MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
 Corpo rígido
 Movimentos de um corpo rígido
 Movimento de rotação de um corpo rígido
 Momento da força
 Energia cinética rotacional
 Momento de inércia
 Momento angular de uma partícula
 Momento angular de N partículas
 Momento angular do corpo rígido
 Conservação do momento angular
 Momento angular variável
 Rolamento de um corpo rígido
 Tabela de equivalências
1
CORPO RÍGIDO
São corpos cuja dimensões não são desprezáveis
Um corpo é rígido  quando a distância entre duas partículas quaisquer do
corpo é constante
O Corpo rígido conserva a sua forma durante o seu movimento
2
MOVIMENTOS DE UM CORPO RÍGIDO
1º - O movimento de translação  quando todos os pontos percorrem trajetórias
paralelas
No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo
deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem,
em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.
3
2º - O movimento de rotação  quando todos os pontos percorrem trajetórias
circulares

Movimento rotacional puro
4
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
Movimento translacional + rotacional
5
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Estudaremos a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo
O eixo fixo é denominado eixo de rotação
z
y

x

é a posição angular do corpo rígido
66
Exemplos de movimento de rotação
7
MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)
O momento da força é responsável pelo movimento de rotação
como o movimento que se faz com
as mãos para desarrolhar a tampa de
uma garrafa de refrigerante
quando abrimos ou fechamos
uma porta
8
O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita
Na regra da mão direita, o polegar aponta para a direção do momento da
força e, enquanto os demais dedos devem apontar para o sentido da
rotação
z
positivo
negativo

9
PRODUTO VETORIAL (revisão)
 
 
A  B  B  A
10
MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)
Quando empurramos uma porta, estamos aplicando uma força sobre a porta
 como consequência a porta vai girar em torno dum eixo fixo que passa
pelas dobradiças.
A tendência da força de rodar o corpo em torno de um
eixo é medida por uma grandeza vetorial denominada
momento da força (ou torque)
r
O momento da força é a causa dos movimentos
rotacionais
É análogo a força que causa variações no movimento
translacional
Definimos o momento da força por
  
M  rF
O módulo do momento da força é

M

F
M  rF sin 
Corresponde ao produto da distância até o ponto de aplicação da
força e a componente perpendicular da força.

r

11
APLICAÇÃO DUMA FORÇA EM PONTOS DIFERENTES NUMA PORTA
Quando fechar uma porta, experimente fechá-la, empurrando-a no centro da porta
(Figura a) e depois, aplicando a mesma força, empurre a porta na extremidade (Figura
b).
M  rF sin 
A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na
extremidade da porta
12
O que é uma alavanca? É uma barra rígida apoiada (ponto de apoio O)
utilizada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.
A distância do ponto de apoio O, por onde passa o eixo de rotação, à linha de
acção da força F, é denominada braço de alavanca, (L)
Arquimedes disse: “Dê-me uma
alavanca que moverei o mundo”
M  rF sin 

M  (r sin ) F  LF
13
ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
Cada partícula de massa mi do corpo rígido descreve uma
trajectória circular de raio ri com velocidade tangencial v i
Energia cinética de uma partícula do corpo rígido
1
K i  mi vi2
2
Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular
vi  ri
Substituindo em
Ki 
Ki
1
1
mi 2 ri 2  mi ri 2  2
2
2
Energia cinética total 
1

K total    mi ri 2  2
2 i

Unidade: joule (J)
Não é uma nova forma de energia.
A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação
14
MOMENTO DE INÉRCIA
1
K R  I 2
2
I   mi ri 2
onde
é o momento de inércia
i
Unidade: kg m 2
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa
no movimento translacional
Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm
lim
2
2
I mi 
r

m

r
0 i
i
 dm
i
15
MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS
16
MOMENTO ANGULAR
Vimos anteriormente, que as variáveis angulares de um corpo rígido girando
em torno de um eixo fixo (eixo z) têm sempre correspondentes lineares:


M F


 a
I m
Vamos definir mais uma grandeza angular que nos será extremamente útil:
o momento angular
Ampliaremos a definição de momento de uma força para
aplicá-la a uma partícula, que se move em uma trajetória
qualquer, em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo).

