
5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da
viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das
forças de tracção e compressão
150mm
30mm
40mm
100mm
30mm
120mm
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35
Resolução do Problema 1ª)
Determinação da posição
do centro de Gravidade
200mm
20mm
A2
A1
A3
100mm
20mm
100mm
80mm
y1
y2
y3
A1 y1  A2 y2  A3 y3
yb 

A1  A2  A3
4000 190  2000 130  8000  40

 95.7143mm
14000
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36
Resolução do Problema 1ª)
Determinação do Momento
de Inércia Iz 200mm
20mm
20mm
100mm
80mm
yt  200  95.7143  104.2857mm
b1h13
200  203
2
I z1 
 A1 yc1 
 200  20  94.2857 2  3.5693 100mm
107
12
12
b2 h23
20 1003
2
Iz2 
 A2 yc 2 
 20 100  (130  95.7143) 2  4.0177  106
12
12
b3h33
100  803
2
I z3 
 A3 yc 3 
 80 100  (95.7143  40)2  2.9099  107 mm 4
12
12
I z  I z1  I z 2  I z 3  68.8095  106 mm 4
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Resolução do Problema 1ª)
Determinação da Tensão Axial
M
max

y max 
 max t
Iz
M max
3
6

104.2857 10  165 10 Pa
6
68.8095  10
165 106  68.8095  10 6
 M max 

3
104.2857 10
5
 1.0887 10 N.m
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38
Resolução do Problema 1b)
Determinação da posição
do centro de Gravidade
40mm
20mm
150mm
40mm
80mm
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A Secção é simétrica
portanto o centro de
Gravidade fica no Centro
da Secção.
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