18
O Teorema Fundamental
do Cálculo
Sumário
18.1 Introdução
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
18.2 O Teorema do Valor Intermediário para Integrais . .
3
18.3 Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
4
18.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
18.5 Segunda Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
8
18.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
18.7 O Teorema Fundamental do Cálculo e a Função Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
18.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18.9 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
18.10Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
Unidade 18
Introdução
A grande rio, grande ponte!
18.1
Introdução
A unidade anterior apresentou a teoria das Somas de Riemann, que permite
estabelecer, para uma função contínua f : [a, b] −→ R, o limite
Z
b
f (x) dx =
a
lim
kPk→0
n
X
f (ci ) ∆xi ,
i=1
a integral denida de f no intervalo [a, b].
Se f é uma função positiva, este número é usado para denir a área da
região limitada pelo eixo Ox, pelo gráco da função f e pelas retas verticais
x = a e x = b.
Observou-se também várias propriedades deste limite. Em particular, se M
é o valor máximo e m o valor mínimo de f em [a, b], então
Z
m(b − a) ≤
b
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Este limite tem um importante papel teórico, mas mesmo nos casos mais
simples, é no mínimo trabalhoso calculá-lo. O objetivo desta unidade é apresentar o Teorema Fundamental do Cálculo que, no seu aspecto mais prático,
nos fornecerá uma maneira simples de fazer isso. Além disso, ele responderá
a uma das questões colocadas na introdução da unidade anterior, a saber, sob
quais condições uma dada função é uma função derivada.
Definição 1
Seja f : I ⊂ R −→ R uma função denida em um intervalo aberto I .
Dizemos que F : I ⊂ R −→ R é uma primitiva de f se, para todo x ∈ I ,
F 0 (x) = f (x).
Exemplo 2
As funções F (x) = sen 2 (x) e G(x) = − cos2 x são ambas primitivas da
função f (x) = 2 cos x sen x, como pode ser diretamente vericado.
2
O Teorema Fundamental do Cálculo
18.2
Unidade 18
O Teorema do Valor Intermediário para
Integrais
Iniciaremos com um teorema que é uma aplicação do Teorema do Valor
Intermediário, para funções contínuas, e será útil nas argumentações ao longo
da unidade.
Se f : [a, b] −→ R é uma função contínua, então existe c ∈ [a, b] tal que
Z b
1
f (c) =
f (x) dx.
b−a a
Teorema 3
Veja, na gura, a interpretação do resultado, em um caso no qual a função
f é positiva.
f (b)
f (c)
f (a)
a
O teorema arma que
Z
b
c
b
f (x) dx (a área sob o gráco de f ) é igual a
a
f (c) (b − a) (a área do retângulo de base [a, b] e altura f (c)). Isto é, a área que
falta ao retângulo de base base [a, c] é igual à área que excede ao retângulo de
base [c, b].
O Teorema de Weierstrass para Valores Extremos arma a existência de
números x1 , x2 ∈ [a, b], tais que para todo x ∈ [a, b],
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ).
3
Demonstração
Unidade 18
Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Integrando de a até b, temos
Z b
Z b
Z b
f (x1 ) dx ≤
f (x) dx ≤
f (x2 ) dx.
a
a
a
Como f (x1 ) e f (x2 ) são constantes e
Z
b
K dx = K (b − a), obtemos
a
Z
b
f (x) dx ≤ f (x2 ) (b − a).
f (x1 ) (b − a) ≤
a
Dividindo por b − a > 0, obtemos a desigualdade
Z b
1
f (x1 ) ≤
f (x) dx ≤ f (x2 ).
b−a a
O Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c ∈ [a, b] tal que
Z b
1
f (x) dx.
f (c) =
b−a a
18.3
Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Aqui formularemos a parte prática do Teorema Fundamental do Cálculo que
terá muitas aplicações nos cálculos das integrais denidas.
