MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
CORPO RÍGIDO  é um sistema de partículas no qual as partículas permanecem em
posições fixas entre si
ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Exemplo
Estudaremos a rotação de um corpo rígido em torno
de um eixo fixo
O eixo fixo é denominado eixo de rotação
z
y

x
O sentido da rotação é dado pela regra da mão direita
z
positivo
negativo

MOMENTO DA FORÇA ( ou TORQUE)
Quando empurramos uma porta, estamos aplicando uma força sobre a porta
 como consequência a porta vai girar em torno dum eixo fixo que passa
pelas dobradiças.
A tendência da força de rodar o corpo em torno de um
eixo é medida por uma grandeza vectorial denominada
momento da força (ou torque)
r
O momento da força é a causa dos movimentos
rotacionais
É análogo a força que causa variações no movimento
translacional
Definimos o momento da força por
  
M  rF
O módulo do momento da força é

M

F
M  rF sin 
Corresponde ao produto da distância até o ponto de aplicação da
força e a componente perpendicular da força.

r

APLICAÇÃO DUMA FORÇA EM PONTOS DIFERENTES NUMA PORTA
Quando fechar uma porta, experimente fechá-la, empurrando-a no centro da porta
(Figura a) e depois, aplicando a mesma força, empurre a porta na extremidade (Figura
b).
M  rF sin 
A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na
extremidade da porta
O que é uma alavanca? É uma barra rígida apoiada (ponto de apoio O)
utilizada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.
A distância do ponto de apoio O, por onde passa o eixo de rotação, à linha de
acção da força F, é denominada braço de alavanca, (L)
Arquimedes disse: “Dê-me uma
alavanca que moverei o mundo”
M  rF sin 

M  (r sin ) F  LF
MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Um corpo rígido pode ter três movimentos
1º - O movimento de translação  quando todos os pontos percorrem
trajectórias paralelas
No movimento de translação do corpo rígido, todas as partículas sofrem o mesmo
deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todas possuem,
em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração.
Exemplo
2º - O movimento de rotação  quando todos os pontos percorrem trajectórias
circulares
 Movimento rotacional puro
3º - Combinação do movimento de rotação e de translação
 Movimento translacional + rotacional
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DA TERRA
ENERGIA CINÉTICA ROTACIONAL
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
Cada partícula de massa mi do corpo rígido descreve uma
trajectória circular de raio ri com velocidade tangencial v i
Energia cinética de uma partícula do corpo rígido
1
K i  mi vi2
2
Relação entre a velocidade tangencial e velocidade angular
vi  ri
Substituindo em
Ki 
Ki
1
1
mi 2 ri 2  mi ri 2  2
2
2
Energia cinética total 
1

K total    mi ri 2  2
2 i

Não é uma nova forma de energia.
A forma é diferente porque é aplicada a um corpo em rotação
Unidade: joule (J)
MOMENTO DE INÉRCIA
1
K R  I 2
2
I   mi ri 2
onde
é o momento de inércia
i
Unidade: kg m 2
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
No movimento rotacional o momento de inércia exerce o mesmo papel que a massa
no movimento translacional
Podemos reescrever a expressão do momento de inércia em termos de dm
lim
2
2
I mi 
r

m

r
0 i
i
 dm
i
MOMENTO DE INÉRCIA DE ALGUNS CORPOS RÍGIDOS
O MOMENTO ANGULAR
Definimos inicialmente o momento
 angular
partícula com momento linear p .
  
L r p

L

é o momento angular instantâneo L
de uma
  
L r p
em
relação à origem O

p
 m
r
Note que a partícula não precisa estar girando em
torno de O para ter momento angular em relação a este
ponto  a rotação não é necessária para o momento
angular
MOSTRAREMOS QUE O MOVIMENTO ROTACIONAL TEM UMA LEI DE MOVIMENTO
SEMELHANTE À SEGUNDA LEI DE NEWTON
Derivando o momento angular

L
em relação ao tempo:



dL d  
dr   dp
 (r  p) 
 p  r
dt dt
dt
dt
=0
como


f 

dp
dt


dL  
 r f  M
dt
ou

 dL
M
dt
análogo à segunda lei de newton
A relação acima é válida também para um sistema
de partículas onde o momento angular é a soma
vectorial dos momentos angulares de cada partícula
 em relação ao mesmo ponto fixo O
A mesma relação é válida para um corpo
rígido, em rotação em torno de um ponto O.

 dL
M
dt
A soma dos momentos das forças internos são nulos
e

M
corresponde à um momento da força externo resultante

 dp
f 
dt
O MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO
Suponhamos um corpo rígido que gira ao redor de um eixo z
Lembrando que
  
L r p
O momento angular total do corpo rígido será
L
m v r
i
i i
i
como vi  ri obtemos
L
2
m
(

r
)
r

(
m
r
 i i i  i i )
i
e
I 
i
2
m
r
 ii
é o momento de inércia
e o momento angular pode ser escrito como
que é análogo à
p  mv
L  I
O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Quando

 dL  

M
 r  f  0  L  constante
dt


se
i ) f  0 ou ii) r  0

M 0
ou

L  constante


Li  L f
Análogo ao que acontece com o momento linear
 
pi  p f
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR


Li  L f
Exemplo
I  mR
2
L  I
Quando a bailarina faz pirueta
 o momento de inércia I diminui
 a velocidade angular  aumenta
L  I  cte.
 Iii  I f  f
iii) quando a força é colinear com o vector posição teremos também

