Sumário e Objectivos
Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de
Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com
Esforço Axial.
Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das
Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e
da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções
sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial.
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1
Ponte
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2
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3
Garagem para o Barco
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4
Estrutura de Carroçaria de
Veículo
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5
Ponte
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6
Vigas Compósitas
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7
Flexão de Vigas
Constituídas por Vários Materiais
As componentes estruturais tipo viga são muitas vezes
constituídas por mais que um material constituindo as
chamadas vigas não homogéneas. Alguns exemplos de
vigas deste tipo são, vigas de madeira reforçadas a aço,
viga constituída de dois materiais, por exemplo,
metálicos, vigas de betão armado e as vigas de plásticos
reforçados por fibras em geral conhecidas por vigas
compósitas. A teoria da flexão de vigas sujeitas a
momentos flectores pode ser facilmente adaptada ao
estudo de vigas constituídas por dois ou mais materiais.
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8
Vigas Compostas
y
Secção da Viga
Viga
y
x
y
z
z
As vigas compostas que vão ser consideradas são vigas com
camadas isotrópicas, embora estas vigas compostas
apareçam muitas vezes constituídas com camadas
anisotrópicas, nomeadamente ortotrópicas.
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9
Viga Constituída por Dois
Materiais - Método Directo
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10
Viga Constituída por Dois
Materiais - Posição do Eixo Neutro
Sendo x a direcção do eixo da viga, a condição de equilíbrio de forças
na direcção axial, x, implica que seja ∫ σ x 1d A + ∫ σ x 2d A = 0
A1
Tendo em conta que
E que
y = yb − yb
A
2
σ x1 = E1ε x = − E1ky e σ x 2 = E 2ε x = − E 2ky
Obtém-se:
∫ E1y bdA + ∫ E 2 y bdA = y b( ∫ E1dA + ∫ E 2dA)
A1
∫ E 1 y bd A + ∫ E 2 y bd A
ou
yb =
A1
A2
∫ E 1d A + ∫ E 2d A
A1
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A2
A2
A1
A2
representa a distância do centro
de gravidade relativamente à
base da secção, por exemplo.
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11
Viga Constituída por Dois
Materiais - Tensões
A equação de equilíbrio de momentos toma a forma
⎛
⎞
2
2
Mz
M z = - ∫ σ x1ydA - ∫ σ x2ydA = k ⎜ E1 ∫ y dA + E 2 ∫ y dA ⎟ = donde k =
A1
A2
A2
⎝ A1
⎠
E 1I 1 + E 2 I 2
= k ( E1I 1 + E 2I 2 )
Tendo em conta
σ x1 = E1ε x = − E1ky e σ x 2 = E 2ε x = − E 2ky
σ x1 = -
E1M z y
E1I1 + E 2I 2
σ x2 = -
E 2M z y
E 1I 1 + E 2 I 2
Tensões
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Secção com n Materiais
n
Coordenada do eixo neutro
∑
yb
=
∫ E i y bd A
i=1
A
n
∑
∫ E id A
i=1
Tensões no material j
σ xj = -
i
A
i
E jM z
n
∑ EiI i
y
i=1
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13
Método da Secção
Equivalente
A equação que representa o equilíbrio de Forças segundo xx e que
é
∫ E 1ydA + ∫ E 2 ydA = 0
A1
A2
pode ser rescrita com a forma, dividindo ambos os membros por E1
∫ ydA + ∫ nydA = 0 onde n representa o cociente dos módulos
de Young: E2/E1.
A1
A2
Nestas condições, podemos constatar por análise da equação
anterior que a posição do eixo neutro não se altera se cada elemento
de área dA, do material 2, for multiplicado pelo factor n, conservandose inalterada a distância y do elemento de área ao eixo neutro.
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Método da Secção Equivalente
y
nb
(2)
y
yb
z
(1)
yb
b
Secção
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b
n=E2/E1
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15
Método da Secção Equivalente
Tensões
As tensões
σx1
no material 1, podem ser calculadas considerando o
momento de inércia da Secção equivalente
I e = I1 + n I 2
Mz y
=
σ x1
Ie
As tensões no material 2 não podem ser calculadas directamente
considerando a secção equivalente, há necessidade de multiplicar por n
Mz y
=
-n
σ x2
Ie
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16
Vigas de Betão
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17
Vigas de Betão
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18
Exemplo 11.1
(2)
60mm
(1)
200mm
(3)
70mm
120mm
Módulos de Young dos
Materiais
Considere-se a viga de secção composta
por três materiais distintos, os materiais
1,2,3 como se representa na figura. Na
face superior da viga e na secção A-A está
colocado um extensómetro de acordo com
o qual a deformação axial na secção A-A e
−4
na referida face é -5× 10 , determine o
momento a que a referida secção está
sujeita.