Teorema 4
Seja f : I −→ R é uma função contínua denida no intervalo aberto I e
seja F : I −→ R uma primitiva de f . Então, se [a, b] ⊂ I ,
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Estabelecemos a notação
b
F (x) := F (b) − F (a).
a
4
O Teorema Fundamental do Cálculo
x3
É imediato vericar que F (x) =
é uma primitiva de f (x) = x2 . Então,
3
o teorema permite calcular
3
Z 3
3
x 33 03
x2 dx =
−
= 9.
=
3
3
3
0
Unidade 18
Exemplo 5
0
Note que o cálculo independe da escolha da primitiva. Se tomarmos, por
x3
+ 15, uma outra primitiva da função f , o resultado será
exemplo, G(x) =
3
o mesmo, pois ao fazermos G(3) − G(0), a constante 15, somada a ambas as
parcelas, será cancelada.
Sabemos que o cálculo do limite
Z b
n
X
f (x) dx = lim
f (ci ) ∆xi
kPk→0
a
i−1
independe da escolha dos ci ∈ [xi−1 , xi ]. Vamos então fazer uma escolha muito
especial.
Seja P a partição a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b. A função F é
diferenciável e, portanto, contínua. Podemos então aplicar o Teorema do Valor
Médio para F restrita a cada subintervalo [xi−1 , xi ] e escolher ci ∈ [xi−1 , xi ]
tal que
F (xi ) − F (xi−1 )
F (xi ) − F (xi−1 )
F 0 (ci ) =
=
.
xi − xi−1
∆xi
Ou seja, F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ci ) ∆xi .
Para essa escolha de ci 's, temos
n
X
f (ci ) ∆xi =
i−1
n
X
0
F (ci ) ∆xi =
i−1
n
X
[F (xi ) − F (xi−1 )] = F (b) − F (a).
i−1
Fazendo essa escolha especial para cada partição P , temos
Z
b
f (x) dx =
a
lim
kPk→0
n
X
i−1
f (ci ) ∆xi = lim [F (b) − F (a)] = F (b) − F (a).
kPk→0
5
Demonstração
Unidade 18
Exemplo 6
Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Vamos calcular a área da região delimitada pelo gráco da função f (x) =
sen x e pelo eixo Ox, ao longo de um período completo, digamos x ∈ [0, 2π].
A funçãoZ F (x) = − cos x é uma primitiva de f (x) = sen x. Observe que,
2π
sen x dx, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos
se zermos
0
Z
0
2π
2π
sen x dx = − cos x = − cos(2π) + cos(0) = 0.
0
Esse número certamente não é a área esperada, pois essa integral representa
a soma orientada das áreas das duas regiões que, devido à simetria, são iguais.
Para calcular a área esperada devemos fazer
Z 2π
Z π
sen x dx = [− cos(π)+cos 0]−[− cos(2π)+cos(π)] = 4.
sen x dx −
A=
0
π
6
O Teorema Fundamental do Cálculo
18.4
1.
Exercícios
Verique, nos casos a seguir, se a função F é uma primitiva de f :
(a) F (x) = sen x − x cos x e f (x) = x sen x;
√
3x
;
(b) F (x) = −(x + 2) 1 − x e f (x) = √
2 1−x
x2
(c) F (x) = x − arctan x e f (x) =
;
1 + x2
(d) F (x) = (x2 − 2) sen x + 2x cos x e f (x) = x2 cos x.
2.
Use primitivas das funções para calcular as seguintes integrais:
Z 2
x2 dx;
(a)
(b)
(c)
(d)
−1
1
Z
√
− 2
Z π
− π2
Z
2
3.
3
x3 dx;
cos x dx;
1
√ dx.
2 x
Calcule a área da região compreendida pelo eixo Ox, pela reta denida
1
por x = 1 e pelo gráco da função f (x) =
.
1 + x2
7
Unidade 18
Unidade 18
Segunda Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
18.5
Segunda Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Vamos agora considerar a questão da existência de primitivas. Ou seja, sob
quais condições uma função f : I −→ R, denida em um intervalo aberto I da
reta, admite funções primitivas?
Teorema 7
Se f : I −→ R é uma função contínua, denida no intervalo aberto I ,
então existe F : I −→ R, uma primitiva de f .
