Introdução à Integral
Definida
Aula 03 – Matemática II – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
Área
Desde os tempos mais antigos os
matemáticos se preocupam com
o problema de determinar a área
de uma figura plana.
O procedimento mais usado foi o
método da exaustão, que consiste
em aproximar a figura dada por
meio de outras, cujas áreas são
conhecidas.
Por exemplo
 Podemos citar o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono
regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn.
 A área do círculo será dada Ac = n.At onde At = área do polígono e n o
número de polígonos inscritos.
r
ht
b
 Como a área do polígono é a área do triângulo temos:
𝑏. ℎ𝑡
𝐴𝑡 =
2
 E o perímetro do polígono é
𝑃𝑛 = 𝑛. 𝑏
 A área do círculo será dada por
𝐴𝑐 = 𝑛.
𝑏.ℎ𝑡
2
= 𝑃𝑛 .
ℎ𝑡
2
Fazendo 𝑛 crescer cada vez mais, isto é, 𝑛 → ∞, o polígono Pn torna-se uma
aproximação de um círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento da
circunferência 2𝜋𝑟 e a altura ht aproxima-se do raio 𝑟.
Temos:
lim 𝐴𝑛 =
𝑛→∞
2𝜋𝑟.𝑟
2
= 𝜋𝑟², que é a área do círculo.
 Para definir a área de uma figura plana qualquer,
procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura
por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos
métodos da geometria elementar.
 Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana 𝑆,
delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa y = 𝑓(𝑥),
pelo eixo dos 𝑥 e por duas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏.
 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo
[a,b] em 𝑛 subintervalos, escolhendo os pontos:
 Veja figuras abaixo.
 Na primeira subdividimos a área em quatro subintervalos.
 Na segunda subdividimos a área em oito subintervalos.
 Considerando:
 𝑛 o número de retângulos;
 Cada retângulo tem base ∆𝑥 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
 A altura de cada retângulo igual a 𝑓 𝑥𝑛
 A soma das áreas dos 𝑛 retângulos, que representamos por 𝑆𝑛 é dada por:
𝑆𝑛 = 𝑓 𝑥1 . ∆𝑥1 +
𝑓 𝑥2 . ∆𝑥2 +...+𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥𝑛 =
𝑛
𝑥=1 𝑓(𝑥𝑛 )∆𝑥𝑛
Soma de Riemann
 Podemos observar que à medida que n cresce muito, ∆𝑥 diminui,
tornando-se muito pequeno, e com isso a soma das áreas retangulares
aproxima-se do que intuitivamente entendemos com área de S.
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função contínua, não negativa e
Definição:
[𝑎, 𝑏]. A área sob a curva de 𝑦 = 𝑓(𝑥), de 𝑎 até 𝑏, é definida por:
𝐴=
lim
𝑚á𝑥∆𝑥𝑖 →0
𝑛
𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥𝑖 ,
Exemplo
 Seja R a região sob a curva da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 no intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3,
como indica a figura.
f(x)=2x+1
10
9
Como
calcular essa
área?
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
 1º passo: decidir o número de intervalos
𝑏−𝑎
𝑛 e calcular ∆𝑥 = 𝑛 .
f(x)=2x+1
 ∆𝑥 =
10
9
8
3−1
4
1
=2
 2º passo: construir uma tabela com
valores correspondentes:
7
6
5
𝒙𝒊
1
3/2
2
5/2
𝑓(𝑥𝑖 )
3
4
5
6
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
 3º passo: Calcular a área usando a
Soma de Riemann:
1
𝑆 = 3+4+5+6 .
2
𝑆=9
 Se continuarmos a subdividir a região R usando um numero cada vez maior
de retângulos, as somas correspondentes se aproximam cada vez mais da
área exata de A.
Exemplo: aumentando o número de intervalos 𝑛 e calcular ∆𝑥 =
3−1 1
∆𝑥 =
=
8
4
𝑏−𝑎
.
𝑛
f(x)=2x+1
10
9
8
7
𝒙𝒊
1
5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
11/4
𝑓(𝑥𝑖 )
3
7/2
4
9/2
5
11/2
6
13/2
6
5
 Calcular a área usando a Soma de
Riemann:
7
9
11
13 1
𝑆 = 3+ +4+ +5+
+6+
.
2
2
2
2 4
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
𝑆 =9,5
A Integral Definida
 A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas
como o limite de uma soma. Para lidar com todos os casos, incluindo
aqueles nos quais a condição 𝑓 𝑥 ≤ 0 não é satisfeita, usamos Integral
Definida.