E1 = 70GPa; E 2 = 100GPa; E 3 = 200GPa
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19
Exemplo 11.1 – Resolução
Começa por determinar-se a posição do centro de gravidade da Secção.
Esse cálculo pode ser feito pelo método directo ou pelo método da
Secção equivalente. Procedendo a esse cálculo pelo método directo,
obtém-se n
∑ ∫ E i y bdA
E1 A 1y 1 + E 2 A 2 y 2 + E 3 A 3 y 3
i=1 A i
=
yb = n
=137.4mm
+
+
E
A
E
A
E
A
1 1
2
2
3
3
∑ ∫ E idA
i=1
Ai
ou pelo método da Secção Equivalente
n 1 A 1y 1 + n 2 A 2 y 2 + A 3 y 3
=137.4mm
yb =
+
+
n1 A1 n 2 A 2 A 3
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sendo
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n1 =
E1 ; = E 2
n2
E3
E3
20
Exemplo 11.1 – Resolução
A tensão correspondente à deformação axial lida é:
9
−4
σ x 2 = E 2ε = −100 × 10 × 5 × 10 = −50MPa
8
σ x 2 = − E 2ky = −192, 6 × 10 k
50 ×10 6
σx 2
Mz
k=
=
=
−
8
E1I 1 + E 2I 2 + E 3I 3
E 2y 192.6 × 10
Desta última igualdade pode obter-se o valor do momento.
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21
Flexão Segundo os Dois Eixos
Principais ou Flexão Desviada
Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos
principais de inércia da secção.
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22
Flexão Desviada
O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos
actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são
de acordo com a figura M y e M z
. Uma vez que a Secção
considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as
formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento
Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja
aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos,
My
M
z
y+
z
σx = Iz
Iy
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23
Distribuição de Tensões
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24
Eixo Neutro
O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas
ocorre quando for:
y
M yI z
=+
z
M zI y
M
− Mz y + y z = 0
Iz
Iy
onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo
que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de
uma recta que passa pelo centroide da Secção
M
y
= M sen α
tan gγ = I z tan gα
Iy
M z = M cos α
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25
Exemplo 12.1
Secção Recta
10kN/m
Direcção
da Carga
y
β
A
B
4m
C
z
200mm
1m
100mm
Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre
apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente
distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o
eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de
dimensões 100×200mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita.
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26
Exemplo 12.1- Resolução
Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular
o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio
que são tais que
R A + R B = 50
4R B = 125
R B = 31.25kN
R A = 18.75kN
No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são
T = 18.75 − 10x
T=0 implica x=1.875m
M = 18.75x − 5x 2
para x=1.875m é M=17.578kN.m
x=4m é M=-5kN.m
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para
27
Exemplo 12.1- Resolução
No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são
T = 50 − 10x
M = 18.75x + 31.25(x − 4) − 5x 2 = 50x − 5x 2 − 125
para x=4 M=-5kN.m para
x=5 M=0
O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a
x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes
segundo yy e segundo zz que são
M z = M cos β = 17.578 × cos 60 = 17.578 × 0.5 = 8.789
M y = Msenβ = 17.578 × sen60 = 17.578 × 3 2 = 15.223kN.m
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28
Exemplo 12.1- Resolução
Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de
Inércia, que são
3
7
4
I z = 100 × 200 /12 = 6.6667 × 10 mm
3
7
4
I y = 200 × 100 /12 = 1.6667 × 10 mm
Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro
cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são
Para z=50mm e y=-100mm
8.789 ×103
15.223 ×103
My
M
z
−3
y+
z=−
(−100 ×10 ) +
(50 × 10 −3) = 58.85Mpa
σx = −
−5
−5
6.6667 ×10
1.6667 ×10
Iz
Iy
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29
Exemplo 12.1- Resolução
Para z=-50mm e y=-100mm
8.789 ×103
15.223 ×103
My
M
z
−3
y+
z=−
(−100 ×10 ) +
(−50 ×10 −3) =
σx = −
−5
−5
6.6667 ×10
1.6667 ×10
Iz
Iy
-32.49MPa
Para z=-50mm e y=100mm
8.789 × 10 3
15.223 × 10 3
My
M
z
−3
y+
z=−
(100 × 10 ) +
( −50 × 10 −3) = -58.85Mpa
σx = −
−5
−5
6.6667 × 10
1.6667 × 10
Iz
Iy
Para z=50mm e y=100mm
8.789 ×103
15.223 ×103
My
M
z
−3
y+
z=−
(100 ×10 ) +
(50 × 10 −3) = 32.49MPa
σx = −
−5
−5
6.6667 ×10
1.6667 ×10
Iz
Iy
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30
Exemplo 12.2Flexão Desviada
Considere-se
uma
viga cuja secção tem
a forma em L como
se representa na
figura e determinese as tensões axiais
de flexão na Secção
da viga em que o
Momento Flector é
igual a 20kN.m
segundo zz.