Isto é, existe uma função derivável F : I −→ R tal que, se x ∈ I ,
F 0 (x) = f (x).
A demonstração deste teorema consiste na construção de uma função F
que satisfaz a condição F 0 (x) = f (x), para todo x ∈ I .
Demonstração
Começamos com a denição de F : escolha a ∈ I e dena, para cada t ∈ I ,
t
Z
F (t) =
f (x) dx.
a
Como f é contínua, F (t) está bem denido como o limite das Somas de
Riemann, a integral denida de f no intervalo de extremos a e t. Em particular,
F (a) = 0.
Veja na gura a seguir um exemplo no qual t > a e f é uma função positiva.
a
t
8
O Teorema Fundamental do Cálculo
Unidade 18
Vamos calcular a derivada de F em um ponto t ∈ I . Para isso, estudaremos
o quociente de Newton
"Z
#
Z t
t+h
1
F (t + h) − F (t)
=
f (x) dx −
f (x) dx .
h
h
a
a
Para facilitar, suponhamos h > 0, uma vez que argumentação análoga pode
ser feita para o caso h < 0. Observe que, devido a propriedade de integral
denida, podemos escrever
Z t+h
Z t
Z t+h
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
t
Assim, o quociente de Newton pode ser escrito como
Z
1 t+h
F (t + h) − F (t)
f (x) dx.
=
h
h t
Sejam s1 e s2 respectivamente os pontos de mínimo e de máximo de f no
intervalo [t, t + h]. Então,
Z t+h
f (s1 ) h ≤
f (x) dx ≤ f (s2 ) h.
t
Como h > 0, temos
1
f (s1 ) ≤
h
Z
t+h
f (x) dx ≤ f (s2 ).
t
Ora, se h → 0, então s1 → t e s2 → t. A continuidade de f e o Teorema
do Confronto garantem que
Z
1 t+h
lim
f (x) dx = f (t).
h→0 h t
Isso é, F 0 (t) = f (t).
Seja f : R −→ R a função denida por
Z 2x+1
f (x) =
sen (t2 ) dt.
0
9
Exemplo 8
Unidade 18
Segunda Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Vamos calcular f 0 (x). Como g(x) = sen (x2 ) é uma função contínua, o
Teorema Fundamental do Cálculo garante a existência de primitivas. Poderíamos tomar uma dessas primitivas, calcular uma expressão para f e usar as
regras de derivação para determinar f 0 (x). No entanto, essa é precisamente
a diculdade. Em muitos casos, como nesse particular exemplo, sabemos da
existência da primitiva, mas não conhecemos uma formulação explícita. De
qualquer forma, para calcular essa derivada bastará a garantia da existência.
Seja G : R −→ R uma primitiva de g(x) = sen (x2 ). Então
Z 2x+1
f (x) =
sen (t2 ) dt = G(2x + 1) − G(0).
0
Derivando a expressão f (x) = G(2x+1)−G(0) obtemos f 0 (x) = 2 G0 (2x+
1), devido à Regra da Cadeia. Assim, usando G0 (x) = g(x), temos
f 0 (x) = 2 sen ((2x + 1)2 ).
10
O Teorema Fundamental do Cálculo
18.6
1.
2.
Exercícios
Calcule a derivada das funções a seguir:
Z x2
cos2 t dt;
(a) F (x) =
0
Z 1
1
(b) G(x) =
dt.
−x2 3 + sen t
Z 2x
cos t2 dt. Calcule a equação da reta tangente ao
Seja f (x) = 1 +
0
gráco de f −1 no ponto de abscissa 0.
11
Unidade 18
O Teorema Fundamental do Cálculo e a Função Logaritmo
Unidade 18
18.7
O Teorema Fundamental do Cálculo e a
Função Logaritmo
Como vimos no exemplo anterior, em muitos casos sabemos da existência
de primitivas, mas não conhecemos uma fórmula explícita para as mesmas. Em
alguns casos notórios, abreviamos a fórmula dada pelo Teorema Fundamental
do Cálculo usando alguma nomenclatura adequada e lidamos com a função
primitiva através das informações que obtemos de suas características. A função
logaritmo natural é um desses casos muito especiais, como veremos a seguir.