O momento de uma força F

M

F

r
, que age sobre a partícula,
em relação ao ponto O é :

 
M rF
zˆ
O
yˆ
xˆ
17
O MOMENTO ANGULAR
Definimos o momento angular
  
L r p

L
de uma partícula com momento linear
é o momento angular instantâneo

L

p
.
em relação à origem O
  
L r p

 m p
r
Note que a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter
momento angular em relação a este ponto  a rotação não é necessária para
o momento angular
18
Mostraremos agora que o movimento rotacional tem uma lei de movimento
semelhante à segunda lei de newton:
Derivando o momento angular

L
em relação ao tempo:



dL d  
dr   dp
 (r  p) 
 p  r
dt
dt
dt
dt
como
ou

f 

dp
dt

 dL
M
dt
=0



dL  
 r f  M
dt
análogo à segunda lei de Newton

f 

dp
dt
19
O MOMENTO ANGULAR DE N PARTÍCULAS
Para um sistema de N partículas, o momento angular é a soma vetorial dos
momentos angulares de cada partícula em relação ao mesmo ponto fixo O


 
 
L   Li   ri  pi   mi ri  vi
i
i
i

 zˆ
p N  mN v N
Lembrando que a posição do CM é

mi ri
 
e podemos escrever:
R i
i mi


 mi R   mi ri
i
  
ri  ri  R 
i

rN
o



 mi ri   mi r    mi R
i
i
i

r2

R

r2
CM
yˆ

r1


p1  m1v1
xˆ
i



  mi ri '  0   mi vi   pi  0
i


p2  m2v2
i
20
Se
  
vi viV
onde

V é a velocidade do CM:

 
 
 
L   mi (ri  R)  ( vi  V )   mi (ri  vi ) 
i
i

 

 
R   mi vi   mi ri  V   mi R V
i
i
i



 





=0
=0
=M
   
L  L  R  P
Ou seja, o momento angular de um sistema de partículas é a soma do
momento angular em relação ao CM com o momento angular do CM.
Note que o momento linear interno de um sistema de partículas se anula.
21
O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
Lembrando que
  
L r p
O momento angular total do corpo rígido será
L
m v r
i
i i
i
como vi  ri obtemos
L
2
m
(

r
)
r

(
m
r
 i i i  i i )
i
e
I 
i
2
m
r
 ii
é o momento de inércia
e o momento angular pode ser escrito como
que é análogo à
p  mv
L  I
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
22
A relação

 dL
M
dt
Também é válida para um corpo rígido,
em rotação em torno de um ponto O.
A soma dos momentos das forças
internos são nulos

M
 corresponde à um momento
da força externo resultante
23
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Quando

 dL  

M
 r  f  0  L  constante
dt
Isto acontece em três situações:

i) f  0

ii) r  0
iii) quando a força é colinear com o vetor posição
24
Para os casos

i) f  0

ii) r  0
ou

L  constante

M 0


Li  L f

Análogo ao que acontece com o momento linear :
 
pi  p f
25
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Exemplo 1


Li  L f
I  mR
2
L  I
Quando a bailarina faz pirueta
 o momento de inércia I diminui
 a velocidade angular  aumenta
L  I  cte.
 Iii  I f  f
26
iii) quando a força é colinear com o vetor posição teremos também

M 0
FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma
 

F (r )  f (r ) u
Neste caso:

 dL 

M
 r  f (r )u  0
dt

 L  constante
27
Exemplo 2
Dados R e vi pede-se:
a) vf em função do raio r;
b) o trabalho da força F.

vi
Como a força é central, o momento
angular em relação a O se conserva:
m vi R  m v f r

F
Rvi
vf 
r
O trabalho da força é dado por

rf
2
   1


1
1
2
2
2 R
r F (r )dr  2 m v f  2 m vi  2 m vi  r  1


i
28
Exemplo 3

p
Lei das áreas
A Força gravitacional entre dois
corpos, por exemplo, Sol e Terra é
dada por:

r
Sol
 
GMm
F (r )   2 rˆ
r
Como a força gravitacional é central, o momento angular da Terra se
conserva (Sol estático, centro de atração gravitacional para a Terra)


M  0  L  const.
 o movimento se dá num plano normal a

L.
Terra
Exemplo 3 (cont.)
Área do triângulo colorido:
 1 
dA  r  dr
2
Sol

dA = metade da área do paralelogramo

 
dA 1 
dr L

r m 
dt 2m
dt 2m

dA
dt
L

 constante
2m
 
r  dr 
dr

r

p
Terra
Exemplo 3 (cont.)
2a Lei de Kepler: “O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve
áreas iguais em tempos iguais”.
31
Exemplo 4: Conservação do momento angular
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:
L  I  constante

f I f
i I i
Com a aproximação dos halteres (
I i i  I f  f
If
<
Ii
) a velocidade angular do sistema aumenta
32
Exemplo 5: Conservação do momento angular
Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem
inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta
Dados
Ibic  1, 2 kg.m2 ; Itot  6,8 kg.m2 e i  3,9 rot/s
Momento angular inicial do sistema
bicicleta-homem (+ banco)
roda de
Li  Lbic  I bici
Agora o homem inverte o eixo de rotação da
roda de bicicleta
Lbic   Li
33
Exemplo 5 (cont): Conservação do momento angular
Momento angular final do sistema:
L f  Lbic  Lmen  Lmen  Li
Há conservação do momento angular 
uma vez que só há forças internas no
sistema
L f  Li  Lmen  Li  Li
 Lmen  2 Li
I tot  2I bici
2 I bic i
 