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31
Exemplo 12.2-Resolução
Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que
150 × 30 × 75 + 170 × 30 × 15
= 43.125mm
150 × 30 + 170 × 30
200 × 30 × 100 + 120 × 30 × 15
= 68.125mm
yb =
200 × 30 + 120 × 30
zb =
Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia
em relação aos eixos Oy e Oz
30 × 1703
2
+ 30 × 170 × ( 200 − 68.125−85 ) +
Iz =
12
150 × 303
2
+
+ 150 × 30 × ( 68.125−15 ) = 36.526 × 10 6 mm 4
12
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32
Exemplo 12.2-Resolução
170 × 303
2
30
170
43.125
15
=
+
×
×
−
+
(
)
Iz
12
30 × 1503
2
+
+ 150 × 30 × ( −75+ 43.125 ) = 17.426 × 10 6 mm 4
12
I yz = 30 × 170 × ( 200 − 68.125 − 85 )( 43.125 − 15 ) +
+150 × 30 × ( −68.125 + 15 )( −75 + 43.125 ) = 14.344 × 10 6 mm 4
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Exemplo 12.2-Resolução
Os momentos de Inércia Principais são
⎛ Iz −I y ⎞
Iz + Iy
+ ⎜
+ I 2yz = 44.208 × 106 mm 4
I max = I1 =
⎟
2
⎝ 2 ⎠
2
⎛ Iz −I y ⎞
Iz + I y
6
2
4
9.744
=
=
−
+
=
×
10
I min I 2
I
mm
yz
⎜ 2 ⎟
2
⎝
⎠
2
O ângulo q é tal que
ou seja
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2I yz
tan g2θ =
= 1.5020
−
Iz Iy
θ = 28.187º
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34
Exemplo 12.2-Resolução
Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais
podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e
determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos
principais.
3
4
M z´ = M cos θ = 20 × 10 cos 28.187 = 1.76 × 10 N.m
M y´ = Msenθ = 20 × 10 sen28.187 = 9.443 × 10 N.m
3
3
As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos
M z´ y´+ M y´ z´
=
−
σx
I z´
I y´
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Momento Combinado com
Esforço Axial
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36
Momento Combinado
com Esforço Axial
A excentricidade e tem duas componentes, e , o momento resultante Pe pode
decompor-se em dois momentos um segundo y que é My = Pz
e um momento segundo z que é M z = P y .
As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos
dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são
P Mz
My
y+
z
σx =
A Iz
Iy
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37
Problemas propostos
1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se
representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga,
P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na
figura, ou seja de 45º em relação aos eixos principais de Inércia.
Determine:
a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm
do ponto de aplicação da carga.
b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões
longitudinais nulas.
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Problemas Propostos
x
15mm
10mm
y
3m
6mm
P
25mm
z
Eixos de Simetria
P
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39
Problemas Propostos
2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de
dimensões, 15×20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a
uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal
da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões
longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção.
P
y
200mm
z
2m
P=6kN
2m
150mm
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40
Problemas Propostos
3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga
concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento
da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção
estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da
secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas.
100mm
y
Nota: Secção não
simétrica
z
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200mm
41
Problemas Propostos
Resolução:
Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da
Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia
e momentos de inércia principais.
Decomposição da carga segundo as direcções principais.
A partir daí a resolução segue o caminho usual.
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42
Problemas Propostos
4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a
uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente
repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de
inércia da secção.
P=15kN/m
y
30kN
30kN
1.5m
1.5m
1m
Espessura da Secção
constante e igual a 20mm
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x
P
150mm
120mm
43