Definição 9
Seja ln : (0, +∞) −→ R a primitiva da função f : (0, +∞) −→ R,
1
denida por f (x) = , tal que ln 1 = 0.
x
Em outras palavras,
Z
ln x =
1
e
x
1
dt
t
0 1
ln x = .
x
Interpretação Geométrica de ln x
Como a função f (x) = x1 é estritamente positiva no intervalo (0, +∞), ln x
é positiva, se x > 1 e ln x é negativa, se 0 < x < 1. Veja as guras.
1
x
Z
x
x
1
1
dt é igual a área da região hachurada na gura da
1 t
Z x
1
esquerda. Se 0 < x < 1, ln x =
dt é igual ao negativo da área da região
1 t
hachurada na gura da direita.
Se x > 1, ln x =
12
O Teorema Fundamental do Cálculo
Unidade 18
Propriedades da Função Logaritmo
O que essencialmente caracteriza a função logaritmo é a propriedade a seguir:
Se a e b são números reais positivos, então
Propriedade 1:
ln ab = ln a + ln b.
O fato crucial para a sua demonstração é o lema a seguir:
Lema 10
Se a e b são números positivos, então
Z ab
Z b
1
1
dx =
dx.
x
a
1 x
Veja a representação geométrica dessa armação, nas guras a seguir, no
caso em que a > 1 e b > 1.
1
b
a
ab
O lema arma que as áreas dessas duas regiões são iguais. Essencialmente,
a expansão provocada na base, pela multiplicação de [1, b] por a, é compensada
por uma compressão na altura da gura, devido à forma da curva y = x1 . Veja
a demonstração:
Usaremos partições adequadas para calcular os limites
Z
a
ab
1
dx e
x
Z
1
a
1
dx
x
e vericaremos que são iguais.
Realmente, dada uma partição P de [1, b], digamos 1 = x0 < x1 < · · · <
xn = b, e feitas as escolhas de ci ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . n, tomamos a
13
Demonstração
O Teorema Fundamental do Cálculo e a Função Logaritmo
Unidade 18
partição aP de [a, ab], dada por a = y0 = ax0 < y1 = ax1 < · · · < yn =
axn = ab, com as escolhas de di = aci ∈ [yi−1 , yi ], i = 1, 2, . . . n. Assim,
b
Z
1
n
X
1
dx = lim
f (ci ) ∆xi
kPk→0
x
i=1
e
ab
Z
a
Mas f (di ) =
Portanto,
n
X
lim
kaPk→0
n
X
1
dx = lim
f (di ) ∆yi .
kaPk→0
x
i=1
1
1
1
=
= f (ci ) e ∆yi = yi − yi−1 = axi − axi−1 = a∆xi .
di
aci
a
n
X
1
f (di ) ∆yi = lim
kaPk→0
i=1
i=1
a
f (ci ) a∆xi = lim
n
X
kaPk→0
f (ci ) ∆xi .
i=1
Como k aP k→ 0 se, e somente se, k P k→ 0, temos
Z
ab
a
Demonstração
Z
a
1
dx.
x
1
[Demonstração da Propriedade:] Vamos mostrar que ln ab = ln a + ln b.
Realmente,
Z
ln ab =
1
Corolário 11
1
dx =
x
ab
1
dt =
t
Z
1
a
1
dt +
t
Z
a
ab
1
dt =
t
Z
1
a
1
dt +
t
Se a e b são números positivos, então
ln
a
= ln a − ln b.
b
14
Z
1
b
1
dt = ln a + ln b.
t
O Teorema Fundamental do Cálculo
Aplicando a Propriedade 1 na equação ln ab b, obtemos:
ln a = ln
Unidade 18
Demonstração
a
a
b = ln + ln b.
b
b
Veremos como a derivada é uma ferramenta poderosa.
Propriedade 2:
Sejam a > 0 e r ∈ Q. Então,
ln ar = r ln a.