M 0
Exemplo:
FORÇAS CENTRAIS, que são forças da forma
 

F (r )  f (r ) u
Neste caso:

 dL 

M
 r  f (r )u  0
dt

 L  constante
Exemplo
Dados R e vi pede-se:
a) vf em função do raio r;
b) o trabalho da força F.

vi
Como a força é central, o momento
angular em relação a O se conserva:
m vi R  m v f r

F
Rvi
vf 
r
O trabalho da força é dado por

rf
2
   1


1
1
2
2
2 R
r F (r )dr  2 m v f  2 m vi  2 m vi  r  1


i
EXEMPLO 1: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto:
L  I  constante

f I f
i I i
Com a aproximação dos halteres (
I i i  I f  f
If
<
Ii
) a velocidade angular do sistema aumenta
EXEMPLO 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Queremos calcular a velocidade angular final do sistema após o homem
inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta
Dados
Ibic  1, 2 kg.m2 ; Itot  6,8 kg.m2 e i  3,9 rot/s
Momento angular inicial do sistema
bicicleta-homem (+ banco)
roda de
Li  Lbic  I bici
Agora o homem inverte o eixo de rotação da
roda de bicicleta
Lbic   Li
EXEMPLO 2 (cont): CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Momento angular final do sistema:
L f  Lbic  Lmen  Lmen  Li
Há conservação do momento angular 
uma vez que só há forças internas no
sistema
L f  Li  Lmen  Li  Li
 Lmen  2 Li
I tot  2I bici
2 I bic i
 
 1,4
I tot
rot/s
Exemplo 3: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
No caso da mergulhadora da figura ao lado o CM segue um movimento parabólico

I   mi ri 
i

LL
onde



dL

 0  L  const.
dt

L
e o momento angular
da nadadora é constante
durante o salto. Juntando braços e pernas, ela pode
aumentar sua velocidade angular em torno do eixo
que passa pelo CM, às custas da redução do momento
de inércia em relação a este eixo

Mg
Mg
QUANDO O MOMENTO ANGULAR VARIA COM O TEMPO
dL d
d
 ( I )  I
 I
dt dt
dt
ou


M  I
que é semelhante à equação de Newton


F  ma
ROLAMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
Consideramos que um cilindro gira de um ângulo
O centro de massa desloca-se de
s  r
PARA O MOVIMENTO DE ROLAMENTO PURO
Velocidade do centro de massa
vCM
ds
d

R
 R
dt
dt
Aceleração do centro de massa
aCM
dvCM
d

R
 R
dt
dt

.
A Figura mostra as velocidades translacionais dos vários pontos sobre o cilindro
Observe que a velocidade translacional
(velocidade linear) de cada ponto do cilindro
está numa direcção perpendicular à linha
que une esse ponto ao ponto de contacto
O ponto P’ desloca-se com uma velocidade
v  2vCM
ENERGIA CINÉTICA DE ROLAMENTO
É a soma da energia cinética de
rotação em torno do CM com a
energia cinética associada ao
movimento de translação do CM.
1
1
2
2
K 
I CM   M vCM
2
2
COMBINAÇÃO DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Translação pura
Rotação pura

vCM

vCM

vCM
v  vCM  R
Translação + Rotação

2 vCM
v R

v 0
=
v  R
v   R  acima do centro
v    R  abaixo do centro

vCM
v 0
O ponto de contacto está sempre
em repouso
FOTOGRAFIA DE UMA RODA EM ROLAMENTO
Os raios de cima estão menos nítidos que os de baixo porque estão se
movendo mais depressa
Rolamento sobre um plano inclinado
Exemplo 1
Na direção y:
N  Mg cos  0
(1)
Na direção x:
Mg sin   Fa  MaCM
(2)

vCM
A força de atrito produz um momento da força (MO) em
relação ao CM:
M O  Fa R  I CM
(3)
Da condição de rolamento sem deslizamento: aCM  R

aCM

R
Tiro o valor de
Fa
em (3):

N
y

vCM
(4)
x
Fa  I CM aCM /R
Substituindo em (2) a fica:
I
Mg sin   CM2 aCM  MaCM
R
2

Fa
Mg cos
Mg sin



Mg
Exemplo 1 (continuação)
aCM
Mg sin 

 g sin 
I CM
M 2
R
1 / 2
M


 2 / 3
I
M  CM2 5 / 7
R
Temos ainda :
Fa 

N
y

vCM
e
x

Fa
Mg sin
Mg cos
anel

Mg
cilindro
esfera
I CM
I CM Mg sin 
Mg sin 
a


CM
2
2
2
MR 2
R
M  ( I CM / R ) R
1
I CM
À medida que aumenta a inclinação do plano a força de atrito estático necessária para
evitar o deslizamento vai aumentando. No limite, antes do deslizamento, temos Fa  Fe max
assim
Fa  Fe max   e Mg cos 
MR 2
tan    e (
 1 )  tan  r
I CM
Mg sin 
  e Mg cos
MR 2
1
I CM
r
e
 ângulo máximo (limiar) para
que haja rolamento sem deslizamento
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Tabela de equivalências
Rotação em torno de um eixo fixo
Energia cinética
Equilíbrio
2a
lei de Newton
2a lei de Newton
Momento
Conservação
Potência
1
KR I2
2
Movimento de translação
1
K  mv 2
2
 
M 0
f 0


M  I


f ma
 
L I
 
Li L f
P  M


p mv
 
p i p f

 dL
M
dt
Momento de inércia
 dp
f 
dt
P F v
I
massa
m