Integral Definida
Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤
𝑏. Suponha que este intervalo tenha sido dividido em 𝑛 partes iguais de
largura ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
e seja 𝑥𝑗 um número pertencente ao intervalo de ordem j,
para j = 1, 2, ..., n. Forme a soma
𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥
Conhecida como Soma de Riemann
A Integral Definida
Integral Definida
Neste caso, a integral definida de 𝑓(𝑥) no intervalo 𝑎 ≤
𝑥 ≤ 𝑏, representada pelo símbolo
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 é dada pelo limite da Soma de
Riemann quando 𝑛 → ∞, ou seja,
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 . ∆𝑥
𝑛→∞
A função f(x) recebe o nome de integrando e os números 𝒂 e 𝒃 são
chamados de limite inferior de integração e limite superior de integração,
respectivamente. O processo de calcular uma integral definida é chamado
de integração definida.
A área como uma integral definida
 Seja f(x) uma função contínua e 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, a área A
da região R sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é dada pela
integral definida
𝑏
𝐴=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
R
O Teorema Fundamental do Cálculo
 Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valor de
uma integral definida, o processo de integração provavelmente não
passaria de uma curiosidade matemática.
 Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cálculo, graças a
um importante teorema que relaciona a integral definida à antiderivação.
Teorema Fundamental do Cálculo: Se a função f(x) é contínua no
intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Onde F(x) é a antiderivada de f(x) no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
 Nas aplicações do teorema fundamental, usaremos a
notação:
𝐹 𝑥
𝑏
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Assim,
𝑏
𝑓
𝑎
𝑏
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Exemplos
1) Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área da região
sob a curva da reta y = 2x+1 no intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 3.
2) Calcule as integrais definidas:
a)
1 −𝑥
(𝑒 +
0
b)
4 1
1 𝑥
𝑥)𝑑𝑥
− 𝑥 2 𝑑𝑥
Regras para Integrais Definidas
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Nesse caso,
Regra da multiplicação por
uma constante:
𝑏
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑎
Regra da soma:
Regra da diferença
onde k é
uma
constante
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑏
Regra da subdivisão:
𝑏
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
Exemplos
 Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 que satisfazem
as equações:
5
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 3
−2
5
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = −4
−2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 7
3
Use as informações para calcular as seguintes integrais definidas:
a)
5
−2
b)
3
𝑓
−2
2𝑓 𝑥 − 3𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥
Uso da substituição
Definidas
em
Integrais
 Quando usamos a substituição 𝑢 = 𝑔(𝑥) para calcular a integral definida da
𝑏
forma 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, podemos proceder de duas formas diferentes:
1. Usar a substituição para obter uma antiderivada 𝐹(𝑥) de 𝑓(𝑥) e em seguida
calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo.
2. Usar a substituição para expressar o integrando e 𝑑𝑥 em termos de 𝑢 e 𝑑𝑢 e
substituir os limites originais de integração, 𝑎 e 𝑏, por limites transformado 𝑐 =
𝑔(𝑎) e 𝑑 = 𝑔(𝑏). A integral original pode ser, então, calculada aplicando o
teorema fundamental do cálculo à integral definida transformada.
Exemplos:
 Determine
1
8𝑥
0
𝑥 2 + 1 3 𝑑𝑥 usando as duas opções citadas anteriormente.
Exercícios
1) Calcule a integral definida usando o teorema
fundamental do cálculo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1
𝜋𝑑𝑥
−2
4
5 − 2𝑡 𝑑𝑡
1
4
2 𝑢 𝑑𝑢
1
9 −3/2
𝑥
𝑑𝑥
4
1
1
1
−
𝑑𝑥
−1 𝑒 𝑥
𝑒 −𝑥
0
5 − 3𝑥 2 +
−3𝑥
−1
g)
9
1
h)
6 2
𝑥 𝑥 − 1 𝑑𝑥
1
0
4 𝑑𝑥
(2𝑥
+
6)
−3
i)
j)
k)
2𝑥 + 5 𝑑𝑥
l)
𝑡−
4
𝑡
𝑑𝑡
2
𝑥²
𝑑𝑥
1 (𝑥 3 +1)²
1 6𝑡
𝑑𝑡
0 𝑡 2 +1
2
(𝑡
1
+ 1)(𝑡 − 2)6 𝑑𝑡