Consideremos as funções f, g : (0, +∞) −→ R, denidas por f (x) = ln xr
e g(x) = r ln x. Usando as regras de derivação, especialmente a Regra da
Cadeia, temos
1
1
f 0 (x) = r r xr−1 = r
x
x
e
1
g 0 (x) = r .
x
0
Logo, para todo x ∈ (0, +∞), f (x) = g 0 (x). Isto é, existe C ∈ R tal que
f (x) = g(x) + C . Como f (1) = g(1) = 0, concluímos que as duas funções
coincidem.
O Gráco de f (x) = ln x
Veremos agora que temos elementos sucientes para esboçar o gráco da
função f (x) = ln x.
É evidente da denição que, se a > b > 0, então ln a > ln b. No entanto,
esta informação pode ser deduzida da derivada, assim como a concavidade
voltada para baixo do gráco, resultado da análise da segunda derivada:
f 0 (x) =
1
1
> 0 e f 00 (x) = − 2 < 0,
x
x
para todo x ∈ (0, +∞).
Veremos agora o comportamento da função nos extremos de seu domínio.
15
Demonstração
Unidade 18
O Teorema Fundamental do Cálculo e a Função Logaritmo
Lema 12
lim ln x = +∞
Demonstração
lim ln x = −∞.
e
x→+∞
x→0+
O fato que nos dará essas informações,
1
< ln 2 < 1,
2
é geometricamente evidente:
1
1
2
1
2
Analiticamente, observe que, se 1 < x < 2, então
1
=
2
Demonstração
Z
1
2
1
dx <
2
2
Z
1
1
dx <
x
Z
1
1
< < 1. Portanto.
2
x
2
dx = 1.
1
Demonstração do lema: Vamos mostrar que limx→+∞ ln x = +∞. Dado
N > 0, escolha n0 > 22N . Então, se x > n0 ,
ln x > ln 22N = 2N ln 2 > 2N
1
= N.
2
Fica como exercício para o leitor mostrar a outra armação do lema.
Podemos então
Z x esboçar o gráco de f : (0, +∞) −→ R, denida por
1
f (x) = ln x =
dt, função invertível, pois é crescente.
1 t
16
O Teorema Fundamental do Cálculo
1
Observe que o crescimento da função logaritmo é diferente do crescimento
mesmo das funções polinomiais, quando x → +∞. Isto é, apesar da gura,
para qualquer número a >> 0, a reta y = a interseta o gráco da função.
17
Unidade 18
Unidade 18
Exercícios
18.8
1.
Exercícios
Calcule a derivada das funções a seguir:
(a) f (x) = x ln x;
(b) g(x) = x2 ln x;
(c) h(x) = x ln x2 ;
(d) k(x) = ln(cos x);
(e) l(x) = ln(ln(x2 )x;
1
x
− .
(f) m(x) = x −
ln x x
2.
3.
4.
Verique que a curva normal à curva denida por xy = ln(1 + x2 + y),
na origem, é uma reta vertical.
1
Calcule a área da região delimitada pela curva y = , pelo eixo Ox, reta
x
y = x e x = 4.
1
Verique que as áreas das regiões delimitadas pela curva y = , eixo Ox,
x
sobre os intervalos [ 12 , 1] e [1, 2], são iguais.
18
O Teorema Fundamental do Cálculo
18.9
Unidade 18
A Função Exponencial
Vamos agora considerar a função inversa de f (x) = ln x, denida por Exp :
R −→ R, tal que Exp(x) = y se, e somente se, ln y = x. Em particular,
Exp(0) = 1, pois ln 1 = 0.
Propriedades da Exponencial
A principal propriedade da função logaritmo se traduz na seguinte propriedade da exponencial:
Propriedade:
Sejam a e b números reais. Então,
Exp(a + b) = Exp(a) · Exp(b).
Sejam A e B números positivos tais que ln A = a e ln B = b. Então,
Exp(a + b) = Exp(ln A + ln B) = Exp(ln AB) = AB = Exp(a) · Exp(b)
pois, A = Exp(a) e B = Exp(b).