 1,4
I tot
rot/s
34
Exemplo 6: Conservação do momento angular
No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico

I   mi ri 
i

LL
onde



dL

 0  L  const.
dt

Mg
Mg

L
e o momento angular
da nadadora é constante
durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode
aumentar sua velocidade angular em torno do eixo
que passa pelo CM, às custas da redução do momento
de inércia em relação a este eixo
35
QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO
dL d
d
 ( I )  I
 I
dt dt
dt
ou


M  I
que é semelhante à equação de Newton


F  ma
36
ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Consideramos que um cilindro gira de um ângulo
O centro de massa desloca-se de

.
s  r
PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO
Velocidade do centro de massa
vCM
ds
d

R
 R
dt
dt
Aceleração do centro de massa
aCM
dvCM
d

R
 R
dt
dt
37
A Figura mostra as velocidades translacionais dos vários pontos sobre o cilindro
Observe que a velocidade translacional
(velocidade linear) de cada ponto do cilindro
está numa direcção perpendicular à linha
que une esse ponto ao ponto de contacto
O ponto P’ desloca-se com uma velocidade
v  2vCM
ENERGIA CINÉTICA DE ROLAMENTO
É a soma da energia cinética de
rotação em torno do CM com a
energia cinética associada ao
movimento de translação do CM.
1
1
2
2
K 
I CM   M vCM
2
2
38
COMBINAÇÃO DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Translação pura
Rotação pura

vCM

vCM

vCM
v  vCM  R
Translação + Rotação

2 vCM
v R

v 0
=
v  R
v   R  acima do centro
v    R  abaixo do centro

vCM
v 0
O ponto de contacto está sempre
em repouso
39
FOTOGRAFIA DE UMA RODA EM ROLAMENTO
Os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se
movendo mais depressa
40
Rolamento sobre um plano inclinado
Exemplo 7
Na direção y:
N  Mg cos  0
(1)
Na direção x:
Mg sin   Fa  MaCM
(2)

vCM
A força de atrito produz um momento da força (MO) em
relação ao CM:
M O  Fa R  I CM
(3)
Da condição de rolamento sem deslizamento: aCM  R

aCM

R
Tiro o valor de
Fa
em (3):
(4)

N
y
x
Fa  I CM aCM /R
2

Fa
Mg cos
Substituindo em (2) a fica:
I
Mg sin   CM2 aCM  MaCM
R

vCM
I CM
 Mg sin   2 aCM  MaCM
R
Mg sin



Mg
41
Exemplo 7 (continuação)
aCM
Mg sin 

 g sin 
I CM
M 2
R
1 / 2
M


 2 / 3
I
M  CM2 5 / 7
R
Temos ainda :
Fa 

N
y

vCM
onde
x

Fa
anel
Mg sin
Mg cos

Mg
cilindro
esfera
I CM
I CM Mg sin 
Mg sin 
a


CM
2
2
2
MR 2
R
M  ( I CM / R ) R
1
I CM
À medida que aumenta a inclinação do plano a força de atrito estático (N) necessária
para evitar o deslizamento vai aumentando. No limite, antes do deslizamento, temos
Fa  Fe max
assim Fa  Fe max   e Mg cos 
MR 2
tan    e (
 1 )  tan  r
I CM
Mg sin 
  e Mg cos
MR 2
1
r 
I CM
e
ângulo máximo (limiar) para
que haja rolamento sem deslizamento
42
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Tabela de equivalências
Rotação em torno de um eixo fixo
Energia cinética
Equilíbrio
2a
lei de Newton
2a lei de Newton
Momento
Conservação
Potência
1
KR I2
2
Movimento de translação
1
K  mv 2
2
 
M 0
f 0


M  I


f ma
 
L I
 
Li L f
P  M


p mv
 
p i p f

 dL
M
dt
Momento de inércia
 dp
f 
dt
P F v
I
massa
m
43