Analogamente, o leitor pode provar as armações a seguir:
(a) Se a e b são números reais positivos, então Exp(a − b) =
Exp(a)
.
Exp(b)
r
(b) Se r ∈ Q e a ∈ R, então Exp(r a) = Exp(a) .
A Derivada da Exponencial
Como a função exponencial é a função inversa do logaritmo, podemos usar
o Teorema da Função Inversa para calcular a sua derivada.
Exp0 (x) =
1
=
ln (Exp(x))
0
1
1
Exp(x)
= Exp(x).
Ou seja, a derivada da exponencial é a propria exponencial. Além disso,
para todo x ∈ R, Exp(x) > 0. Portanto, a função exponencial é estritamente
19
Demonstração
Unidade 18
A Função Exponencial
crescente e seu gráco é sempre côncavo para cima. Devido aos dois limites
fundamentais do logaritmo,
lim ln x = +∞
lim ln x = −∞,
e
x→+∞
x→0+
vale o seguinte lema, cuja demonstração ca a cargo do leitor.
Lema 13
lim Exp(x) = +∞
x→+∞
e
lim Exp(x) = 0.
x→−∞
Temos então todos os elementos para esboçar o gráco da função exponencial:
1
O Número e e Expoentes Irracionais
Você deve ter notado que temos usado a notação Exp(x) para o que normalmente é denotado ex . Na verdade, o número e é o único número real tal
que
ln e = 1.
1
Isto é, e é o único número tal que a área da região sob o gráco de y = e
x
entre as retas verticais x = 1 e x = e é 1. Na gura, a área da região hachurada
é igual a 1.
20
O Teorema Fundamental do Cálculo
1
Unidade 18
e
Até o momento, só dispomos de denição para potências racionais de números positivos. As propriedades de logaritmo e exponencial, a saber, se a > 0
e r ∈ Q, então
ln ar = r ln a
e
r
Exp(r a) = Exp(a) ,
permitem escrever
ar = Exp(r ln a).
Ou seja, dispomos de uma fórmula que nos permite estender a noção de
potências racionais para potências de irracionais.
Sejam a > 0 um número real e x ∈ R \ Q um número irracional. Então,
denimos
ax := Exp(x ln a).
√
π
3
√
= Exp( 3 ln π).
Fica como exercício para o leitor mostrar que as propriedades de expoentes, válidas para os números racionais, também são verdadeiras no caso dos
irracionais. Por exemplo,
ax+y = Exp((x + y) ln a) =
Exp(x ln a + y ln a) =
Exp(x ln a) · Exp(y ln a) = ax · ay .
21
Definição 14
Exemplo 15
Unidade 18
A Função Exponencial
Com essa denição podemos escrever
Exp(x) = Exp(x ln e) = ex ,
uma vez que ln e = 1. Assim, podemos resumir: para todo x ∈ R,
y = ex
⇐⇒
22
x = ln y.
O Teorema Fundamental do Cálculo
18.10
1.
Exercícios
Calcule a derivada das funções a seguir:
(a) f (x) = x ex ;
(b) g(x) = ex cos x
2
(c) h(x) = ecos 2x + e sen 2x ;
√
(d) k(x) = cos ex + 1 + ex .
2.
3.
4.
ex + e−x
ex − e−x
e senh (x) =
. Mostre que
2
2
cosh2 (x) − senh 2 (x) ≡ 1. Calcule (cosh(x))0 , (cosh(x))00 , ( senh (x))0 e
( senh (x))00 . Esboce os grácos de ambas as funções.
Dena cosh(x) =
Use a denição ax := Exp(x ln a) para derivar as funções f (x) = 3x e
√
g(x) = ( 2)2x .
Sejam a > 0 e b > 0 tal que b 6= 1, números reais. Dena o logaritmo
de a na base b usando a equação
logb a =
ln a
.
ln b
Verique a equação de mudança de base, para c > 0 tal que c 6= 1, dada
por
logb a
logc a =
.
logc b
Calcule as derivadas até ordem 2 das funções f (x) = log3 x e g(x) =
log 1 x e esboce os seus grácos.
3
23
Unidade 18